【正文】 50Hz為電源干擾 (工頻干擾 )， 所以該濾波器可以濾除電源干擾 。 IIR 濾波器設(shè)計(jì) FIR 濾波器設(shè)計(jì) 最佳濾波器設(shè)計(jì) 第 3章 數(shù)字濾波器 51 IIR 濾波器設(shè)計(jì) 設(shè)計(jì) IIR濾波器最常用的方法是將滿足設(shè)計(jì)指標(biāo)要求的 模擬濾波器數(shù)字化 。 sTze?() 圖 S平面與 Z平面之間的映射關(guān)系 (z=esT) 第 3章 數(shù)字濾波器 58 圖 沖激響應(yīng)不變法的頻率混疊現(xiàn)象 顯然， 是一種周期性映射，即１對多映射，它是造成數(shù)字濾波器頻譜混疊效應(yīng)的根本原因，如圖 。 第 3章 數(shù)字濾波器 60 一般Ｈ a(s)的極點(diǎn) si是一個(gè)復(fù)數(shù) ， 且共軛成對出現(xiàn) ， 形成一個(gè)二階基本節(jié) ， 如果模擬濾波器的二階基本節(jié)形式為 1112211()s js? ??? ? ? ?? ? ?極點(diǎn)為 () 則數(shù)字濾波器二階基本節(jié) (只有實(shí)數(shù)乘法 )的形式為 1111121211 co s1 2 co sTTTz e Tz e T z e??????????? ? ? () 1111112211112121,()si n1 2 c o sTTTjsz e Tz e T z e??????????? ? ?? ? ??? ? ?() () 若模擬濾波器二階基本節(jié)為 ()，則數(shù)字濾波器為 () 第 3章 數(shù)字濾波器 61 例 已知模擬濾波器的傳輸函數(shù)Ｈ a(s) 為 用沖激響應(yīng)不變法將Ｈ a(s) 轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的 H(z)。 這種頻率的非線性關(guān)系可以通過頻率的預(yù)畸變進(jìn)行校正而加以補(bǔ)償。 由于被變換濾波器的頻率響應(yīng)在感興趣的頻帶內(nèi)要求逼近一個(gè)分段為常數(shù)的特性，使這種非線性不致于引起設(shè)計(jì)困難。 第 3章 數(shù)字濾波器 86 1. 零極點(diǎn)累試法 方法 ： (1)根據(jù)欲設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的幅頻特性 |Hd(ejω)|確定零 、 極點(diǎn)位置 ， 依此寫出系統(tǒng)函數(shù) H(z)， 計(jì)算幅頻特性|H(ejω)|； (2)比較 |H(ejω)|與 |Hd(ejω)|， 若不滿足設(shè)計(jì)指標(biāo) ， 修正零 、 極點(diǎn)位置與數(shù)目 ， 重復(fù)上步操作 。 在設(shè)計(jì)過程中，由于對系統(tǒng)函數(shù)零點(diǎn)或極點(diǎn)的位置沒有加任何限制，有可能使某些零點(diǎn)或極點(diǎn)位于單位圓外。 由于因式分解并非總是可行 ， 因此這種方法受到很大限制 。說明信號通過該濾波器不僅有 (N1)/2個(gè)采樣周期的群延遲 ， 而且有 177。 ????????ddqp)()(????第 3章 數(shù)字濾波器 97 如果 h(n)滿足奇對稱條件 ， 即 h(n) = h(Nn1) () 則它具有線性相位特性 (稱為第二類線性相位濾波器 )，其相位特性為 θ(ω) =θ0 ηω, θ0是初始相位 () θ0 = 177。 使 Ep最小 ， 即可獲得所需 H(z)。 1 1 1 1 2( , )[] TK K K KE E Aa b c d a a b c d???? ???21(), ( )( , ) [ ]iijji d dNidiHeH H H eAE A A H H????????? () ?????????????),( 0),(0),(之一為 kkkkkkdcbaAEAAE????第 3章 數(shù)字濾波器 90 幅度平方誤差最小法實(shí)質(zhì)為最小二乘準(zhǔn)則，該準(zhǔn)則追求的目標(biāo)是使總的逼近誤差能量最小，但允許在個(gè)別頻率點(diǎn)上有較大的誤差。 第 3章 數(shù)字濾波器 85 直接設(shè)計(jì)法 前述 IIR濾波器設(shè)計(jì)方法 ， 均是通過模擬原型濾波器數(shù)字化獲得數(shù)字濾波器的 ， 這是一種間接的設(shè)計(jì)方法 ， 數(shù)字濾波器的幅度特性受到所選模擬濾波器特性的限制 ， 不適宜設(shè)計(jì)任意幅度特性的數(shù)字濾波器 。 