排列、組合與二項(xiàng)式定理-預(yù)覽頁(yè)
【正文】 填 法就 得 到 一 個(gè) 排 列 .nmmnmnn 如 圖 123 所 示 , 先 確 定 第 1 號(hào) 位 置 上 的 元 素 , 全 部 個(gè) 元 素 中的 任 何 一 個(gè) 都 可 以 放 在 這 里 , 共 有 種 不 同 的 放 法 .n n n 再 確 定 第 2 號(hào) 位 置 上 的 元 素 , 在 第 一 號(hào) 位 置 上 的 元 素 已 經(jīng) 確定 的 條 件 下 , 可 供 挑 選 的 只 有 1 個(gè) 元 素 , 所 以 共 有 1 = 2 +1 咱不 同 的 放 法 .再 確 定 第 3 號(hào) 位 置 上 的 元 素 , 在 1 號(hào) ,2 號(hào) 位 置 上 的 元 素 已 確定 的 條 件 下 , 第 3 號(hào) 位 置 上 的 元 素 共 有 2 = 3 + 1 種 不 同 的 放 法 .nn 依 此 類(lèi) 推 可 知 , 第 號(hào) 位 置 上 的 元 素 應(yīng) 有 + 1 種 不 同 的放 法 . m n m? ? ? ? ? ?1 2 1A n n n n m? ? ? ? ?mn圖 123 示 意位 置填 法31 2n 1n? 2n?m1nm??? ? ,其 中 , 每 一 種 放 法 放 滿(mǎn) 個(gè) 空 位 置 就 得 到 一 個(gè) 排 列 于 是 根據(jù) 乘 法 原 理 從 個(gè) 不 同 的 元 素 中 , 每 次 取 出 個(gè) 不 同 元 素 的 排 列種 數(shù) 為mnm? ? ? ? ? ? ? ?1 2 1mnmA n n n n m? ? ? ? ?個(gè) 因 式 1 2 3,這 就 是 說(shuō) 從 個(gè) 不 同 的 元 素 中 , 每 次 取 出 個(gè) 元 素 的 排 列 種數(shù) 等 于 個(gè) 連 續(xù) 正 整 數(shù) 的 乘 積 , 其 中 最 大 的 正 整 數(shù) 是 .nmmn4377。 第 二 類(lèi) 方 法 是 從 下 層 取 語(yǔ) 文 書(shū) , 可 以 從 5 本 書(shū)中 任 取 一 本 , 有 5 種 方 法 , 根 據(jù) 加 法 原 理 , 其 取 法 共 有 :=種 種:答 從 書(shū) 架 上 任 取 一 本 書(shū) , 有 11 種 不 同 的 取 法 .解2.1(2) 完 成 從 書(shū) 架 上 任 取 數(shù) 學(xué) 書(shū) 和 語(yǔ) 文 書(shū) 各 一 本 這 件 事可 以 分 為 兩 個(gè) 步 驟 : 第 一 步 取 一 本 數(shù) 學(xué) 書(shū) , 有 6 種 方 法 。 .8n+15 計(jì) 算 ( 1 ) ( 2 ) nA A n AA ??例 5( 1 ) 由 例 4得 : 7 6 55 5 58 8 7 8 7 6 3 3 6 。 1 ? 若 則 以 上 兩 等 式 成 立 嗎mnn n n nn n n nA n mA A A n A??? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?( 2 ) 手 機(jī) 由 11 位 數(shù) 字 組 成 , 問(wèn) 可 有 多 少 個(gè) 不 同 手 機(jī) 用 戶(hù) ?答 案 答 案 0 2 3 4 5 6 7 8 n!n4. , 階 乘 即 為 全 排 列 階 乘 數(shù) 等 于 正 整 數(shù) 1 到 的 連 乘 積 . 這 個(gè)積 叫 的 階 乘 .nn1 2 6 24 120 720 5040 40320（單擊左鍵顯示答案） 第三節(jié) 組 合 一、組合的概念 例 1 飛行在北京 上海 廣州間的民用飛機(jī)，有多少種不同的票價(jià)？ 從北京、上海、廣州三個(gè)站中每次取出兩個(gè)站，不管哪一個(gè)是起點(diǎn)，票價(jià)都是一樣的，所以我們可把它看成是從三個(gè)站中每次取出兩個(gè)站，不管順序如何，把它們并成一組，共可并成多少種不同的組，就有多少種不同的票價(jià) .因此， 北 京 , 上 海 間 ( 即 北 京 上 海 或 上 海 北 京 )。210210 一 個(gè) 組 10 個(gè) 人 , 從 中 選 取 正 副 組 長(zhǎng) 各 1 人 , 共 有 多 少 種不 同 的 選 法 是 排 列 問(wèn) 題 , 記 作 從 中 選 出 代 表 2 人 去 開(kāi) 會(huì) , 共有 多 少 種 不 同 的 選 法 , 是 組 合 問(wèn) 題 , 記 作AC( 2)。 (2) 以 這 些 點(diǎn) 中 的 任 意 3 點(diǎn) 為 頂 點(diǎn) 作 一 個(gè) 三 角 形 , 一 共 可 以 作多 少 個(gè) 三 角 形 ?例 4 (1) 因 為 每 2 點(diǎn) 可 以 確 定 一 條 直 線(xiàn) , 并 且 沒(méi) 有 3 點(diǎn) 在 同一 條 直 線(xiàn) 上 , 所 以 , 在 這 樣 的 直 線(xiàn) 中 , 任 何 兩 條 都 不 重 合 . 因 此 ,所 求 的 直 線(xiàn) 條 數(shù) 就 是 12 個(gè) 不 同 元 素 中 取 出 2 個(gè) 元 素 的 組 合 數(shù) , 即12 11 6621C????212 條? ? , (2) 因 為 以 每 3 點(diǎn) 為 頂 點(diǎn) 都 可 以 作 一 個(gè) 三 角 形 為 什 么 ? 所 以所 求 的 三 角 形 就 是 從 12 個(gè) 不 同 元 素 中 取 出 3 個(gè) 元 素 的 組 合 數(shù) , 即12 11 103 2 1C?????312 =220 個(gè)答 :(1) 可 以 確 定 66 條 直 線(xiàn) 。 。 允 許 元 素 重 復(fù) 用 的 排 列 問(wèn) 題 叫 重 復(fù) 排 列 。 公 式 有 : 有 兩 個(gè)性 質(zhì) 當(dāng) 用 來(lái) 解 題 方 便 .返 回 4310 710 9 8 7 7 6 51. 21 0 。112n實(shí) 質(zhì) 上 是 乘 法 公 式 推 廣 :()這 個(gè) 公 式 所 表 示 的 規(guī) 律 叫 二 項(xiàng) 式 定 理 右 邊 多 項(xiàng) 式 叫的 二 項(xiàng) 展 開(kāi) 式 , 其 中 叫 二 項(xiàng) 系 數(shù) .叫 二 項(xiàng) 式 的 通 項(xiàng) 用 T 表 示 當(dāng) 為 奇 數(shù) , 展 開(kāi) 式 中 間 兩+1項(xiàng) 系 數(shù) 最 大 用 和 算 出 第 幾 項(xiàng) . 為 偶 數(shù) 第22n n n r n r r n nn n n n nnmnr n r rnra + b C a b C a b C a b C a b C a bna b C m nC a bn n n? ? ???? ? ? ? ? ? ??????+Nnn0 2 111, , , , ,.1+1項(xiàng)( 即 中 間 項(xiàng) ) 系 數(shù) 最 大 .( ) 展 開(kāi) 式 共 項(xiàng) , 它 的 系 數(shù) 一 律 用組 合 數(shù) 表 示 : 可 知 與 展 開(kāi) 式 首 項(xiàng) , 末 項(xiàng) 分 別等 距 離 的 兩 項(xiàng) 的 系 數(shù) 相 等 . 第 +1 項(xiàng) 為nnnn n n n nr n r rrna + b nC C C C Cr T C a b?????返 回 課堂練習(xí)題解答： 0 4 1 3 2 2 24 4 43 3 4 4444 3 2 2 3 41. ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )( 2 )16 32 24 8 .p + q C p C p q C p qC p q C qp p q p q pq q? ? ???? ? ? ? ?4(2 ) 返 回 課堂練習(xí)題解答： 3 7 3 3 37737 2. 1 ( 2 ) , 35. 8 280 .43 第 4 項(xiàng) 的 二 項(xiàng) 式 系 數(shù) 為 第 4 項(xiàng)的 系 數(shù) 是 指 的 系 數(shù) 為 從 而 知 二 項(xiàng) 展 開(kāi) 式 中 某 項(xiàng) 的二 項(xiàng) 式 系 數(shù) 與 某 項(xiàng) 的 系 數(shù) 是 兩 個(gè) 概 念 .T C x CxC????返 回 課堂練習(xí)題解答： 5 5 5 510 1013 . ( ) ( ) 2 5 2 .T C x Cx? ? ?6返 回 課堂練習(xí)題解答： 4. 8 1n ? ? ?8 偶 數(shù) 第 項(xiàng) 最 大 的 項(xiàng) .24 4 48 7 0 .5即 T C x x?? 返 回 55 . 0 .9 9 7 ( 1 0 .0 0 3 )1 5 0 .0 0 3 1 0 0 .0 0 3??? ? ? ? ? ?5 ( ) 1 5 0 . 0 0 3 0 . 9 8 5 .? ? ? ?5由 精 確 可 知 ()課堂練習(xí)題解答： 返 回
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