【正文】 理，若由此推出矛盾，則假設(shè)不成立，從而得到“否定”的結(jié)論，能求得在范圍內(nèi)的數(shù)值或圖形，就得到肯定的結(jié)論，即得到存在的結(jié)果.【例7】　已知{an}的前n項和為Sn，且an＋Sn＝4.(Ⅰ)求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列；(Ⅱ)是否存在正整數(shù)k，使＞2成立.【分析】　第(Ⅰ)小題通過代數(shù)變換確定數(shù)列an+1與an的關(guān)系，結(jié)合定義判斷數(shù)列{an}為等比數(shù)列；而第(Ⅱ)小題先假設(shè)條件中的不等式成立，再由此進(jìn)行推理，確定此不等式成立的合理性.【解】　(Ⅰ)由題意，Sn＋an＝4，Sn+1＋an+1＝4，由兩式相減，得(Sn+1＋an+1)－(Sn＋an)＝0，即2an+1－an＝0，an+1＝an，又2a1＝S1＋a1＝4，∴a1＝2，∴數(shù)列{an}是以首項a1＝2，公比為q＝的等比數(shù)列.(Ⅱ)由(Ⅰ)，得Sn＝＝4－22n.又由＞2，得＞2，整理，得＜21k＜1，即1＜2 k 1＜，∵k∈N*，∴2k1∈N*，這與2k1∈(1，)相矛盾，故不存在這樣的k，使不等式成立.【點評】　本題解答的整個過程屬于常規(guī)解法，但在導(dǎo)出矛盾時須注意條件“k∈N*”，這是在解答數(shù)列問題中易忽視的一個陷阱.【例8】　(08bn+2＜b2n+1.19．設(shè)數(shù)列{an}的首項a1∈(0，1)，an＝，n＝2，3，4，….（Ⅰ）求{an}的通項公式；（Ⅱ）設(shè)bn＝an，證明bn＜bn+1，其中n為正整數(shù)．20．已知數(shù)列{an}中a1＝2，an+1＝(－1)( an＋2)，n＝1，2，3，….（Ⅰ）求{an}的通項公式；（Ⅱ）若數(shù)列{an}中b1＝2，bn+1＝，n＝1，2，3，….證明：＜bn≤a4n3，n＝1，2，3，…21．已知二次函數(shù)y＝f(x)的圖像經(jīng)過坐標(biāo)原點，其導(dǎo)函數(shù)為f162。(－)(Ⅱ)由(Ⅰ)，得＝，則當(dāng)n≤10時，＝＞1，∴|f(11)|＞|f(10)|＞…＞|f(1)|，當(dāng)n≥11時，＝＜1，∴|f(11)|＞|f(12)|＞|f(13)|＞…，∵f(11)＜0，f(10)＜0，f(9)＞0，f(12)＞0，∴f(n)的最大值為f(9)或f(12)中的最大者．∵＝＝20023[12(x)＜0，當(dāng)2＜x≤4時，h162。(x)＝6x2－20x＝2x(3x－10)，當(dāng)x∈(0，)時，h162。(x)＝0，得x＝0，x＝當(dāng)a＞0時，對任意x∈(－1，0)，f162。(x)＝0，解得 x1＝0,x2＝a－1，.（Ⅰ）當(dāng)a＝1時，f162。(x)＋f(x)＞0，即則F162。＝(cosx－xsinx)＝－xsinx，令－xsinx＞0，則xsinx＜0，各選項中x均為正，只須sinx＜0，故x∈(π，2π).9．B 【解析】∵f162。(x)＝0的解為x1＝，x2＝－，則∈(0，1)，∴0＜a＜1.4．B 【解析】∵f(x)＝ax3＋bx2，f′(x)＝3ax2＋2bx，∴，即，令f162。(x)＞－f(x)恒成立，且常數(shù)a，b滿足a＞b，則下列不等式一定成立的是 （ ）A．a(chǎn)f(b)＞bf(a) B．a(chǎn)f(a)＞bf(b) C．a(chǎn)f(a)＜bf(b) D．a(chǎn)f(b)＜bf(a)二、填空題13．右圖是一個三次多項式函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f162。(x)＞0，g162。x2＝ （ ）A．9 B．－9 C．1 D．－12．函數(shù)f(x)＝x3＋ax＋1在(－∞，－1)上為增函數(shù)，在(－1，1)上為減函數(shù)，則f(1)為（ ）A． B．1 C． D．－13．函數(shù)f(x)＝x3－3ax－a在(0，1)內(nèi)有最小值，則a的取值范圍為 （ ）A．0≤a＜1 B．0＜a＜1 C．－1＜a＜1 D．0＜a＜4．已知函數(shù)f(x)＝x2(ax＋b)(a，b∈R)在x＝2時有極值，其圖象在點(1，(1))處的切線與直線3x＋y＝0平行，則函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間為 （ ）A．(－∞，0) B．(0，2) C．(2，＋∞) D．(－∞，＋∞)5．函數(shù)y＝f(x)在定義域(－，3)內(nèi)可導(dǎo)，＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)為y＝f162。(t)＝0，解得t＝8(t＝－2舍去).當(dāng)t變化時，V162。(x)，再解方程f162。(x)＝5x4＋3ax2＋b，由x＝1和x＝2是函數(shù)f(x)＝x5＋ax3＋bx＋1的兩個極值點，所以f162。