圓錐曲線題型總結(jié)(存儲(chǔ)版)
【正文】 x x y y y yk k k? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 21 2 1 221(1 ) [ ( ) 4 ]y y y yk? ? ? ?。 線段的垂直平分線方程為： 221 1 1 2()22kyxk k k?? ? ? ?令 y=0,得0 21122x k??，則211( ,0)22E k ? ABE? 為正三角形， ?211( ,0)22E k ?到直線 AB 的距離 d 為 32 AB 。 A(2 3,0) 是橢圓的右頂點(diǎn)， 23a?? ，則橢圓方程為： 222 112xyb?? 將點(diǎn) C( 3, 3) 代入 方程，得 2 4b? ， ?橢圓 E 的方程為 22112 4xy?? (II) 直線 PC 與直線 QC 關(guān)于直線 3x? 對(duì)稱， ?設(shè)直線 PC 的斜率為 k ，則直線 QC 的斜率為 k? ，從而直線 PC 的方程為： 4 3 ( 3 )y k x? ? ?，即 3 (1 )y kx k? ? ?，由223(1 )3 12 0y kx kxy? ? ? ??? ? ? ??? 消 y，整理得： 2 2 2( 1 3 ) 6 3 ( 1 ) 9 1 8 3 0k x k k x k k? ? ? ? ? ? ?3x? 是方程的一個(gè)根， 229 1 8 33 13P kkx k???? ?即 229 18 33 (1 3 )P kkx k??? ? 同理可得： 229 18 33 (1 3 )Q kkx k??? ? 3 ( 1 ) 3 ( 1 )P Q P Qy y k x k k x k? ? ? ? ? ? ?＝ ( ) 2 3PQk x x k??＝ 2123(1 3 )kk?? 22229 1 8 3 9 1 8 33 (1 3 ) 3 (1 3 )PQ k k k kxx kk? ? ? ?? ? ???＝2363(1 3 )k?? 13PQPQ PQyyk xx?? ? ?? 則直線 PQ 的斜率為定值 13。239。（ 1）當(dāng) AB x⊥ 軸時(shí)， 3AB? 。 題型七：弦或弦長(zhǎng)為定值問(wèn)題 例題 在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，過(guò)定點(diǎn) C（ 0， p）作直線與拋物線 x2=2py（ p0）相交于 A、 B 兩點(diǎn)。 2PF 的最大值和最小值； （Ⅱ）設(shè)過(guò)定點(diǎn) )2,0(M 的直線 l 與橢圓交于不同的兩點(diǎn) A 、 B ，且∠ AOB 為銳角（其中 O 為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線 l 的斜率 k 的取值范圍。1 c osP M P N M P N??＝,求點(diǎn) P 的坐標(biāo) . 解： (Ⅰ )由橢圓的定義，點(diǎn) P 的軌跡是以 M、 N 為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng) 2a=6 的橢圓 . 因此半焦距 c=2，長(zhǎng)半軸 a=3，從而短半軸 b= 22 5ac??所以橢圓的方程為 ?? (Ⅱ )由 2 ,1 c osP M P N M P N? ?得 c o s 2 .P M P N M P N P M P N?? ① 因?yàn)?cos 1,MPN P? 不為橢圓長(zhǎng)軸頂點(diǎn)，故 P、 M、 N 構(gòu)成三角形 .在△ PMN 中， 4,MN ? 由 余 弦 定 理 有 2 2 2 2 c o s .M N P M P N P M P N M P N? ? ? ② 將①代入②，得 2224 2 ( 2 ) .P M P N P M P N? ? ? ? 故點(diǎn) P 在以 M、 N 為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為 23的雙曲線 2 2 13x y??上 . 由 (Ⅰ )知，點(diǎn) P 的坐標(biāo)又滿足 22195xy??，所以 由方程組 225 9 45,3 ? ?????? 解得 33,25.2xy? ?????? ???? 即 P 點(diǎn)坐標(biāo)為 3 3 5 3 3 5 3 3 5 3 3 5( , )2 2 2 2 2 2 2 2?、 （ ， ） 、 （ ， ） 或 （ ， ） . 問(wèn)題九：四點(diǎn)共線問(wèn)題 例題 設(shè)橢圓 22: 1( 0 )xyC a bab? ? ? ?過(guò)點(diǎn) ( 2,1)M ，且著焦點(diǎn)為 1( 2,0)F ? （ Ⅰ ）求橢圓 C 的方程； （ Ⅱ ）當(dāng)過(guò)點(diǎn) (4,1)P 的動(dòng)直線 l 與橢圓 C 相交與兩不同點(diǎn) ,AB時(shí)，在線段 AB 上取點(diǎn) Q ，滿足 AP QB AQ PB? ， 8 證明：點(diǎn) Q 總在某定直線上 解 (1)由題意： 2222 2 22211cabc a b? ???????? ??? ，解得 224, 2ab??，所求橢圓方程為 22142xy?? (2)方法一 設(shè)點(diǎn) Q、 A、 B 的坐標(biāo)分別為 1 1 2 2( , ), ( , ), ( , )x y x y x y。 2 2221(1 ) ( )A B k x x? ? ? ? 2 2 222 2 23 6 1 2 ( 1 )(1 ) ( 3 1 ) 3 1k m mk kk???? ? ??????? 2 2 2 2 22 2 2 21 2 ( 1 ) ( 3 1 ) 3 ( 1 ) ( 9 1 )( 3 1 ) ( 3 1 )k k m k kkk? ? ? ? ????? 2422 21 2 1 2 1 23 3 ( 0 ) 3 419 6 1 2 3 696k kkkk k? ? ? ? ? ? ?? ? ? ??? ≤。 題型六：面積問(wèn)題 例題 已知橢圓 C： 12222 ??byax （ a＞ b＞ 0）的離心率為 ,36 短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為 3 。239。從而橢圓的方程為 2 2 14x y?? （ II）設(shè) 11( , )Mx y ， 22( , )N
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