【正文】 n nn n n n n n na n a n a ab a ab a a a a a a????? ? ? ?? ? ? ? ????? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? {}nb? 是以 34? 為首項，以 12 為公比的等比數(shù)列 . （ II）由（ I）知， 13 1 3 1( ) ,4 2 2 2nn nb ?? ? ? ? ? ? 1 311,22nn naa?? ? ? ? ? ?21 311,22aa? ? ? ? ? ? 32 2311,22aa? ? ? ? ??????? 1 1311,22nn naa ? ?? ? ? ? ? ? 將以上各式相加得： 1 213 1 1 1( 1 ) ( ) ,2 2 2 2n na a n ?? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? 11 111( 1 )3 1 3 1 3221 ( 1 ) ( 1 ) 2 .12 2 2 2 212nn nna a n n n???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? 3 nan? ? ? ? （ III）解法一： 存在 2?? ，使數(shù)列 {}nnSTn?? 是等差數(shù)列 . 12 121 1 13 ( ) ( 1 2 ) 22 2 2nn nS a a a n n? ? ? ??? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ??? ? ? 26 11(1 )( 1 )22321 212n nn n? ?? ? ? ??221 3 3 33 (1 ) 3 .2 2 2 2nnn n n n??? ? ? ? ? ? ? 12 131( 1 )3 1 3 342 ( 1 ) .1 2 2 2 212nnn nnT b b b ???? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ?? 數(shù)列 {}nnSTn??是等差數(shù)列的充要條件是 ,(nnST An B An?? ??、 B 是常數(shù) ) 即 2 ,nnS T A n B n?? ? ? 又 213 3 3 33 ( )2 2 2 2nn nnnnST?? ??? ? ? ? ? ? ? ?2 313 (1 ) (1 )2 2 2nnn ??? ? ? ? ?當且僅當 102???，即 2?? 時，數(shù)列 {}nnSTn?? 為等差數(shù)列 . 解法二： 存在 2?? ，使數(shù)列 {}nnSTn?? 是等差數(shù)列 . 由（ I）、（ II）知， 22nna b n? ? ? ( 1)222n nnS T n?? ? ? ? ( 1 ) 222nnnnnn n T TST ?? ? ? ? ??? 322 nn Tn????? 又12 131( 1 )3 1 3 342 ( 1 )1 2 2 2 212nnn nnT b b b ???? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ?? 13 2 3 3()2 2 2nn nST n? ? ?? ??? ? ? ? ?當且僅當 2?? 時，數(shù)列 {}nnSTn?? 是等差數(shù)列 . 例 15 ??? ???????? ?? *),1()1()]1([ )0(0)( Nnnxnnfnxn xxf （ 1）在 [0， 3]上作函數(shù) y=f(x)的圖象 （ 2）求證： 2)(11 1 ????ni if （ 3）設(shè) S(a) (a≥ 0)是由 x 軸、 y=f(x)的圖象以及直線 x=a 所圍成的圖形面積，當 n∈ N*時，試尋求 )1()( ?? nSnS 與 )21( ?nf 的關(guān)系 解：（ 1）當 n=1 即 0x≤1 時， f(x)=x+f(0)=x 27 當 n=2 即 1x≤2 時， f(x)=2(x－ 1)+f(1)=2x－ 2+1=2x－ 1 當 n=3 即 2x≤3 時， f(x)=3(x－ 2)+f(2)=3x－ 6+22－ 1=3x－ 3 ∴???????????])3,2[(33])2,1[(12])1,0[()(xxxxxxxf ∴ 函數(shù) f(x)在 [0， 3]上的圖象如圖所示 （ 2） f(n)=n[n－ (n－ 1)]+f(n－ 1)=n+f(n－ 1) ∴ f(1)=1， f(2)=2+f(1)， f(3)=3+f(2)， … ， f(n)=n+f(n－ 1) 以上各式相加得 ( *),2 )1(21)( ?????? nnnnf ? ∴ )111(2)1( 2)(1 ????? nnnnnf ∴ )11141313121211(2)(1)3(1)2(1)1(1)(11 ????????????????? nnnffffifni ?? 12)111(2 ????? n nn ∵ 2n≥n+10 ∴ 112 ??nn 又 212212 ????? nnn n ∴ ?? ??ni if1 2)(11 （ 3）由（ 1）圖象中可知： S(n)―S(n―1) 表示一個以 f(n－ 1)、 f(n)為底， n―(n―1)=1 為高的梯形面積（當 n=1 時表示三角形面積），根據(jù)（ *）可得 S(n)―S(n―1)= 2]2 )1(2 )1([211)]()1([21 2nnnnnnfnf ???????? 又可得 22 )1(2)1()]1(21[)21( 2nnnnnfnnnnf ??????????? ∴ S(n)―S(n―1)= )21( ?nf 數(shù)列專題作業(yè) 1． 已知數(shù)列 }{na 滿足：nn anaa 211 )11(2,2 ??? ?. （ 1）求數(shù)列 }{na 的通項公式； （ 2）設(shè) nn CBnAnb 2)( 2 ???? ，試推斷是否存在常數(shù) A， B， C，使對一切 ??Nn 都有 nnn bba ?? ?1 成立？說明你的理由； （ 3）求證： 62 221 ????? ?nnaaa ? 解： （ 1）由已知22121 2)1(,)1(2 nan aanna nnnn ?????? ?? 即 28 }{2nan數(shù)列?是公比為 2 的等比數(shù)列，又 2121?a 22 nana nnnn ????? （ 2） nnn CBAnBAAnbb 2]22)4([ 21 ?????????? 若 CBAnBAAnnbba nnn ???????? ? 22)4(, 221 則恒成立 恒成立 . ??????????????????????641022041CBACBABAA ，故存在常數(shù) A、 B、 C滿足條件 （ 3） 111231221 )()()( bbbbbbbbaaa nnnn ???????????? ???? 62)32(62]6)1(4)1[( 1212 ???????????? ?? nn nnnn 6262]2)1[( 112 ??????? ?? nnn 2 ． 已知函數(shù) )(xfy? 對于任意 2?? k? （ Zk? ）， 都 有 式 子1c o t)ta n( ??? ??af 成立 （其中 a 為常數(shù)）． （Ⅰ ）求 函數(shù) )(xfy? 的解析式； （Ⅱ ） 利用函數(shù) )(xfy? 構(gòu)造一個數(shù)列 ，方法如下： 對于給定的定義域中的 1x ，令 )( 12 xfx ? ， )( 23 xfx ? ， ? ，)( 1?? nn xfx ， ? 在上述構(gòu)造過程中，如果 ix （ i =1， 2， 3，?） 在定 義域中，那么構(gòu)造數(shù)列的過程繼續(xù)下去；如果 ix 不在定義域中，那么構(gòu)造數(shù)列的過程就停止 . （?。┤绻梢杂蒙鲜龇椒?gòu)造出一個常 數(shù)列， 求 a 的取值范圍； （ⅱ）是否存在一個 實數(shù) a ， 使得取定義域中的任一值作為 1x ，都可用上述方法構(gòu)造出一個無窮數(shù) 列 }{nx ？若存在，求 出 29 a 的 值；若不存在，請說明理由； （ⅲ）當 1?a 時，若 11 ??x ，求數(shù)列 }{nx 的通項公式． 解： （Ⅰ）令 ?tan??ax （2?? k?），則 xa???tan ，而xa ??? 1tan 1cot ??