【正文】 ?? 則 31 ?? rank AranA ，又 1A 的第 1,2,4行是 1A 的行向量組的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組，故 421 , ???是所級(jí)向 量組的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組。 （ 2）當(dāng) 2?k 時(shí)， 2?ranA ，且矩陣 B的第 1， 2 列線(xiàn)性無(wú)關(guān)，故 21,?? 是 ? ?4321 , ????L的一組基，它的維數(shù)為 2。 解 （ 1）引進(jìn) 4R 的標(biāo)準(zhǔn)基 4321 ., eeee ，并寫(xiě)出由它到基（Ⅰ）的過(guò)渡矩陣 A，及到基（Ⅱ）的過(guò)渡矩陣 B： ??????????????????????????1000120001201001,2500380000120025BA 即有 ? ? ? ? Aeeee 43214321 , ????? ? ? ?Beeee 43214321 , ????? 于是得 ? ? ? ? BA 143214321 , ?? ???????? 故由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的過(guò)渡矩陣 ???????????????????? ?3100014002510212411 BAC （ 2） ? 在基（ I）下的坐標(biāo)為????????????????????????????1041970123C 注 該例中 i? 與 i? 都是行向量，它們?cè)诨?4321 , eeee 下的坐標(biāo)寫(xiě)成列向量時(shí)，才能作為過(guò)渡矩陣 A或 B 的列。 注 A 為含參數(shù)的 n 階方陣時(shí)，如果 nrrankA ?? ，則 0det ?A ，但是，由 0det ?A 得到的參數(shù)值能否滿(mǎn)足 rrankA? ，還需要檢驗(yàn)。 1?? 時(shí)通解為??????????????????????111001kx ， k 為任意常數(shù)。 常數(shù)是零次多項(xiàng)式 。 （ ） 1 零多項(xiàng)式的因式有無(wú)窮多個(gè) 。 （ ） 2 可約多項(xiàng)式的次數(shù)一定大于 1，對(duì)嗎？ （ ） 2 判斷 f(x)是否整除 g(x) （ ） ? ? ? ?? ?? ?211 ???? xxxxf ? ? ?? ? ? ?? ?2311 2 ????? xxxxg 。 （ ） 3 ???????? ?? 10 11A是不是初等矩陣？ （ ） 34 、 （ ） 3設(shè) nmPA nm ?? ? , ， A是不是可逆矩陣？ （ ） 3 若矩陣 A所有 r 階子式全為 0 ， 能否說(shuō) 秩 A=r1 （ ） 3設(shè) n 階矩陣 A滿(mǎn)足 0322 ??? EAA ，問(wèn)秩 A=n 嗎？ （ ） 3設(shè) V 是歐氏空間，那么，任意 V?,? ， 00, ????? ??? （ ） 二 選擇題 ? ? 13 ?? xxf ( ) A、 可約 B、 不可約 C、 不談可約不 約 ? ? 3?xf （ ） A、 可約 B、 不可約 C、 不談可約不約 使多項(xiàng)式 ? ? 22 ?? xxf 在 P[x]上可約的域 P是 （ ） A、 有理數(shù)域 B、實(shí)數(shù)域 C、復(fù)數(shù)域 3323 ??? xxx 在復(fù)數(shù)域上的分解式為 （ ） A、 ? ?? ?31 2 ?? xx B、 ? ?? ?? ?331 ??? xxx C、 ? ?? ?? ?txtxx 331 ??? 5 、如 ? ? ? ?xfamxm ?? ,0 ，則 是 ??xf 的 一 次 因 式 （ ） A、 ax? B、 max? C、 max? 若 0?m ，用 amx? 除 ??xf ，余數(shù)為 r ，則 ??????? maf （ ） A、 r B、 mr C、 mr 7 、若 0,0 ?? nm 用 amx? 除 ??xnf 余數(shù)為 r ，則 ???????maf （ ） A、 r B、 nr C、 mr 8 、 以 下 說(shuō) 法 正 確 的 是 （ ） A、 lmlmnm AAAPA ?? ?? , ； B、 ? ? mllmnm AAPA ?? ? , C、 nnPA ?? ， lm, 是非負(fù)整數(shù)，則 ? ? mllmlmlm AAAAA ??? ? , D、 nnPBA ??, ， m是非負(fù)常數(shù)，則 ? ? mmm BAAB ? 9 、以下說(shuō)法正確的是 ( ) A、 ? ? ? ? ? ?。 C ? ? TBXTA ? 的解不都是 BAX? 的解 D BAX? 的解不都是 ? ? TBXTA ? 的解。 D 0?Ax 的任一個(gè)解可以由 t?? ,1 ? 線(xiàn)性表出。 1行列式213132321?D = 1 行列式00000dcbaD ? = 1 s 階 行列式有 項(xiàng)，其中帶負(fù)號(hào)的有 項(xiàng)。 4線(xiàn)性方程組??????????????13244042321321321xxxxaxxxxx 有唯一解的 充 要 條件為 四 計(jì)算題 qpm , 適合什么條例時(shí)，有 ? ?? ?qpxxpmxx。 