第 3章 數(shù)字濾波器 77 頻率變換法 數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)也可以像模擬濾波器一樣，采用頻率變量作適當(dāng)?shù)淖儞Q，由歸一化的低通濾波器產(chǎn)生出各類數(shù)字濾波器來。 圖 例 中 H1(z) 和 H2(z) 的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) (a)H1(z) (b)H2(z) 11112 1212112( 1 )( ) ( )12,22a zsT zzH z H sazTTTT???????????????????????—1 第 3章 數(shù)字濾波器 69 圖 例 H1(z) 和 H2(z) 的幅頻特性 第 3章 數(shù)字濾波器 70 雙線性變換所確定的模擬頻率 Ω和數(shù)字頻率 ω間的關(guān)系為： 令 s=jΩ， z=e jω， 并代入 () 式中 ， 有 () 圖 雙線性變換法的頻率變換關(guān)系 )2t a n (2 )2t a n (2 )2c o s ()2s i n (2 )()(2 112222222????????????TTjjTeeeeeeTeeTjjjjjjjjj??????????????????第 3章 數(shù)字濾波器 71 在 ω不大時(shí)，模擬頻率 Ω和數(shù)字頻率 ω間的映射大致是線性的，但在大部分頻率刻度上，映射是高度非線性的，即當(dāng) Ω不斷增大時(shí)， ω增長得越來越慢，當(dāng)Ω→+∞ 時(shí)， ω終止于 ω=π處。 沖激不變法 僅適用 于帶限濾波器，適當(dāng)選擇采樣間隔Ｔ，可消除該方法中的混疊效應(yīng)。 沖激響應(yīng)不變法 )2(1)( T )()( )()( )2(1)(rTjsHTzHsHjHzHeHrTjjHTeHraezjsaaezjrajsTj??????????????????????????????????第 3章 數(shù)字濾波器 55 如果模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)可表示為 則 此時(shí)， S平面 s=si處的極點(diǎn)變換為 Z平面 z=esiT處的極點(diǎn)，且 Ai不變 (注：零點(diǎn)不保證這種映射關(guān)系 )。 但這項(xiàng)工作的完成卻較為困難 ， 它需要許多先驗(yàn)知識或經(jīng)驗(yàn) ，才能使我們做到有的放矢 。 對頻率分布于 400πω400π (弧度 /s)范圍內(nèi)的信號以500(樣本 /秒 )采樣后，用該濾波器對信號進(jìn)行濾波，試求： (1)零、極點(diǎn)結(jié)構(gòu)圖及 0ωπ/T范圍內(nèi)的幅頻特性曲線； (2)濾波器作用； (3)包含一個(gè)復(fù)共軛極點(diǎn)對有什么好處？ (4) 遞推公式。 ????zzzH 1)( (α略小于 1) 圖 2(a) Z平面零 、 極點(diǎn)結(jié)構(gòu)圖 α π 2π ω )( ?jeH2/(1α) 圖 2(b) 幅頻特性曲線 第 3章 數(shù)字濾波器 40 (2) 為遞歸濾波器。所以，該濾波器是 不可實(shí)現(xiàn)的 。 第 3章 數(shù)字濾波器 32 下面通過一些簡單的例子來說明數(shù)字濾波器的分析方法，并給出一些有用的概念。 可以用 IIR系統(tǒng)函數(shù) ， 也可以用 FIR系統(tǒng)函數(shù)； (3) 利用有限精度算法實(shí)現(xiàn) 系統(tǒng)函數(shù) 。 解 : 將例 H(z)展成部分分式形式： 11 1 28 1 6 2 0( ) 1 61 0 . 5 1 0 . 5zHzz z z?? ? ???? ? ?? ? ?將每部分用直接型結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)，其并聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖。 第 3章 數(shù)字濾波器 23 例 設(shè)系統(tǒng)函數(shù) H(z)為： 1 2 31 2 38 4 1 1 2()1 1 . 2 5 0 . 7 5 0 . 1 2 5z z zHzz z z? ? ?? ? ?? ? ??? ? ?試畫出其級聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。 