【正文】 ，并對于每種 解法賦予案列介紹，以便各種可以更加清楚明了的了解方程式。然而 遞推法對于實數(shù)集上的函數(shù)方程未必適用。 解：不妨設(shè) xxt 1?? ，則有 tx ??11 池州學(xué)院 本科 畢業(yè)論文 （設(shè)計） 12 所以 ? ?ttttf ?????? 1211 1 所以 ? ?xxxf ??? 12 故 ? ? ? ?xxxxxxxf 1111 )1(21 ??????? ???? 例 已知 ? ? xxf x cos3 3 ?? ，求 ??xf 。 池州學(xué)院 本科 畢業(yè)論文 （設(shè)計） 13 解：由 xf cos)1( ? 可知 )1( s i nc o ss i n)1(c o s)2( ???? xxxfxf )s ins in1(c o s)3( 2 xxxf ??? )s i ns i ns i n1(c o s)4( 32 xxxxf ???? ?????????? 所以從上面的式子中我們可以猜想得 xxxxxxxnf nn s i n1 s i n1c oss i ns i ns i n1(c os)( 12 ???????? ?? 我們可以用數(shù)學(xué)歸納的方法去證明上面的猜想 （ 1） 當(dāng) 1?n 時 xf cos)1( ? 猜想成立 （ 2） 假設(shè)當(dāng) kn? 時猜想成立，即 xxxkf ksin1 sin1c os)( ??? 成立 當(dāng) 1??kn 時，得 xkfxkf s in)(c o s)1( ??? xxxxx ks in1 s in1s inc osc os ???? x xx ksin1 )sin1(c os 1??? ?， 所以由上面的條件可以知道，當(dāng) kn? 時等式成立，則當(dāng) 1??kn 時也成立 綜上所述得： xxxnf nsin1 sin1c os)( ??? 例 已知函數(shù) 12)( ?? nnf ， 當(dāng) 1?n 時， 3)( ?ng 。 （ 3）我們再由矛盾判斷假設(shè)不成立，從而肯定命題的結(jié)論正確。 例 已知數(shù)列 ??na 滿足首項 21?a ，1621 ???? nnn aaa 求數(shù)列 ??na 的通項公式。 池州學(xué)院 本科 畢業(yè)論文 （設(shè)計） 19 解： 由題意可知令 0xy?? 可得 (0) 2 (0)ff? ? (0) 0f ? 由導(dǎo)數(shù)的定義00( ) ( 0 ) ( )( 0 ) l im l imhhf h f f hf hh???? ?? 對于 xR?? 有0( ) ( )limhf x h f xh??? 0( ) ( )limhf h xhf x hh???? 22(0) 1f x x?? ? ? ? 即 2( ) 1f x x? ??，兩邊對 x 積分可得 31() 3f x x x C? ? ?，又 (0) 0f ? ，故 0C? 所以 31() 3f x x x?? 例 設(shè) ()fx連 續(xù)， (0)f? 存在且 (0) 1f? ? ，并且對于任意的 ,xy R? 都有 ( ) ( )()1 4 ( ) ( )f x f yf x y f x f y??? ? 求 ()fx。 賦值法格式：令 x(可替換為相應(yīng)字母 )=值（如 0， 1，－ 1等） 例 已知設(shè) )(xf 是定義在 R上 的為不恒等零的函數(shù)，且滿足 0)2( ?πf ，那么對任意 x ， y R? ，都恒有 )2()2(2)()( yxfyxfyfxf ???? ，證明： 池州學(xué)院 本科 畢業(yè)論文 （設(shè)計） 21 （ 1） )()2( xfxf ?? π ； （ 2） )()( xfxf ?? ； （ 3） 1)(2)2( 2 ?? xfxf 。 例 設(shè)12 12???x，12 12???y，則 _ _ _ _ _ _ _22 ??? yxyx （ 20xx年湖北省初中數(shù)學(xué)競賽題） 池州學(xué)院 本科 畢業(yè)論文 （設(shè)計） 23 解：由題意可知 22312 12 ?????x 22312 12 ?????y 則知 6??yx ， 1?xy （ 1） 又 xyyxyxyx 3)( 222 ????? （ 2） 所以 將（ 1）代入（ 2）得 333363)( 222 ???????? xyyxyxyx 例 已知 1)(2)1( ??? xfxf ，其中 1)1( ?f .而 x 為自然數(shù)。 解： 由題意可知： 池州學(xué)院 本科 畢業(yè)論文 （設(shè)計） 24 因為 1111 ????xx x 又 11)1(11)1( 222 ????????? xxxxxxxx xf 用 x 代xx1?，得 1)( 2 ??? xxxf )1( ?x 經(jīng)過檢驗知到，它是原方程的解。 解：由 xxfxfxf 2)()1(2)2( ????? 變化得 xx xfxfxfxf 2)()1(2)1()2( 1 ???????? ? 知 ? ?12)1()2( ????? xxfxf 為常數(shù)列 222)()1( 12 ???????? aaxfxf x 池州學(xué)院 本科 畢業(yè)論文 （設(shè)計） 26 1,...,1 ?? xx 得 22)1()2( 1 ???? ff 22)2()3( 2 ???? ff ? ? ? ? 22)1()( 1 ????? ?xxfxf 相加得 122122)( ??????? xxxf xx ? ?Zxx ?? 