B ni? C bP m ?? ?? , D ???? , 21 i? 都是 A的列向量。 B t??? , 21 ? 是 0?Ax 的基礎(chǔ)解系。 1設(shè) mmtmnm PTPBPA ??? ??? , ， BAX? 的解都是 ? ? TBXTA ? 的解嗎？以下 情 況 正 確 的 是 （ ） A ? ? TBXTA ? 的解都是 BAX? 的解。 （ ） 設(shè) ???????? ?? 110 201A， ? ? 1??xxf ，則 ? ? ????????????????? ?? 10 01110 201Af 。 （ ） 19 、 兩 零 多 項(xiàng) 式 不 互 素 。 （ ） 1如 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?xhxgxfxhxfxgxf ?則, 。 ( ) 所 有 可以表 示 成形式mmnnbbb aaa ?? ?? ??? ??? ??10 10的數(shù)組 為 一數(shù)域。 ? 取何值時(shí)，線(xiàn)性方程組 ????????????????23213213212222??xxxxxxxxx 有解？并求其通解。 分析 由于解空間的維數(shù)等于 0?Ax 的基 礎(chǔ)解系中含解向量的個(gè)數(shù)，所以 rankA??42 ，即 2?rankA ，故先要確定 c，使 2?rankA 。 ???????????????????????341432321,111001111BA 即有 ? ? ? ? ? ? ? ? BeeeAeee 321321321321 , ?? ?????? 于是得 ? ? ? ? BA 1321321 , ?? ?????? ，故由基（ I）到基（Ⅱ）的過(guò)渡矩陣為 ?????????????????????????????????????? ?1010104323414323212/112/12/102/10101 BAC 2設(shè) 4R 的兩組基為 （Ⅰ）? ?? ?? ?? ????????????2,3,0,05,8,0,00,0,1,20,0,2,54321???? （Ⅱ）? ?? ?? ?? ????????????1,1,0,10,2,1,00,0,2,00,0,0,14321???? （ 1）求由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的過(guò)渡矩陣； （ 2）求向量 221 23 ???? ??? 在基（Ⅰ）下的坐標(biāo)。 解 對(duì)矩陣 A作初等行變換 BkkkkkkA ??????????????????????????????????????????????2200221074012210220074012210101231 （ 1）當(dāng) 2?k 時(shí)， 2?rankA ，可求得 0?Ax 的基礎(chǔ)解系，也就是 ??AN 的基為 ? ? ? ?TT 1,0,2,7,0,1,2,4 21 ???? ?? 從而它的維數(shù)為 2。 注 按照逐個(gè)選錄法求向量組的最大無(wú)關(guān)組及秩時(shí)，運(yùn)算量較大，因此較少采用。 解 構(gòu)造矩陣 ? ??????????????tA10331511, 321 ??? 由 ? ?12det ?? tA 可得： 1?t 時(shí) 0det ?A ，向量組 321 , ??? 線(xiàn)性無(wú)關(guān)； 1?t 時(shí) 0det ?A ，向量組 321 , ??? 線(xiàn)性相關(guān)。 解 ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ????? ? ?????????????????? TnTTTTTTTnTnA 13?? ??????????? ??12/333/2123/12/1133 11 nn A 注 雖然矩陣乘法一般不滿(mǎn)足交換律，但結(jié)合律、分配律等是成立的。 1設(shè) ????? , 321 均為 4 維列向量， ? ? ? ????????? , 321321 ?? BA ，且3de t,2de t ?? BA ，則 ? ??? BA 3det 。 （ 2）該題中 B 和 C都不是零矩陣，可它們的乘積為零矩陣，換句話(huà)說(shuō)，僅由 AB=0，一般推不出 A=0 或 B=0，由此導(dǎo)致消去律一般也不成立，即由 AB=AC 不能得到 B=C。 （ 3）讀者對(duì) 2， 3 階行列式的計(jì)算一定要非常熟悉。答 疑 題 庫(kù) —— 線(xiàn)性代數(shù)與解析幾何（一） 計(jì)算 n 階行列式 000100002000010?????????nnD n?? 分析 由 定 義 知 ， n 階 行 列 式 共 有 n! 項(xiàng) ， 每 一 項(xiàng) 的 一 般 形 式 為? ? ? ? nn ppppppr aaa ,21 21211 ??? 若某一項(xiàng) n 階元素的乘積中有零因子，則該項(xiàng)為零，由于本 行列式中零元素較多，因而為零的項(xiàng)就較多，故只須找出那些不為零的項(xiàng)就可求得該行列式的值。 （ 2）行列式按某一行或某一列展開(kāi)時(shí)，一定要會(huì)正確確定展開(kāi)式中各項(xiàng)的正負(fù)號(hào)。 解 由上述分析有 ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ???