排列、組合與二項(xiàng)式定理(存儲版)
【正文】 共 有 種 不 同 選 法 .返 回 課堂練習(xí)題解答： ? ?21484 . ( 1 ) 6 8 4 8 , 4 8 .CC ? ? ? ? 有 種 不 同 選 法1 2 2 1 3 3 34 8 4 8 4 1 2 8( 2 ) 1 6 4 1 6 4 .C C C C C C C? ? ? ? ?或? ?1 6 4 .? 至 少 有 一 名 女 生 選 法 有 種返 回 思考題解答： 0 0 1 1 2 2 2 01,( ) , ,( ) ( 0 , 1 , 2 , , )。 全 排 列所 有 不 同 法 所 含 元 素 完 全 一 樣 , 只 是 元 素 排 列 的 順 序 不 完 全相 同 。, , .24 四 個 字 母 , 每 次 任 取 兩 個 字 母 , 一 個 作 分 子 ,一 個 作 分 母 , 可 以 組 成 多 少 個 不 相 恒 等 的 分 數(shù) , 是 排 列 問 題 ,記 作 而 從 中 任 取 兩 個 作 因 數(shù) 可 以 組 成 多 少 個 不 相 恒 等 的乘 積 是 組 合 問 題 記 作a, b, c , dAC二、組合種數(shù)的計(jì)算公式 .從 個 不 同 的 元 素 中 每 次 任 取 個 元 素 的 組 合 與 元 素 的 排 列順 序 無 關(guān) , 所 以 可 以 把 從 n 個 不 同 的 元 素 中 每 次 任 取 m 個 元 素 的排 列 , 看 成 是 先 從 n 個 不 同 的 元 素 中 每 次 取 m 個 元 素 的 組 合 , 再對 任 取 的 m 個 元 素 進(jìn) 行 全 排 列 的 結(jié) 果 , 于 是 , 根 據(jù) 乘 法 原 理 可 有 :mmn n mnmA C A?,:于 是 可 以 得 到 ? ?.1 2 6 mm nnmACA??.:這 就 是 組 合 的 計(jì) 算 公 式 這 個 公 式 還 可 寫 成? ? ? ?! 1 2 7!! mnnCm n m???三、組合的兩個性質(zhì) 性質(zhì) 1 1( ! , 1 .)2當(dāng) 用 性 質(zhì) 較 方 便m n mnnC C m n???證 ? ? ,由 公 式 127 可 得:等 式 左 邊 ? ?!!!mn nC m n m? ? ，等 式 右 邊 : ? ?! .!!nmn nC n m m? ? ?.所 以 有 m n mnnCC ??.7072 計(jì) 算 C例 2? ? :由 公 式 127 可 得27272 71 2556217072CC?? ? ??解 性質(zhì) 2 1 1m m mn n nC C C? ???(!化簡、證明常用性質(zhì) 2.) 證 ? ? :由 公 式 127 可 得? ? ? ? ? ?1 !!! ! 1 ! 1 !mmnnnnCCm n m m n m?? ? ?? ? ? ?? ?? ?? ?? ?1 ! ! 1 !! 1 ! ! 1 !n m n m n n nm n m m n m? ? ? ? ? ? ???? ? ? ?? ?? ? 11!! 1 !mnn Cm n m ??????1 1 .所 以 有 m m mn n nC C C? ???9799 .9699 計(jì) 算 CC?例 397 3 2 399 99 99 10 010 0 99 98C C C C C ??? ? ? ? ? ???9699 2 1解 平 面 上 有 12 個 點(diǎn) , 其 中 沒 有 3 點(diǎn) 在 同 一 條 直 線 上 , 問 : (1) 這 些 點(diǎn) 可 以 確 定 多 少 條 不 同 的 直 線 。 .。第十二章 排列、組合與二項(xiàng)式定理 排列與組合的內(nèi)容是學(xué)習(xí)概率的預(yù)備知識，也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)理統(tǒng)計(jì)、近世代數(shù)、組合數(shù)學(xué)等高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)；由于內(nèi)容抽象，解法特殊，所以這部分內(nèi)容也是發(fā)展邏輯思維能力的很好題材 . 