(x)在(a，b)：(1)根據(jù)函數(shù)解析式，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)求解參數(shù)問題；(3)求解與函數(shù)單調(diào)性相關(guān)的其它問題，如函數(shù)圖象的零點、不等式恒成立等問題.【例3】　(08全國高考)已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋x＋1，a∈R．(Ⅰ)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(Ⅱ)設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(－，－)內(nèi)是減函數(shù)，求a的取值范圍．【分析】　第（Ⅰ）小題先求導(dǎo)函數(shù)f162。(x)的圖象零點0、2對應(yīng)原函數(shù)的極大或極小值點來判斷圖象.【解法1】　由y＝f162。(x)圖象在x軸下方的圖象對應(yīng)的區(qū)間為原函數(shù)圖象中的下降區(qū)間.2．導(dǎo)函數(shù)f162。2cosx＝cos2x－sin2x＋2sinxcosx＝cos2x＋sin2x＝(cos2x＋sin2x)＝(sin2x＋)，∵－≤x≤，∴－≤2x＋≤，∴當(dāng)2x＋＝，即x＝時，f(x)有最大值；當(dāng)2x＋＝－，即x＝－時，f(x)有最小值－1．專題二：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的交匯題型分析及解題策略【命題趨向】函數(shù)的觀點和方法既貫穿了高中代數(shù)的全過程，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，是高考數(shù)學(xué)中極為重要的內(nèi)容，縱觀全國及各自主命題省市近三年的高考試題，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)在選擇、填空、解答三種題型中每年都有試題，分值26分左右，如08年福建文11題理12題(5分)為容易題，考查函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象之間的關(guān)系、08年江蘇14題(5分)為容易題，考查函數(shù)值恒成立與導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性、08年北京文17題(12分)為中檔題考查函數(shù)單調(diào)性、奇偶性與導(dǎo)數(shù)的交匯、08年湖北理20題(12分)為中檔題，考查利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)應(yīng)用題、08年遼寧理22題(12分)為中檔題，仍然是難易結(jié)合，既有基本題也有綜合題，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的交匯的考查既有基本題也有綜合題，基本題以考查基本概念與運算為主，考查函數(shù)的基礎(chǔ)知識及函數(shù)性質(zhì)及圖象為主，同時考查導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識，知識載體主要是三次函數(shù)、：(1)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值問題；(2)考查以函數(shù)為載體的實際應(yīng)用題，主要是首先建立所求量的目標(biāo)函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解.【考試要求】 1．了解函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性的概念，掌握判斷一些簡單函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性的方法． 2．了解反函數(shù)的概念及互為反函數(shù)的函數(shù)圖像間的關(guān)系，會求一些簡單函數(shù)的反函數(shù)． 3．掌握有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)．掌握指數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)． 4．掌握對數(shù)的運算性質(zhì)；掌握對數(shù)函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì)． 5．能夠運用函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決某些簡單的實際問題． 6．了解導(dǎo)數(shù)概念的某些實際背景（如瞬時速度、加速度、光滑曲線切線的斜率等）；掌握函數(shù)在一點處的導(dǎo)數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)的幾何意義；理解導(dǎo)函數(shù)的概念． 7．熟記基本導(dǎo)數(shù)公式（c，xm（m為有理數(shù)），sinx，cosx，ex，ax，lnx，logax的導(dǎo)數(shù)）；掌握兩個函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則．了解復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，會求某些簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)． 8．理解可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；了解可導(dǎo)函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件（導(dǎo)數(shù)在極值點兩側(cè)異號）；會求一些實際問題（一般指單峰函數(shù)）的最大值和最小值．【考點透視】高考對導(dǎo)數(shù)的考查主要以工具的方式進(jìn)行命題，：（1）考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)（單調(diào)性、極值與最值）；（2）考查原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)之間的關(guān)系；（3）：①以填空題、選擇題考查導(dǎo)數(shù)的概念、求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、求單調(diào)區(qū)間、求函數(shù)的極值與最值；②與導(dǎo)數(shù)的幾何意義相結(jié)合的函數(shù)綜合題，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性或求單調(diào)區(qū)間、最值或極值，屬于中檔題；③利用導(dǎo)數(shù)求實際應(yīng)用問題中最值，為中檔偏難題.【典例分析】題型一　導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)圖象之間的關(guān)系如果原函數(shù)定義域內(nèi)可導(dǎo)，則原函數(shù)的圖象f(x)與其導(dǎo)函數(shù)f162。＝，∵c＝，∴k＝1.18．【解】(Ⅰ)由題意得＝－1，有x＋y＝－1 ①，由與夾角為，有cos25176。＝sin60176。＝5．已知＝(sinθ，)，＝(1，)，其中θ∈(π，)，則一定有 （ ）A．∥ B．⊥ C．與夾角為45176。)，＝(cos20176。＝6sin2α＋5sinαcosα－4cos2α＝0． 由于cosα≠0，∴6tan2α＋5tanα－4＝0．解之，得tanα＝－，或tanα＝．∵α∈（，2π），tanα＜0，故tanα＝（舍去）．∴tanα＝－．（Ⅱ）∵α∈（，2π），∴∈（，π）．由tanα＝－，求得tan＝－，tan＝2（舍去）．∴sin＝，cos＝－，∴cos(＋)＝coscos－sinsin＝－－＝－【點評】　本題主要考查向量垂直的充要條件、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、（Ⅰ）小題的解答中用到“弦化切”的思想方法，這是解決在一道試題中同時出現(xiàn)“切函數(shù)與弦函數(shù)”關(guān)系問題常用方法.題型四　三角函數(shù)與平面向量的模的綜合此類題型主要是利用向量模的性質(zhì)||2＝2，如果涉及到向量的坐標(biāo)解答時可利用兩種方法：（1）先進(jìn)行向量運算，再代入向量的坐標(biāo)進(jìn)行求解；（2）先將向量的坐標(biāo)代入向量的坐標(biāo)，再利用向量的坐標(biāo)運算進(jìn)行求解.【例3】　已知向量＝(cosα,sinα)，＝(cosβ,sinβ)，|－|＝.(Ⅰ)求cos(α－β)的值；(Ⅱ)若－＜β＜0＜α＜，且sinβ＝－，求sinα的值.【分析】　利用向量的模的計算與數(shù)量積的坐標(biāo)運算可解決第(Ⅰ)小題；而第(Ⅱ)小題則可變角α＝(α－β)＋β，然后就須求sin(α－β)與cosβ即可.【解】　(Ⅰ)∵|－|＝，∴2－2＝0．而＝（3sinα，cosα），＝(2sinα, 5sinα－4cosα)，故sin40176。 D．75176。＝－＝__________．三、解答題17．在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若cos20176。＝1＋t2＋2t(sin20176。