【正文】 2 πjdd( ) ( e )kMMH k H?根據(jù)頻域采樣理論， hdM(n)與 hd(n)應(yīng)滿(mǎn)足如下關(guān)系： dd( ) I D F T [ ( ) ]?M M Mh n H kdd( ) ( ) ( )MMrh n h n rM R n?? ? ?????如果 Hd(ejω)較復(fù)雜或者不能用封閉公式表示 可以對(duì) Hd(ejω)從 ω=0到 ω=2π采樣 M點(diǎn)，采樣值為： k=0 ,1, 2, …, M－ 1，進(jìn)行 M點(diǎn) IDFT(IFFT) 得到： 如果 M選得較大，可以保證在窗口內(nèi) hdM(n)有效逼近 hd(n) (4) 加窗得到設(shè)計(jì)結(jié)果： h(n)=hd(n)w(n) 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 例 用矩形窗 、 漢寧窗和布萊克曼窗設(shè)計(jì) FIR低通濾波器 ， 設(shè) N=11,ωc=。 s i n [ 3 ( 1 2 ) / 8 ]( 1 2 )nn????d( ) ( ) ( )h n h n w n?（ 4） 加窗 : 25sin[ 3 ( 12 ) / 8 ]( 12 ) 0. 5 0. 5 c os ( )( 12 ) 12nnn R nn??? ? ? ? ? ???? ? ? ????? ??? ? ? ?????第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) (1) fir1 fir1用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)線(xiàn)性相位 FIR數(shù)字濾波器的工具箱函數(shù)，以實(shí)現(xiàn)線(xiàn)性相位 FIR數(shù)字濾波器的標(biāo)準(zhǔn)窗函數(shù)法設(shè)計(jì)。 例如 : 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) hn=fir1(M, wc, bartlett(M+1))，使用 Bartlett窗設(shè)計(jì)； hn =fir1(M, wc, blackman(M+1))，使用 blackman窗設(shè)計(jì)； hn=fir1(M, wc, ‘ftype’, window) 通過(guò)選擇 wc、 ftype和 window參數(shù)（含義同上），可以設(shè)計(jì)各種加窗濾波器。 ％確保 h(n)長(zhǎng)度 N wc=(wp+ws)/2/pi。 解 （ 1） 確定相應(yīng)的數(shù)字濾波器指標(biāo) : 通帶截止頻率為 1 0 0 0 01 5 0 0π2π2spp ???? Ff?第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 阻帶截止頻率為 阻帶最小衰減為 ? s =40 dB （ 2） 用窗函數(shù)法設(shè)計(jì) FIR數(shù)字低通濾波器，為了降低階數(shù)選擇凱塞窗。ws=2*pi*fs/Fs。因?yàn)樽鑾ё钚∷p ? s=60 dB，所以選擇布萊克曼窗，再根據(jù)過(guò)渡帶寬度選擇濾波器長(zhǎng)度 N，布萊克曼窗的過(guò)渡帶寬度 Bt=12π/N，所以 l p l s12 π 0 . 3 5 0 . 2 0 . 1 5N ??? ? ? ? ? ? ? ?第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 解之得 N=80 l p l s u s u pc ,2 π 2 π? ? ? ?? ????????? 設(shè)計(jì)程序?yàn)? ％ : 例 用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)線(xiàn)性相位帶阻FIR wlp=*pi。 %帶阻濾波器要求 h(n)長(zhǎng)度為奇數(shù)，所以取 N+1 ％省略繪圖部分 程序運(yùn)行結(jié)果 : N=81 由于 h(n)數(shù)據(jù)量太大，因而僅給出 h(n)的波形及損耗函數(shù)曲線(xiàn)，如圖 。 當(dāng)然，增加 N可以使過(guò)渡帶變窄，但是通帶最大衰減和阻帶最小衰減隨 N的增大并無(wú)明顯改善。 （ 2） 確定過(guò)渡帶寬度 Bt，估算頻域采樣點(diǎn)數(shù)（即濾波器長(zhǎng)度） N。 根據(jù) m=1和 Bt≤π/16估算濾波器長(zhǎng)度 : N≥(m+1)2π/Bt=64 留一點(diǎn)富余量，取 N=65。％ N為奇數(shù)，幅度采樣向量偶對(duì)稱(chēng) A(k)=A(N－ k) Hk(Np+2)=T。 ％ Np+1為通帶［ 0, wp］上采 Ns=N－ 2*Np－ 1。