二項(xiàng)式定理是在初中乘法公式及組合數(shù)公式的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的內(nèi)容，它與概率論中二項(xiàng)分布、微積分中求導(dǎo)公式的推導(dǎo)有著密切的聯(lián)系，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時經(jīng)常用的基礎(chǔ)知識 . 第一節(jié) 加法原理與乘法原理 第二節(jié) 排列 第三節(jié) 組合 第四節(jié) 二項(xiàng)式定理 第一節(jié) 加法原理與乘法原理 在討論排列與組合之前 ,我們先介紹兩個基本原理，看下面的問題 . 例 1 從甲地到乙地，可乘坐火車、汽車或輪船中的任何一種，火車每日 1班，汽車每日 2班，輪船每日 3班，問從甲地到乙地，一日中共有多少種不同的走法？ 從甲地到乙地，可乘坐三類交通工具：火車、汽車或輪船，這三類乘坐方法互不關(guān)聯(lián)，使用其中任何一類都能獨(dú)立完成從甲地到達(dá)乙地，如圖121所示 . 圖 121 例 1中甲地到乙地的不同走法 汽 車火 車甲 乙輪 船解 因此，計(jì)算共有多少種不同走法，只需把這三類交通工具各自的班次數(shù)加起來，可得 :(2+3+1)種 =6種 答：從甲地到乙地共有 6種不同的走法 . 一般地，有以下原理 . 加法原理 ? ?,1 , 2 , , , ,ikn i k? 完 成 一 件 事 如 果 有 類 互 不 關(guān) 聯(lián) 的 方 法 每 類 方 法中 又 有 種 不 同 的 具 體 辦 法 使 用 其 中 一 種 辦 法 都能 獨(dú) 立 完 成 這 件 事 那 么 完 成 這 件 事 的 不 同 辦 法 共 有 :? ? ? ?21 種 121kn n n? ? ?(!) 加 法 原 理 實(shí) 質(zhì) 是 直 接 完 成 一 件 事 . 加 法 原 理 又 稱 分 類計(jì) 數(shù) 原 理 .從 甲 地 經(jīng) 乙 地 到 丙 地 , 甲 地 到 乙 地 可 乘 坐 汽 車 或 火 車 ,汽 車 每 日 2 班 , 火 車 每 日 1 班 , 而 從 乙 地 到 丙 地 每 日 有 3 班 輪 船 ,問 從 甲 地 到 丙 地 共 可 有 多 少 種 不 同 的 走 法 ? 例 2 由 已 知 從 甲 地 到 丙 地 要 分 兩 段 走 :? ?2 + 1 3 .?第 一 段 從 甲 地 到 乙 地 , 坐 汽 車 或 火 車 , 共 有 : 種 種,不 同 走 法 第 二 段 從 乙 地 到 丙 地 坐 船 共 有 3 種 不 同 的 走 法 .第 一 段 采 用 3 種 走 法 中 任 意 一 種 到 達(dá) 乙 地 后 , 要 去 丙 地 又有 3 種 走 法 可 以 選 擇 , 所 以 從 甲 地 經(jīng) 乙 地 到 丙 地 , 共 有 :3 3 種 =9 種 .?不 同 走 法 , 如 圖 122 所 示 .圖 122 例 2中甲地到乙地的不同走法 甲 乙 丙輪 船汽 車火 車解一 般 地 , 我 們 有 以 下 原 理 .乘法原理 ? ?1 , 2 , , ,i完 成 一 件 事 , 如 果 有 個 相 互 關(guān) 聯(lián) 的 步 驟 , 要依 次 完 成 這 些 步 驟 , 這 件 事 才 能 完 成 , 而 每 一 個 步 驟 又 有種 不 同 的 具 體 辦 法 去 完 成 那 么 完 成 這 件 事 的 不同 辦 法 共 有 :knik?? ?21 種 122kn n n(!) 乘 法 原 理 實(shí) 質(zhì) 是 分 步 配 合 完 成 . 乘 法 原 理 又 稱 分 步 計(jì) 數(shù)原 理 .( 1)( 2) 書 架 上 層 放 有 6 本 不 同 的 數(shù) 學(xué) 書 , 下 層 放 有 5 本 不 同 的語 文 書 . 從 中 任 取 一 本 書 , 有 多 少 種 不 同 的 取 法 ? 從 中 任 取 數(shù) 學(xué) 書 和 語 文 書 各 一 本 , 有 多 少 種 不 同 的 取 法 ? 例 3? ?2 ( 1)6 5 11 .N n n????1 完 成 從 書 架 上 任 取 一 本 書 這 件 事 有 兩 類 互 不 關(guān)聯(lián) 的 方 法 , 第 一 類 方 法 是 從 上 層 取 數(shù) 學(xué) 書 , 可 以 從 6 本 書 中 任 取一 本 , 有 6 種 方 法 。 ( 2 ) 3 , . 若 求nnA A A A n?? ? ?： ? ?111 1 1
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