【正文】 ， k=2時(shí) ， 系統(tǒng)大約有 6dB左右的閉環(huán)諧振峰值；k=10時(shí) ， 曲線已切過無窮大點(diǎn) ， 因此系統(tǒng)是不穩(wěn)定的 。 結(jié)果分析： （ 1） Nyquist曲線逆時(shí)針包圍 1+j0點(diǎn) 1次，與右半 s平面極點(diǎn)數(shù)相等，系統(tǒng)穩(wěn)定。 系統(tǒng)傳遞函數(shù)為 畫出其奈奎斯特圖 ， 判別其閉環(huán)穩(wěn)定性 。 一、 根軌跡分析方法的概念 繪制根軌跡的基本法則 根軌跡的分支數(shù)：根軌跡的分支數(shù)等于閉環(huán)特征方程的階 數(shù) n（ 根軌跡的分支數(shù)等于閉環(huán)極點(diǎn)的數(shù)目 ） 。 √1－ 2k K=0時(shí)， s1=0,s2=－ 2 0＜ k＜ 時(shí)，兩個(gè)負(fù)實(shí)根 ；若 s1=－ , s2=? K=， s1=s2=－ 1 ＜ k＜ ∞時(shí)， s1,， 2=－ 1177。 rlocfind：計(jì)算給定一組根的根軌跡增益。 ?rlocus(a,b,c,d,k)或 rlocus(num,den,k)： 通過指定開環(huán)增益 k的變化范圍來繪制系統(tǒng)的根軌跡圖。 ?sgrid(‘new’)：是先清屏，再畫格線。 通過 rlocfind，配合前面所畫的 z及 wn柵格線，可以找出能產(chǎn)生主導(dǎo)極點(diǎn)阻尼比 z= 2021/6/16 60 例 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 G(s)=1/(s^4+12s^3+30s^2+50s) 畫出系統(tǒng)的根軌跡，并試尋找出臨界點(diǎn)（即根在虛軸上）的增益 k值。 ? 通過求取系統(tǒng)的零極點(diǎn)增益模型直接獲得系統(tǒng)的零極點(diǎn)，從而可以直接對(duì)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性及是否為最小相位系統(tǒng)作出判斷。 s平面上的虛軸映射為 z平面單位圓邊界， s平面上的原點(diǎn)映射為 z平面上的點(diǎn) (1， 0)，而 s平面上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)映射為 z平面上的點(diǎn) (1， 0)。 2021/6/16 59 例 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 G(s)=k/s(s+1)(s+2) 試尋找一個(gè)合適的 k值使得閉環(huán)系統(tǒng)具有較理想的階躍響應(yīng)。 ?不帶輸出參數(shù)項(xiàng) [k,p]時(shí)，同樣可以執(zhí)行，只是此時(shí)只將 k的值返回到缺省變量 ans中。 2021/6/16 55 根軌跡圖繪制 MATLAB提供了函數(shù) rlocus()來繪制系統(tǒng)的根軌跡圖： ?rlocus(a,b,c,d)或者 rlocus(num,den)：根據(jù) SISO開環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述模型和傳遞函數(shù)模型，直接在屏幕上繪制出系統(tǒng)的根軌跡圖。在 MATLAB中，專門提供了繪制根軌跡的有關(guān)函數(shù) 。 利用它可以對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行各種性能分析 。 一般來說 ， 這一參數(shù)選作開環(huán)系統(tǒng)的增益 K， 而在無零極點(diǎn)對(duì)消時(shí) ， 閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根就是閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn) 。 從 奈奎斯特圖上分析 ， 因?yàn)橄到y(tǒng)開環(huán)有一個(gè)右半平面極點(diǎn) （ s=） ， 奈奎斯特曲線必須以反時(shí)針繞 （ 1， 0） 點(diǎn)轉(zhuǎn)一圈 ， 系統(tǒng)才是穩(wěn)定的 。 （ 2）由插值函數(shù) spline()確定系統(tǒng)穩(wěn)定的臨界增益 k0 2021/6/16 44 已知某系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 G(s)=26/(s+6)(s1)， 求 （ 1） 繪制系統(tǒng)的 Nyquist曲線， 判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性 。 切點(diǎn)的頻率就是諧振頻率， 大約為 , 響應(yīng)曲線軌跡與 M=3dB軌跡交點(diǎn)的頻率就是 閉環(huán)系統(tǒng)的帶寬 ， 大約為 。 可由 ngrid命令在尼氏圖上作尼氏網(wǎng)格線 nichols(num,den,w) or nichols(a,b,c,d,w)： 給定開環(huán)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 ， 尼柯爾斯圖線作圖 。的間隔上都是對(duì)稱的。 ?h＝ freqz(b， a， f， Fs)計(jì)算在矢量 f中指定頻率處的頻率響應(yīng)，但指定頻率必須介于 0～ Fs之間。 