， 故 )(xf = 11 ??xa， ∴ )(xfy? =xa ax ???1（ ax? ）． （Ⅱ）（ⅰ）根據(jù)題意，只需當 ax? 時，方程 xxf ?)( 有解， 亦即方程 01)1(2 ????? axax 有不等于 a 的解． 將 ax? 代入方程左邊，左邊為 1，與右邊不相等．故方程不可能有解 ax? ．由 △ = 0)1(4)1( 2 ???? aa ，得 3??a 或 1?a ， 即實數(shù) a 的取值范圍是 ( , 3] [1, )?? ? ??． （ⅱ）假設(shè)存在一個實數(shù) a ，使得取定義域中的任一值作為 x1，都可以用上述方法構(gòu)造出一個無窮數(shù)列 }{nx ，那么根據(jù)題意可知， xa ax ???1 =a 在 R 中 無解， 亦即當 ax? 時，方程 1)1( 2 ???? aaxa 無實數(shù)解． 由于 ax? 不是方程 1)1( 2 ???? aaxa 的解， 所以對于任意 x∈ R，方程 1)1( 2 ???? aaxa 無實數(shù)解， 因此??? ??? ?? .01,012 aaa 解得 1??a ． ∴ 1??a 即為所求 a 的值． （ⅲ）當 1?a 時， xxxf ??1)( ，所以，nnn xxx ??? 11 ． 兩邊取倒數(shù)，得 11111 ????? nnnn xxxx ，即 1111 ???? nn xx． 所以數(shù)列 {nx1 }是首項為 111 ??x，公差 1??d 的等差數(shù)列． 30 故 nnx n ???????? )1()1(11，所以，nxn 1??， 即數(shù)列 }{nx 的通項公式為nxn 1??． 3 ． 在 各 項 均 為 正 數(shù) 的 數(shù) 列 }{na 中，前 n 項和 Sn 滿足*)12(12 NnaaS nnn ???? 。 成立。 因此，使得 1112 6 1n????????﹤ ? ?20m nN? 成立的 m 必須滿足 12 ≤ 20m ，即 m≥ 10,故滿足要求的最小整數(shù) m 為 10。 解：（ Ⅰ）設(shè)這二次函數(shù) f(x)＝ ax2+bx (a≠ 0) ,則 f`(x)=2ax+b,由于 f`(x)=6x－ 2,得 a=3 , b=－ 2, 所以 f(x)＝ 3x2－ 2x. 又因為點 ( , )( )nn S n N?? 均在函數(shù) ()y f x? 的圖像上，所以 nS ＝ 3n2－ 2n. 當 n≥ 2 時， an＝ Sn－ Sn－ 1＝（ 3n2－ 2n）－ ? ?)1(2)13 2 ??? nn（ ＝ 6n－ 5. 當 n＝ 1 時， a1＝ S1＝ 312－ 2＝ 61－ 5， 所以， an＝ 6n－ 5 （ nN?? ） 20 （Ⅱ）由（Ⅰ）得知13?? nnn aab＝ ? ?5)1(6)56( 3 ??? nn＝ )16 156 1(21 ??? nn， 故 Tn＝ ??ni ib1＝21 ?????? ???????? )16 156 1(...)13171()711( nn＝2（ 1－161?n） . 因此，要使21（ 1－161?n） 20m（ nN?? ）成立的 m,必須且僅須滿足21≤20m，即m≥ 10，所以滿足要求的最小正整數(shù) m 為 10. 例 6．設(shè)xxf ??1 2)(1，定義2)0( 1)0()],([)( 11 ????? nnnnn ffaxffxf，其中 n∈ N*. （ 1）求數(shù)列｛ an｝的通項公式；（ 2）若 ,232 23212 nn naaaaT ????? ?， 解：（ 1） )0(1f ＝ 2， 4122 121 ????a，)0(1 2)]0([)0( 11 nnn ffff ????， ∴ nnnnnnnnnn affffffffa212)0(1)0(21)0(24)0(12)0(1 21)0(1 22)0(1)0(111 ????????????????????? ∴211 ???nnaa， ∴ 數(shù)列 ｛ an｝上首項為 41 ，公比為 21? 的等比數(shù)列， 1)21(41 ??? nna （ 2） ,232 23212 nn naaaaT ????? ? ,2)21(3)21(2)21()21(21 23212 nn na