如果濾波器邊界頻率未達(dá)到指標(biāo)要求，則要微調(diào) Hdg(ω) 上述設(shè)計(jì)過(guò)程中的計(jì)算相當(dāng)繁瑣，所以通常借助計(jì)算機(jī)設(shè)計(jì)。其基本思想是將過(guò)渡帶采樣值設(shè)為自由量，用一種優(yōu)化算法（如線(xiàn)性規(guī)劃算法）改變它們，最終使阻帶最小衰減 ? s最大。 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 表現(xiàn)形式為間斷點(diǎn)變成傾斜下降的過(guò)渡帶曲線(xiàn)，過(guò)渡帶寬度近似為 2π/N。 %計(jì)算階數(shù) N,ceil(x)為大于等于 x 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) wp=［ (wls+wlp)/2/pi,(wus+wup)/2/pi］ 。 %調(diào)用 kaiser計(jì)算低通 FIRDF的 h(n) ％以下繪圖部分省去 運(yùn)行程序得到 h(n)的 24個(gè)值 : h(n)=［ － － － － － － － － － ］ 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 例 低通 FIR數(shù)字濾波器的 h(n)波形及損耗函數(shù)曲線(xiàn) 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 【 例 】 窗函數(shù)法設(shè)計(jì)一個(gè)線(xiàn)性相位 FIR帶阻濾波器。rs=40。希望對(duì)模擬信號(hào)采樣后用線(xiàn)性相位 FIR數(shù)字濾波器實(shí)現(xiàn)上述濾波，采樣頻率 Fs=10 kHz。 N0=ceil(*pi/Bt)。不過(guò)，當(dāng)用戶(hù)將M設(shè)置為奇數(shù)時(shí)， fir1會(huì)自動(dòng)對(duì) M加 1 hn=fir1(M, wc, window)， 可以指定窗函數(shù)向量 window。 25( ) 0 . 5 1 c o s ( )12nw n R n? ? ????? ????????第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) （ 2） 構(gòu)造 Hd(ejω): jjcdce , ≤ ≤( e )0 , 0 ≤H??? ?????? ??? ????spc131 2 , 22N ???? ???? ? ? ??式中： （ 3） 求出 hd(n): jjdd1( ) ( e ) e d2nh n H ?? ????? ? ?ccj j j j1 e e d e e d2nn? ? ? ? ? ? ????????????????? ????cs i n ( )s i n ( ) ( ) ( )nnnn??????????? ? ? ?第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 將 τ=12代入得 ： ds i n [ 3 ( 1 2 ) / 8 ]( ) ( 1 2 )( 1 2 )nh n nn???? ? ???δ(n－ 12)對(duì)應(yīng)全通濾波器， 是截止頻率為3π/8的理想低通濾波器的單位脈沖響應(yīng)，二者之差就是理想高通濾波器的單位脈沖響應(yīng)。 用窗函數(shù)法設(shè)計(jì) FIR濾波器的步驟 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) (2) 構(gòu)造希望逼近的頻率響應(yīng)函數(shù) Hd(ejω )，即 對(duì)所謂的“標(biāo)準(zhǔn)窗函數(shù)法”，就是選擇 Hd(ejω)為線(xiàn)性相位理想濾波器（理想低通、理想高通、理想帶通、理想帶阻）。過(guò)渡帶窄時(shí)，但阻帶衰減不好；阻帶衰減好時(shí)，但過(guò)渡帶寬；因此，實(shí)際中窗函數(shù)的選擇往往是它們的折衷。應(yīng)當(dāng)注意，因?yàn)槭剑?）為階數(shù)估算，所以必須對(duì)設(shè)計(jì)結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)。 ? s=－ 74 dB 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 6． 凱塞 — 貝塞爾窗（ KaiserBasel Window） 以上五種窗函數(shù)都稱(chēng)為參數(shù)固定窗函數(shù)，每種窗函數(shù)的旁瓣幅度都是固定的。 ? s=－ 44 dB 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 4． 