掌握拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何圖形及簡單性質(zhì)(存儲版)
【正文】 ， 所以 P的軌跡方程為 x2＝ 8y. ? 答案： x2＝ 8y ? 5． 拋物線 y＝ x2(a≠0)的焦點坐標(biāo)為________． ? 答案： (0， ) ? 1． 拋物線上的點到焦點的距離等于到準(zhǔn)線的距離 ， 因此涉及拋物線的焦半徑 、 焦點弦問題 ， 可優(yōu)先考慮利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化為點到準(zhǔn)線之間的距離 ， 這樣就可以使問題簡單化 ． ? 2． 利用拋物線的定義可以求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 ． ? 【 例 1】 過 拋物線 y2＝ 2px(p0)的焦點 F任作一條直線 m， 交拋物線于 P P2 ? 兩點 ， 求證：以 P1P2為直徑的圓和該拋物線的準(zhǔn)線相切 ． ? 思路點撥： 利用拋物線的定義證明圓的圓心到拋物線的準(zhǔn)線的距離等于圓 ? 的半徑 ． ?證明 ：設(shè) P1P2的中點為 P0， 過 P P P0分別向準(zhǔn)線 l引垂線 ， 垂足分別為 Q Q Q0， 根據(jù)拋物線的定義 ， 得 P1F=P1Q1， P2F=P2Q2， ∴ P1P2=P1F+P2F=P1Q1+P2Q2. ?∵ P1Q1∥ P0Q0∥ P2Q2， P1P0=P0P2， ?∴ P0Q0= (P1Q1+P2Q2)= ，P0Q0是以 P1P2為直徑 ? 的圓 P 0的半徑，且 P0Q0⊥ ，圓 P0與準(zhǔn)線相切． ?解析： 過 P作 PK⊥ l(I為拋物線的準(zhǔn)線 )于 K，則 PF=PK. ? ∴ PA+PF=PA+PK. ? ∴ 當(dāng) P點的縱坐標(biāo)與 A點的縱坐標(biāo)相同時 ，PA+PK最小 ． 此時 P點的縱 ? 坐標(biāo)為 y=1代入 y2=4x得 x= ， ? 即當(dāng) P點的坐標(biāo)為 時 ， PA+PF最小 ． ? 答案 ： ?變式 1： 已 知點 A(－ 2,1)， y2＝－ 4x的焦點是F， P是 y2＝－ 4x上的點，為使 PA＋ PF取得最小值， P點的坐標(biāo)是 ________． ?拋物線上一點與焦點 F連線的線段叫做焦半徑 ． ?過焦點 F的直線與拋物線交于 A， B， 則線段 AB稱為焦點弦 ． ?通過焦點垂直于對稱軸的拋物線的弦叫拋物線的通徑 ， 通徑長為 2p， 這是 ?標(biāo)準(zhǔn)方程中 2p的一種幾何意義 ， 而 p的幾何意義則是焦點到準(zhǔn)線的距離 ． ?設(shè) A(x1， y1)， B(x2， y2)， 則有： 標(biāo)準(zhǔn)方程 焦半徑 AF 焦點弦長 AB y2＝ 2px(p0) AF＝ x1＋ AB＝ x1＋ x2＋ p y2＝－2px(p0) AF＝ － x1 AB＝ p－ x1－x2 x2＝2px(p0) AF＝ y1＋ AB＝ p＋ y1＋y2 x2＝－2py(p0) AF＝ － y1 AB＝ p－ y1－y2 ?【 例 2】 求 拋物線 y2＝ 2px的焦點弦長的最小值 ． ? 思路點撥： 設(shè)焦點弦所在直線 AB的傾斜角為 θ， 把直線 AB的方程 ? 寫成 ycos θ＝ sin θ ， 焦點弦長用 θ表示 ， 根據(jù) θ的取值求最值 ． ?解： 設(shè) 焦點弦所在直線的傾斜角為 θ， ?則直線 AB的方程為 ycos θ=sin θ ， 如右圖所示 ．
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