且1 有些時候我們解決比較復(fù)雜的函數(shù)問題時，將這個復(fù)雜的函數(shù)式通過一系列的轉(zhuǎn)換，得到我們熟悉的等差數(shù)列，等比數(shù)列。 池州學(xué)院 本科 畢業(yè)論文 （設(shè)計） 2 4 謝辭 本 論文 是在指導(dǎo)老師 桂旺生 教授的指導(dǎo)下完成的。目前，函數(shù)方程需要我們研究更深入的問題，如用微積分方法，柯西法，遞推法等一系列求解函數(shù)方程的方法。 例 已知 af ?)1( （常數(shù)） ， Nn? ， 1?n 有 qnpfnf ??? )1()( ， p 、 q 是常數(shù)，且 1?p ，求 )(nf 。 （ 2）最后我們求解得到的函數(shù)是否為函數(shù)方程的解，必須要經(jīng)過檢驗。我們知道，任何數(shù)學(xué)問題可被視為已知的和未知的數(shù)學(xué)對象，集合的數(shù)學(xué)關(guān)系，即作為一個數(shù)學(xué)模型。但是，這只能獲得給定的值，所以我們可以繼續(xù)做推論已獲得并證明。那么這 個函數(shù)就叫做該微分方程的解。如果用圖像的話來說，不動點就是意味著函數(shù)與直線有公共點且這個公共點是不動點。 步驟 :(1)假設(shè)一個命題的結(jié)論是假的，也 就是說假設(shè)結(jié)論的反面成立。 （ 2） （遞推）假設(shè) )(rT 成立，若 )1( ?rT 成立，則 )(nT 對所有的自然數(shù)都會成立的。函數(shù)方程的適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q，新的方程，從而得到方程的解。 所以 )(4)(3)(2 xfxafxfa ?? . 0)()43( 2 ??? xfaa . 而 0)( ?xf 所以 0432 ??? aa ，解得 11 ??a ， 42?a . 再設(shè)原方程的解為 xxxx BABaAaxf 4*)1(*)( 21 ????? （其中 A,， B是常數(shù)） 又由 0)( ?xf ， 1)0( ?f ， 9)1( ?f 得 ??? ??? ?? 94 1BABA 池州學(xué)院 本科 畢業(yè)論文 （設(shè)計） 9 所以 ??? ???21BA 所以 xxxf 42)1()1()( ?????? . 我們根據(jù)函數(shù)的某些特征設(shè)出函數(shù)的關(guān)系式，然后通過已知條件求解出函數(shù)解析式。不同的方程式適應(yīng)于不同的解法，總是會有一種解法更加的適合，同樣會有一種解法更加的簡單，而我們在學(xué)習(xí)的過程中主要的任務(wù)，便是如何的將這些解方程式的方法游刃有余的運用于我們的各種的方程式之中，以至于我們可以更好 、更快、用最合適的方法去解方程式。之所以知識是因為，自古就有這樣的一句話 ——學(xué)習(xí)科學(xué)，無處不在！數(shù)學(xué)一直都是遙遙的處于翹首之位。本人依法享有和承擔(dān)由此論文而產(chǎn)生的權(quán)利和責(zé)任。 函數(shù)方程： ? ? )()(2)( yfxfyxfyxf ???? 也在 1721 年被數(shù)學(xué)柯西求出。然而無論如何去解方程式，隨著時代的變遷，歷史的更迭，人們卻總能發(fā)現(xiàn)更好更不一樣的 解方程式的方法，以及各式各樣的方程式。 池州學(xué)院 本科 畢業(yè)論文 （設(shè)計） 7 2 一類函數(shù)方程的解法 待定系數(shù)法 待定系數(shù)的方法中，是一個多項式表示成另一種含有新形式的待定系數(shù)，因此可以得到一個身份，然后方程或方程系數(shù)應(yīng)滿足與身份的本質(zhì)規(guī)定，然后通過求解方程或方程組可以得到待定系數(shù)，亦 或 是 找出某些系數(shù)所滿足的關(guān)系式 。 遞歸的方法包括兩個方面，一方面是在為特征函數(shù)方程遞歸表達(dá)式的形式，另一種是用遞歸 序列表達(dá)式函數(shù)方程的一種形式。 解 : 令 )0(3 ?? tt x ，則 tx 3log? 于是 ? ? )0(),c o s ( l o g)( l o g 333 ??? ttttf 用 x換 t，得 ? ? )0(),c o s ( l o gl o g 333 ??? xtxxf 換元法是一個復(fù)雜的數(shù)學(xué)公式作為一個整體，用另一個字母替代這部分 的一部分。當(dāng) 2?n 時，))1(()( ?? ngfng 試求出 )(ng 解：由題意可知：當(dāng) 2?n 時， ))1(()( ?? ngfng 123)1( 2 ???g 127)3())1(()2( 3 ????? fgfg 1215)7())2(()3( 4 ????? fgfg 池州學(xué)院 本科 畢業(yè)論文 （設(shè)計） 14 ??????? . 所以由上我們猜想可得出 12)( 1 ?? ?nng 那么我們用數(shù)學(xué)歸納的方法去證明上面的猜想 （ 1）當(dāng) 1?n 時 314)1( ???g 猜想成立 （ 2）假設(shè)當(dāng) kn? 時猜想成立，即 12)( 1 ?? ?kkg 當(dāng) 1??kn 時， 121)12(2)12())(()1( 211 ????????? ??? kkkfkgfkg 綜上所述 得證 Nnng n ???? ? ,12)( 1 利用數(shù)學(xué)歸納法的時候我們一定要先利用列舉法猜出函數(shù)關(guān)系式，然后通過數(shù)學(xué)歸納法看自變量為 1的時候是否成立，如果不成立則我們的猜想不正確，反之我們再次令自變量為 k的時候猜