參數(shù)估計(jì)在建模中的應(yīng)用上(存儲(chǔ)版)
【正文】 xn ?? ?例 設(shè)總體服從指數(shù)分布，由于 EX=1/?， 即 ? =1/ EX，故 ? 的矩法估計(jì)為 另外，由于 Var(X)=1/?2，其反函數(shù)為 因此，從替換原理來(lái)看， ?的矩法估計(jì)也可取為 s 為樣本標(biāo)準(zhǔn)差。 ) ( 。 )nnL L x x f x f x f x? ? ? ? ?? ? ? ? ? 如果某統(tǒng)計(jì)量 滿足 則稱 是 ? 的 最（極）大似然估計(jì) ， 簡(jiǎn)記為MLE（ Maximum Likelihood Estimate） 。由于1/? n是 ?的單調(diào)減函數(shù)，所以 ? 的取值應(yīng)盡可能小，但指示函數(shù)為 1決定了 ? 不能小于x(n)，由此給出 ?的極大似然估計(jì)： 。 例 設(shè) x1, x2 , …, xn 是來(lái)自均勻總體 U(0, ? )的樣本，試求 ? 的極大似然估計(jì)。 ) ( 。 , , ) ( 。 ? ()E X x?2?V a r ( ) nXs?例 對(duì)某型號(hào)的 20輛汽車記錄其每加侖汽油的行駛里程 (km)，觀測(cè)數(shù)據(jù)如下： 經(jīng)計(jì)算有 由此給出總體均值、方差和中位數(shù)的估計(jì)分別為 : , 和 。 如果大家還是不能理解，那你們最好這樣回答有關(guān)區(qū)間估計(jì)的結(jié)果： 該班同學(xué)平均成績(jī)的置信區(qū)間是 6080分，置信度為 95%。 ? 含義：在點(diǎn)估計(jì)的基礎(chǔ)上，估計(jì)總體參數(shù)的區(qū)間范圍，并給出區(qū)間估計(jì)成立的概率值。 一般地，將構(gòu)造置區(qū)間的步驟重復(fù)很多次，置信區(qū)間包含總體參數(shù)真值的次數(shù)所占的比例稱為置信水平。 ? 參數(shù)估計(jì)的兩種形式： 點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì) 。這說(shuō)明矩估計(jì)可能是不唯一的，這是矩估計(jì)法的一個(gè)缺點(diǎn)，此時(shí)通常應(yīng)該盡量采用 低階矩 給出未知參數(shù)的估計(jì)。 )nnL L x x p x p x p x? ? ? ? ?? ? ? ? ?極大似然估計(jì)（續(xù)） 定義 設(shè)總體 X為連續(xù)型，其概率密度為 f(x。 1? ? ( , , )nxx????( ) m a x ( )LL ??? ?????人們通常更習(xí)慣于由 對(duì)數(shù)似然函數(shù) lnL(? )出發(fā)尋找 ? 的極大似然估計(jì)。 (){ 0 } { }111()innxxnniL I I????? ? ? ?????()? nx? ? 極大似然估計(jì)有一個(gè)簡(jiǎn)單而有用的性質(zhì)：如果 是 ? 的極大似然估計(jì)，則對(duì)任一函數(shù) g(? )，其極大似然估計(jì)為 。 1
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