哈明（ Hamming）窗 —— 改進(jìn)的升余弦窗 )e()e()e()e( 1π2R1π2jRERjHm?????? ???????? ????? NENWWWW????)(1π2c o )(NHm nRNnn?????? ??????????（ ） 其頻譜函數(shù)為： 其幅度函數(shù) WHmg(ω)為： 當(dāng) N１時(shí)，其可近似表示為 ?????? ????????? ???? )()( RgRgRgHm g NWNWWW ?????????? ???????? ??? NWNWWW )()( RgRgRgHm g ????第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 這種改進(jìn)的升余弦窗，能量更加集中在主瓣中，主瓣的能量約占 %，瓣峰值幅度為 40 dB，但其主瓣寬度和漢寧窗的相同，仍為 8π/N。但這樣總是以加寬過(guò)渡帶為代價(jià)的。 加窗影響： 直觀(guān)上，好像增加矩形窗的長(zhǎng)度 N，就可以減少吉布斯效應(yīng)，但 實(shí)際上加大 N, 并不是減小吉布斯效應(yīng)的有效方法 。 )(g ?? ?RW )(Hd ?)(H ? )0(H第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 1 0 ?)(?gHω c ω c 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 圖 矩形窗對(duì)理想低通 幅度特性的影響 （ 1） 在理想特性不連續(xù)點(diǎn) ω=ωc附近形成過(guò)渡帶。 Hd(ejω)是一個(gè)以 2π為周期的函數(shù)，可以展為傅里葉級(jí)數(shù)，即 傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)為 hd(n)。 （ ） 1( ) , 22( ) ( 1 ), 0 ≤ ≤ 1Nh n h N n n N? ? ? ? ???? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? N為奇數(shù)和偶數(shù)時(shí) h(n)的對(duì)稱(chēng)情況分別如表 3和情況 4 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 2． 線(xiàn)性相位 FIR濾波器幅度特性 Hg(ω) 的特點(diǎn) 1 ,2N? ?? 12NM ?????? FIR濾波器時(shí)域約束條件： h(n)=177。 注意： 這里 Hg(ω)不同于 |H(ejω)|,Hg(ω)為 ω的實(shí)函數(shù) ， 可能取負(fù)值 ， 而 |H(ejω)|總是正值 。而且 sin［ ω(n－ τ)］關(guān)于過(guò)零點(diǎn) ω=0和 2π兩點(diǎn)奇對(duì)稱(chēng)，關(guān)于峰值點(diǎn) ω=π偶對(duì)稱(chēng)。 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 二、窗函數(shù)對(duì)頻響的影響 )n(w)n(h)n(h d???? ??? ?? ???? ?? deWeHeH jRjdj )()()( )(2 1????????? jRg)(jjjRe)()/s i n ()/s i n (e ee)()(????????????? ??WNnWeWNNnnNnnjR221211010?)( jwd eH?21?? ? )e(H j )( ?jR eW21)2/s in ()2/s in ()(Rg??? NNW ???? ，第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 0 ( ) ( ) ??j j addH e H e???按照 ()式 ， 理想低通濾波器的幅度特性 Hd(ω)為 1,()0,???? ?????cdcH???? ? ?將 Hd(e jω)和 WR(e jω)代入 ()式 ， 得到： ()gg1( ) ( ) ( )21( ) ( )2? ? ??????????j j a j adRjadRH e H e W e de H W d?? ? ? ?????? ? ? ??? ? ? ??ggg( ) ( )1( ) ( ) ( )2??????j j adRH e H eH H W d?????? ? ? ? ??)(?dH0 c?? c? ??? ?1 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) ,0?? H(0) 為 在 面積的積分 )(?RgW1).當(dāng) cc ?? 到－第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 2） 時(shí)， 正好與 的一半相重疊。