abnanbznazaznbzbbzAzBzH??????????????)1()2(1)1()2()1()()()(11?? freqz（） : 用于計(jì)算由矢量 a和 b構(gòu)成的數(shù)字濾波器H(z)=B(z)/A(z)的復(fù)頻響應(yīng) H(jω)。 ?h=freqs(b,a,w)用于計(jì)算模擬濾波器的幅頻響應(yīng)，其中實(shí)矢量w用于指定頻率值，返回值 h為一個(gè)復(fù)數(shù)行向量，要得到幅值必須對(duì)它取絕對(duì)值，即求模。 （ 1） margin(num,den) ：計(jì)算出連續(xù) (開環(huán) )系統(tǒng)傳遞函數(shù)表示的幅值裕度和相角裕度并繪制相應(yīng)波特圖。相角裕度 pm表示：如果系統(tǒng)對(duì)頻率信號(hào)的相角滯后再增大 pm度，則系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)?？梢杂?plot(re,im)繪制出對(duì)應(yīng) w從負(fù)無窮到零變化的部分。 3）順時(shí)針包圍 1+j0點(diǎn)，系統(tǒng)不穩(wěn)定。 Nyquist穩(wěn)定判據(jù) 系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為：當(dāng) ω 由 0→∞ 變化時(shí)，開環(huán)幅相特性曲線 (Nyquist曲線 )按逆時(shí)針包圍臨界點(diǎn) (1,j0)的圈數(shù) R ，等于開環(huán)傳遞函數(shù)位于 s右半平面的極點(diǎn)數(shù) P，否則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，閉環(huán)正實(shí)部特征根個(gè)數(shù) Z=PR。 ?MATLAB提供了函數(shù) bode()來繪制系統(tǒng)的波特圖，其用法如下： ?bode(a,b,c,d)：自動(dòng)繪制出系統(tǒng)的一組 Bode圖，它們是針對(duì)連續(xù)狀態(tài)空間系統(tǒng) [a,b,c,d]的每個(gè)輸入的 Bode圖。ωb高表明快速性好 。 2021/6/16 16 2nm22nnω ( T s + 1 )H ( s ) =s + 2 ξ ω s+ ω結(jié)果分析： 從圖中可見 ， 所加零點(diǎn)越小 ， 即時(shí)間常數(shù)Tm越大 ， 則階躍響應(yīng)的超調(diào)加大 ， 上升時(shí)間減小 ， 系統(tǒng)的跟蹤速度加快 。 ?對(duì)于高階系統(tǒng)往往其響應(yīng)時(shí)間很難估計(jì)，一般采用試探的方法，把 t選大一些，看看響應(yīng)曲線的結(jié)果，最后再確定其合適的仿真時(shí)間。 求取系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)： step() 求取系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)： impulse() yy y222d ( t ) d ( t )T + 2 ζ T + ( t ) = r ( t )dt dt2n22nnωnu m( s )G ( s ) = =de n( s ) s + 2 ζ ω s+ ωn1ω =T step()函數(shù)的用法 ?y=step(num,den,t)：其中 num和 den分別為系統(tǒng)傳遞函數(shù)描述中的分子和分母多項(xiàng)式系數(shù)， t為選定的仿真時(shí)間向量，一般可以由 t=0:step:end等步長(zhǎng)地產(chǎn)生出來。 例 系統(tǒng)模型如下所示，判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，以及系統(tǒng)是否為最小相位系統(tǒng)。 ? 控制系統(tǒng)的分析包括系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析、時(shí)域分析、頻域分析及根軌跡分析。 一、系統(tǒng)穩(wěn)定及最小相位系統(tǒng)判據(jù) ?nn n 1 n io 1 n 1 n ii = 0D ( s ) = a s + a s + . . . + a s + a = a s = 0iR e ( z ) 0, i = 1, 2, , miR e ( p ) 0 , i = 1 , 2 , , nip 1, i = 1, 2, , niz 1, i = 1, 2, , m2021/6/16 3 直接判別 MATLAB提供了直接求取系統(tǒng)所有零極點(diǎn)的函數(shù)，因此可以直接根據(jù)零極點(diǎn)的分布情況對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性及是否為最小相位系統(tǒng)進(jìn)行判斷 。一個(gè)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的性能常用典型輸入作用下的響應(yīng)來描述。 2021/6/16 8 2021/6/16 9 ?如果對(duì)具體的響應(yīng)值不感興趣，而只想繪制系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線，可調(diào)用以下的格式： step(nu