【正文】 ]、 [K] 、 [C]: 1. [M]為各個(gè)質(zhì)量形成的對(duì)角陣 。第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 1 第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 2 多自由度系統(tǒng)指的是可以用有限個(gè)自由度描述的振動(dòng)系統(tǒng) 。 2. [K]或 [C]中的主對(duì)角線元素 kii或 cii為連接在質(zhì)量 mi上所有彈簧剛度或阻尼系數(shù)的代數(shù)和 。 顯然 : 和兩自由度一樣 ， 由上式只能求出振幅的比值 ， 而不能確定各振幅大小 。通常假設(shè)振型的某個(gè)元素為 1， 則其它元素就可以表示為此元素的倍數(shù) ， 這種方法或過程就是振型的基準(zhǔn)化 。 解： 1 0 0[ ] 0 1 00 0 1Mm???????????2 1 0[ ] 1 2 10 1 1Kk?????? ? ??????第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 23 前面的例題已經(jīng)求得： 2 2 21 2 30. 19 8 , 1. 55 5 , 3. 24 7k k km m m? ? ?? ? ?( 1 )1{ } 1 .8 0 22 .2 4 7X????? ??????( 2 )1{ } 0 . 4 4 50 . 8 0 2X????? ???????( 3 )1{ } 1 . 2 4 70 . 5 5 5X????????????第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 24 則響應(yīng)為： 3()1{ } { } ( sin c os )i i i i iix X A t B t??????將振型代入并展開： 1 1 1 1 1s i n c o sx A t B t????2 2 2 2s i n c o sA t B t????3 3 3 3s i n c o sA t B t????第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 25 2 1 1 1 11 . 8 0 2 ( s i n c o s )x A t B t????2 2 2 20 . 4 4 5 ( s i n c o s )A t B t????3 3 3 31 . 2 4 7( s i n c o s )A t B t????3 1 1 1 12 . 2 4 7 ( s i n c o s )x A t B t????2 2 2 20 . 8 0 2 ( s i n c o s )A t B t????3 3 3 30 . 5 5 5 ( s i n c o s )A t B t????第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 26 解出各系數(shù)即可 … 1 2 3 1B B B? ? ?1 2 31 . 8 0 2 0 . 4 4 5 1 . 2 4 7 1B B B? ? ?1 2 32 . 2 4 7 0 . 8 0 2 0 . 5 5 5 1B B B? ? ?1 1 2 2 3 3 0A A A? ? ?? ? ?1 1 2 2 3 31 . 8 0 2 0 . 4 4 5 1 . 2 4 7 0A A A? ? ?? ? ?1 1 2 2 3 32 . 2 4 7 0 . 8 0 2 0 . 5 5 5 0A A A? ? ?? ? ?代入初始條件得： 作業(yè)： T628 第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 27 由廣義特征值問題 ([K]－ ?2[M]){X}={0}知 主振型的正交性 主 振型的正交性 ( ) 2 ( )[ ] { } [ ] { }iiiK X M X??( ) 2 ( )[ ] { } [ ] { }jjjK X M X??兩邊分別左乘 {X(j)}T 和 {X(i)}T得到 第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 28 與第一式相減得： ( ) ( ) 2 ( ) ( ){ } [ ] { } { } [ ] { }j T i j T iiX K X X M X??由于 [K]和 [M]都是對(duì)稱陣 ， 上面第二式可寫為 ( ) ( ) 2 ( ) ( ){ } [ ] { } { } [ ] { }i T j i T jjX K X X M X??2 2 ( ) ( )0 ( ) { } [ ] { }j T iij X M X???? 主 振型的正交性 ( ) ( ) 2 ( ) ( ){ } [ ] { } { } [ ] { }j T i j T ijX K X X M X??第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 29 顯然也有： ( ) ( ){ } [ ] { } 0j T iX K X ?（ i≠j） 結(jié)論：當(dāng)剛度矩陣 [K]和質(zhì)量矩陣 [M]都是對(duì)稱陣時(shí) ， n個(gè)固有頻率對(duì)應(yīng)的固有振型之間關(guān)于 [K]和 [M]都是正交的 。 系統(tǒng)對(duì)初始激勵(lì)的響應(yīng) 第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 40 無阻尼系統(tǒng)對(duì)初始激勵(lì)的響應(yīng)分析步驟 : （ 1） 建立 振動(dòng) 方程 ， 確定質(zhì)量矩陣 [M]和剛度矩陣 [K]。 即：利用振型矩陣 ， 把描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的廣義坐標(biāo)變換到模態(tài)坐標(biāo) (主坐標(biāo)或正則坐標(biāo) )， 把運(yùn)動(dòng)方程變換成 n個(gè)獨(dú)立的方程 ， 求得系統(tǒng)在每個(gè)模態(tài)坐標(biāo)下的響應(yīng) ， 然后再得到系統(tǒng)在廣義坐標(biāo)下的響應(yīng) 。 （ 5） 對(duì)激勵(lì)標(biāo)準(zhǔn)化 。 