自回歸滑動平均模型(存儲版)
【正文】 s:。 ( )( ) ( )t t t t tBBZ Y B Y Y B ZBB????????? ? ? ? ?????。進(jìn)一步，既然當(dāng)過程包含一個常數(shù)均值時 ACF保持不變，因此，把一個常數(shù)均值加入到 ARMA模型的表達(dá)式中不會改變?nèi)魏螀f(xié)方差結(jié)構(gòu)。 例 設(shè)ttY t N??? ? ?，使得( 1 )ttB Y Z?? ? ?，其中1t t tZ N N???。對數(shù)函數(shù)的簡單泰勒展式 引導(dǎo)出以下方程： 11ttttPPrP???? 11l o g 1tttPPP???? ??????? 1l o gttPP??1l o g l o gttPP??? 因此，如果我們令l o gttYP ?并且如果我們相信股票的收益率服從白噪聲 過程 ( 即，我們以ttrZ ?建模 ) ，那么，以上推導(dǎo)顯示股票價格的對數(shù)服 從隨機(jī)游動模型 ARIMA(0,1,0) 。因而，如果0 0Y ?，則 1011()ttk k k t tkkW Y Y Y Y Y???? ? ? ? ???。注意，依 ( 3 . 1 1 ) 式，tY也服從 A R M A ( 1 3 , 1 2 ) 模型，其所包含的中階 AR 和 MA 的許多系數(shù)被限制為零。如果{}tY表示若干年的 每月觀測值，我們可以用二向 A N O V A 把數(shù)據(jù)表格化如下： 1 13 2512 24 3619 94 19 95 19 96Januar yDe c e m berY Y YY Y Y 作為一個例子，有2 6 2 5 1 4 1 3( , , )Y f Y Y Y??。 例 設(shè){}tY是 A R I M A ( 1 , 1 , 1 ) 模型，滿足 1( 1 ) ( 1 ) t t tB B Y Z Z?? ?? ? ? ?。 作為 ARIMA 模型的另一個示例，設(shè)tP表示在第t天結(jié)束時一種股票的價 格。 通常，d是一個小整 數(shù)( 3 )?。與AR和 MA情形一樣， ARMA模型的性質(zhì)通?？梢杂伤麄兊淖韵嚓P(guān)函數(shù)來刻畫。此時， ( ) ( )( ) 。這點(diǎn)也許不 甚合意，因為我們通常想要擬合一個簡約的模型，即一個未知參數(shù)相對少的 模型。這 方面的詳情可見 B r o c k w e l l 和 D a v i s ( 1 9 9 1 ) 的著作。同時， 12( 1 ) 1 0f f f = + ，即 211ff 。 于是，其特征多 項式212( ) 1z z zf f f= 的根落在單位圓外。 將此方程除以( 0 )g，我們得到對于所有的k， 1( ) ( 1 ) ( )pk k k pr f r f r= + + L。+== 229。 也就是對所有的i， ( 1 ) ii Myd +。對于滿足1z e+的z，( ) 0zf 185。== = = 229。正因為如此，當(dāng)我們模擬一個 AR 模 型時， 我們不得不放棄初始的一大塊數(shù)據(jù)以使0Y的效應(yīng)可以忽略不計。且與序列{}tZ獨(dú)立，則0EEttYY f=。然而可以證 明 ( 見習(xí)題 1) 對于一個新定義的噪音2{ } .d.( 0, )tZ s% %:，{}tY也滿足 121, .d. ( 0 , )t t t tY Y Z Zfs=+ %% %:。=?229。桫 1 2 1211 1 1t t t kkZ Z Yf f f+ + + ++= = +LL。 既然11t t tY Y Zf++=+，方程兩邊同時除以f，我們有 1111t t tY Y Zff++= ( 3 . 5 ) 在 ( 3 . 5 ) 中用1t +代替t，我們得到1 2 2()t t tY Y Z f+ + +=。247。 對于這個新定義的過程0jt t jjYZ f165。既然{}tY滿足方程 (3 . 4 ) ，它必須有如下形式： 110kikt t i t kiY Z Yff+ ==+ 229。情況確實(shí) 如此并且正因為這個原因， AR 模型已經(jīng)成為最常用的線性時間序列模型之一 . 形式上， A R ( p ) 模型{}tY可以寫為()ttB Y Zf =，這里1( ) ( 1 )ppB B Bf f f= L， 1ttB Y Y=。{} tY可逆的條件由如下定理給出。其 它 . 考慮另一個M A ( 1 )模型 111t t tX Z Zq= 那么有( ) ( )XY kkrr =。239。239。239。238。239。假如我們只要求{}tZ是不相關(guān)的而不必是獨(dú)立的， 則{}tZ有時被稱為白噪音序列并用2WN ( 0 , )tZ s:表示之。假定所要研究的序列已 經(jīng)用前兩章介紹的方法剔除了趨勢。用{}tZ做成一個加權(quán)平均，我們就完成了如下的滑動平均 ( M A ) 時 間序列模型： 211, W N ( 0 , )t t t q t q tY Z Z Z Zq q s= + + +L: ( 3 . 1 ) 此模型稱為q階滑動平均模型并記為M A ( )q。239。 其 中 觀察公式 200, , 0 ,()1 , 0 ,0,qkqii ikiik q kkkq q qr
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