cos(a－b)＝－，∴sin∠AOB＝，又||＝2，||＝5，∴S△AOB＝25＝．15．（，－1） 【解析】要經(jīng)過平移得到奇函數(shù)g(x)，應(yīng)將函數(shù)f(x)＝tan(2x＋)＋1的圖象向下平移1個單位，再向右平移－＋(k∈Z)個單位．即應(yīng)按照向量＝(－＋，－1) (k∈Z)進(jìn)行平移．要使|a|最小，16．(－1，0)或(0，－1) 【解析】設(shè)＝(x，y)，由＝bccosA＝bc(cosx－sinx)＋sinx(x)＜0，則f(x)在區(qū)間D上為減函數(shù)，由此進(jìn)一步得到導(dǎo)函數(shù)f162。(x)的圖象的正負(fù)區(qū)間，再觀察所給的選項的增減區(qū)間，＝f162。(x0)≥0(≤0)，且f162。(x)＝0的兩個根建立關(guān)于a、b的方程組求解.【解】　因為f162。(0)＝0，得－kx2－2x＋ck＝0，由韋達(dá)定理知另一個極值點為x＝1．(Ⅱ)由（*）式得c＝1＋，當(dāng)c＞1時，k＞0；當(dāng)0＜c＜1時，k＜－2．(ⅰ)當(dāng)k＞0時，f(x)在(－∞，－c)和(1，＋∞)內(nèi)是減函數(shù)，在(－c，1)內(nèi)是增函數(shù)．f(1)＝＝＞0，m＝f(－c)＝＝＜0，由M－m＝＋≥1及k＞0，解得k≥.(ⅱ)當(dāng)k＜－2時，f(x)在(－∞，－c)和(1，＋∞)內(nèi)是增函數(shù)，在(－c，1)內(nèi)是減函數(shù)．∴M＝f(1)＝＞0，m＝＝＜0，而M－m＝－＝1－≥1恒成立．綜上可知，所求的取值范圍為(－∞，－2)∪[，＋∞)．【點撥】　第(Ⅰ)(Ⅱ)小題的是與極值相關(guān)的解決恒成立問題，因此求函數(shù)在定義域上的極值是解答的關(guān)鍵.題型四　求解函數(shù)的最值問題函數(shù)在閉區(qū)間上的最值是比較所有極值點與端點的函數(shù)值所得結(jié)果，因此函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上的端點函數(shù)值一定不是極值，函數(shù)的極值不一定是函數(shù)的最值，：(1)根據(jù)函數(shù)的解析式求函數(shù)的最大值；(2)根據(jù)函數(shù)在一個區(qū)間上的最值情況求解參數(shù)問題.【例6】　(08浙江高考)已知a是實數(shù)，函數(shù)f(x)＝x2(x－a).(Ⅰ)略；（Ⅱ）求f(x)在區(qū)間[0，2]上的最大值.【分析】　首先求函數(shù)f162。(t)＝e(－t＋t＋4)＝－e(t＋2)(t－8)令V162。(x)＞0,h(x)是增函數(shù), ∴當(dāng)x=80時，h(x)取到極小值h(80)=,因為h(x)在(0,120]上只有一個極值，所以它是最小值.答：當(dāng)汽車以80千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少，.【點評】　解答類似于本題的問題時，可從給定的數(shù)量關(guān)系中選取一個恰當(dāng)?shù)淖兞浚⒑瘮?shù)模型，然后根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征(非常規(guī)函數(shù))，確定運用導(dǎo)數(shù)最值理論去解決問題.【專題訓(xùn)練】一、選擇題1．函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)有兩個極值點x1，x2，則x1(x)＞0，則x＜0時 （ ）A．f162。(x)＜012．若函數(shù)y＝f(x)在R上可導(dǎo)，且滿足不等式xf162。(x)＝3x2－3a，由于f(x)在(0，1)內(nèi)有最小值，故a＞0，且f162。(x)的值沒有正負(fù)交替的變化，故不是極值點，這就是說，點B是唯一的極值點.8．C 【解析】因為u＝logax(0＜a＜1)在（0，＋∞）上是減函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的復(fù)合規(guī)律得0≤logax≤，即≤a≤1，故選C.8．B 【解析】y162。(x)＞－f(x)，得xf162。(x)＝6x[x－(a－1)]，令f162。(x)＝3ax(x－)，由f162。(x)＜0，故f(x)＝x33x23x+2在(∞，1)內(nèi)是增函數(shù)，在(1，1+)內(nèi)是減函數(shù)，在(1+，+∞)內(nèi)是增函數(shù).20．【解】令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，對函數(shù)g(x)求導(dǎo)數(shù)：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a令g′(x)＝0，解得x＝ea－1－1，(1)當(dāng)a≤1時，對所有x＞0，g′(x)＞0，所以g(x