這兩類不同的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)各有不同的特點(diǎn) 。當(dāng)用計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)濾波器時(shí)，可以把濾波器結(jié)構(gòu)看作軟件 算法說明 ，依此編寫程序；當(dāng)用專用數(shù)字硬件實(shí)現(xiàn)濾波器時(shí)，可將濾波器結(jié)構(gòu)作為硬件實(shí)現(xiàn)的 邏輯框圖 ，依此設(shè)計(jì)硬件。 第 3章 數(shù)字濾波器 9 2. 按沖激響應(yīng) h(n)長度分類 將數(shù)字濾波器看作線性時(shí)不變系統(tǒng)時(shí)，可以用沖激響應(yīng)描述它。這就是傳統(tǒng)數(shù)字濾波器的基本濾波原理，又稱傳統(tǒng)濾波思想。 數(shù)字濾波器是一個(gè) 用有限精度算法實(shí)現(xiàn)的線性時(shí)不變離散系統(tǒng) ，它實(shí)質(zhì)就是一個(gè)運(yùn)算過程，可以實(shí)現(xiàn)各種變換和處理。 第 3章 數(shù)字濾波器 5 數(shù)字濾波器分類 1. 按頻率響應(yīng)幅度特性分類 按傳統(tǒng)的濾波概念，數(shù)字濾波器也像模擬濾波器一樣，根據(jù)其頻率響應(yīng)振幅的通帶特性，分為 低通、高通、帶通、帶阻 4種類型。 第 3章 數(shù)字濾波器 10 3. 按實(shí)現(xiàn)方法 (或結(jié)構(gòu)形式 ) 分類 數(shù)字濾波器可用常系數(shù)線性差分方程表示： 如果濾波器的當(dāng)前輸出 y(n)由輸入的當(dāng)前值 x(n)與過去值x(n1), x(n2),…, x(n M)和輸出的過去值 y(n1), y(n2),…, y(nN)確定，該濾波器稱為 遞歸濾波器 ；如果濾波器的當(dāng)前輸出 y(n)僅由輸入的當(dāng)前值 x(n)和過去值 x(n1), x(n2),… 確定，與輸出 y(n)的過去值無關(guān)，該濾波器稱為 非遞歸濾波器 。 信號流圖與方框圖等效 ， 但表示方法簡單 ， 又便于應(yīng)用較完善的數(shù)字網(wǎng)絡(luò)理論 ， 故常被采用 。 120 1 21212() 1 j j jjjjzzHza z a z? ? ??????????() 第 3章 數(shù)字濾波器 21 這樣 ， H(z)可以分解成一些一階或二階數(shù)字網(wǎng)絡(luò)的級聯(lián)形式 ， 如下式： H(z)=H1(z)H2(z)…Hk(z) () 式中 Hi(z)表示一個(gè)一階或二階數(shù)字網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)函數(shù) ，每個(gè) Hi(z)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)均采用前面介紹的直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) ， 如圖 。 二階網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)函數(shù)一般為 12( ) ( ) ( ) ( )kH z H z H z H z? ? ? ? ? ? ?() 1011212() 1 iiiiizHza z a z?? ???????式中 ， β0i、 β1i、 α1i和 α2i都是實(shí)數(shù) 。這種結(jié)構(gòu)稱為直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)或者稱為 卷積型 結(jié)構(gòu) ， 由該結(jié)構(gòu)確定的濾波器也叫 橫向?yàn)V波器 。 后面介紹的濾波器設(shè)計(jì)方法主要解決 (2)。 由系統(tǒng)函數(shù)確定頻率響應(yīng)為 用上式計(jì)算或根據(jù)零、極點(diǎn)結(jié)構(gòu)進(jìn)行幾何作圖得頻率特性曲線為圖 1(b)。 若求解出 h(n)，濾波器的輸出就可以用卷積實(shí)現(xiàn)(用 FFT實(shí)現(xiàn)快速卷積 )，這是濾波器實(shí)現(xiàn)的一種途徑。 )1()()1()(1)()()(???????????nxnxnynyzzzXzYzH??????????????