第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 67 如果阻尼矩陣 [C]是質(zhì)量矩陣 [M]和剛度矩陣 [K]的線性組合 ， 則稱之為 比例阻尼 。 正規(guī)化的方法步驟為： （ 1） 1階重特征值振型： ( 1 ) ( 1 ){ ) { }XX?第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 73 固有頻率相等或?yàn)榱愕那闆r （ 2） 2階重特征值振型： ( 2 ) ( 1 ) ( 2 )1{ } { } { }X c X X??( 1 ) ( 2 )1 ( 1 ) ( 1 ){ } [ ] { }{ } [ ] { }TTX M XcX M X??（ 3） i 階重特征值振型： ( ) ( 1 ) ( 2 ) ( )12{ } { } { } { }iiX c X c X X? ? ? ?( ) ( )( ) ( ){ } [ ] { }{ } [ ] { }j T ij j T jX M XcX M X??(j＝ 1,2,… i－ 1) 第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 74 固有頻率相等或?yàn)榱愕那闆r 【 例 】 設(shè)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為 求系統(tǒng)自由振動(dòng)的解 。 第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 85 固有頻率相等或?yàn)榱愕那闆r 【 T536】 水平面上一物塊 m1以速度 v與物塊 m2發(fā)生完全彈性碰撞 ， 已知 m1＝m2＝ m3， 求碰撞后系統(tǒng)的響應(yīng) 。 可以證明 ， 當(dāng)系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣都是正定矩陣時(shí) ， 不會(huì)有零固有頻率 ， 而當(dāng)剛度矩陣為半正定矩陣時(shí) ， 系統(tǒng)為半正定系統(tǒng) 。 由此得到 第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 72 固有頻率相等或?yàn)榱愕那闆r 1{ } [ ] [ ] { }a a b bX H H X???一般取 (){ } { 0 0 1 0 0 }iTbX ?其中只有第 i個(gè)元素為 1， 其余均為零 。 阻尼矩陣通過上節(jié)的坐標(biāo)變換一般不能化為對(duì)角陣 ， 即方程不能解耦 。 （ 3） 確定 標(biāo)準(zhǔn) 振型矩陣 。 系統(tǒng)對(duì)初始激勵(lì)的響應(yīng) 第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 41 【 T626】 m1＝ m2＝ m3＝ m， k1＝k2＝ k3＝ k,設(shè)初始位移為 1， 初始速度為 0， 用標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)變換方法求初始激勵(lì)下的自由振動(dòng)響應(yīng) 。 第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 37 2. 標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo) （ 正則坐標(biāo) ） 下的方程 對(duì)振動(dòng)方程用正則振型矩陣進(jìn)行坐標(biāo)變換 { } [ ] { }NNx Q Z?代入方程后左乘 [QN]T得到 2 0N i i N iZZ???（ i＝ 1， 2， … n） 這組廣義坐標(biāo) {ZN}稱為 標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo) (正則坐標(biāo) )。設(shè) {X(i)}＝ ci {XN(i)}， 代入上式有： ( ) ( ) ( ) ( ) 2{ } [ ] { } { } [ ] { }i T i i T ii N i N i iX M X c X M c X c M? ? ?所以 ( ) ( ) ( )()( ) ( ){ } { } { }{}{ } [ ] { }i i iiN i T ii iX X XXc M X M X???第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 20 自由振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律 求出特征方程的 n個(gè)特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量后 ， 即得到振動(dòng)方程的 n個(gè)線性無關(guān)的特解 ， 系統(tǒng)按任意一個(gè)固有頻率作自由振動(dòng) ，稱之為 主振動(dòng) ， 則第 i 階主振動(dòng)為 ( ) ( ){ } { ) s in ( )ii iix X t????(i＝ 1,2,… n) 因而方程的通解應(yīng)是上述特解的線性組合 ()1{ } { } sin( )nii i iix c X t??????第 6章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 21 或?qū)憺? 其中常數(shù) ci、 ?i、 Ai、 Bi (i＝ 1,2,… ,n)由初始條件確定 。 如在 A1格 “ 插入 ” “名稱 ” “定義 ” … w (2)輸入公式 。 由此可求出 n個(gè)特征根 （ 固有頻率 ） ?2。 多自由度系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程式 1 1 1 1 2 1()m x k x k x r?? ? ? ?22 2 1 3 31 ( ) ( )2 m r k x r r k x r r? ? ?? ? ? ?3 3 3 3()m x k x r?? ? ?解法 2：計(jì)算動(dòng)勢(shì)能 。 一般來說 ， 一個(gè) n自由度的振動(dòng)系統(tǒng) ， 其廣義位