【正文】 V 的兩組基下的矩陣分別為 A、 B，那 么 （ ） （ a）矩陣 A 與 B 只有一個特征值相同； （ b）矩陣 A 與 B 的特征值相同； （ c）矩陣 A 與 B 的特征值不同； （ d）矩陣 A 與 B 相同。 24．設(shè) )(?A 是一個 nn? 的 ?? 矩陣，那么 （ ） （ a）當(dāng) 0|)(| ??A 時， )(?A 可逆； （ b）當(dāng) |)(| ?A 是非零常數(shù)時， )(?A 可逆； （ c）當(dāng) |)(| ?A 是一個常數(shù)時， )(?A 可逆； （ d）當(dāng) |)(| ?A 是 ? 的一個非零多項(xiàng)式時， )(?A 可逆。 39．設(shè) )(?A 是一個 nn? 的 ?? 矩陣，那么 （ ） （ a）若 )(?A 是可逆 ?? 矩陣，則 |)(| ?A 是一個非零常數(shù)； （ b） )(?A 是 ? 的多項(xiàng)式； （ c）當(dāng) 0)( ??A 時， )(?A 可逆； （ d）當(dāng) 0|)(| ??A 時， )(?A 可逆。其中單射有（ ） 滿射有（ ） 雙射有（ ） 判別下面定義的映照，是線性的有（ ），設(shè) P 是數(shù)域 1） ? ? ? ? ? ?2332213321 , xxxxRPxxx ???? ?? 2） ? ? ? ? ?? ? ? ?3],[0111 fxfRxePaxaxaxaxf xxnn ?????? ?? ? ? ? B X CXRPXPCB nmnm ???? ?? ,)3 1設(shè) V 是數(shù)域 P 上線性空間， n??? , 21 ? 是 V 的基 A、 B 是 P 上 n 階方陣 ? ? ? ?AR nn ?????? ?? , 21,21 ?? ? ? ? ?BR nn ?????? , 2121 ?? ? 那么 ??R 、 ?R 、 ?32 ?R 在基 n??? , 21 ? 下矩陣是（ ） 1設(shè) V、 ?,? 及 n??? , 21 ? 同上題，如果 vRA 1???? ， R 、 ? 在基 n??? , 21 ? 下的矩陣分別為 A,B，則 ABBA=（ ） 1設(shè)????????????340430241A ， A的特征值是（ ）。 26 A 是線性空間 V 的線性變換， )0(1A 是線性變換 A 的核，那么 ?)0(1A（ ） 27 設(shè) A 是線性空間 V 的線性變換，0?V是 A 的關(guān)于特征值 0? 的特征子空間，那么 ??? )(,0 ?? ? AV （ ）。 36．設(shè) A是對稱矩陣， C 是可逆矩陣， ACCB ?? ，那么二次型 Axx? 經(jīng)過可逆線性變換（ ）化為二 Byy? 。0, 121 ??? RWRVW （ ） 2） 21 WW? 是 R子空 間； （ ） 3） 21 WW? 是 R子空間； （ ） 4） V 只有兩個 R子空間； 1 V 是歐氏空間， V 的以下變換哪些是正交變換？哪些不是？ （ ） 1） ? ? ? ? ?? ????? ????? , RaRV （ ） 2） ? ? ??? ??? RV , （ ） 3） ? ? ? ?? ? ? ??????? , ????? RRV （ ） 4） R 在某組基下的矩陣是正交矩陣； （ ） 5） R 在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣是正交矩陣。 2（ ）已知某四維線性空間 V 上的雙線性函數(shù)在 4321 , ???? 下的坐標(biāo)表達(dá)式為 ? ? 3443323121 23, yxpxyxyxyxf ??????? 其中 43214321 , yyyyxxxx 分別是 V 量 ??與 的坐標(biāo)，判斷 f 是不是對稱雙線性函數(shù)。 35．（ ）設(shè) Axxxxxf n ??),( 21 ? 是正定二次型， s 是二次型的符號差，則 s 總是正數(shù)。 ．設(shè)線性空間 V 的線性變換 A 在基 4321 , ???? 下的矩陣 ???????????????2020120000200012A 求： （ 1） A 的各級行列式因子； （ 2） A 的最小多項(xiàng)式。 1求通過點(diǎn) ? ?5,3,2 ??M 且與平面 02536 ???? zyx 的垂直的直線。 將平面方程 0352 ???? zyx 化為法式方程并求原點(diǎn)到該平面的距離。 求過點(diǎn) ? ? ? ?1,2,1,1,1,1 21 MM 和 ? ?3,2,13M 的平面方程。 33（ ）二次型 4121232221 44756 xxxxxxx ???? 是否正定。 1（ ） A是歐氏空間 V 的可逆對稱變換， A是 V 的自同構(gòu)映射。 別以下定義的線性空間 V的變換，其中哪些是線性變換，哪些不是？ （ ） 1） V?? 是 一個固定向量， ???? xxRVx ?:, （ ） 2） V?? 是一個固定向量， ??xRVx :,?? （ ） 3） n??? , 21 ? 是 V 的基， nnaaa ???? ???? ?2211 112211: ????? nnaaaaR ??? ?? 11: ?aaR ? （ ）設(shè) ?,R 都是數(shù)域 P 上線性空間 V 的線性變換，并且 ?? ?? 22 ,RR ，那么由? ? ?? ??? RR 2 可以得到到 ???R （ ）設(shè) A 是線性空間 V 的線性變換，當(dāng) m、 n 是正整數(shù)時， nmnm RRR ?? ，當(dāng)m、 n 為任意數(shù)時這個結(jié)論仍成立。 34．設(shè) A 是數(shù)域 P 上 3 階矩陣，如果 A 的初等因子是 2)2(,1 ?? ?? ，則 A 的不變因子是（ ）。 24 歐氏空間， ,V?? 則 ? 的長度為（ ）。（ ） 通過點(diǎn) ? ? ? ?1,5,21,0,3 ?? BA 和 的直線是（ ） 在直線 3 81 82 1 ????? zyx 上與原點(diǎn)相距 25 個單位的點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ） 討論直線的位置關(guān)系時，根據(jù)失量的（ ）性質(zhì)： 22: babiaf ??? 是復(fù)數(shù)集 C 到實(shí)數(shù)集 R 的映射， 1: ?aag ? 是自然數(shù)集合 N 到 N 的映射。 37．設(shè) r 是實(shí)二次型 ),( 21 nxxxf ? 的秩， p 是二次 型的正慣性指數(shù)， q 是二次型的負(fù)慣性指數(shù)， s 是二次型的符號差，那么 （ ） （ a） qpr ?? ； （ b） qps ?? ； （ c） sr? 是奇數(shù)； （ d） sr? 是偶數(shù)。 20．設(shè) A 是 n 維線性空間 V 的線性變換， W 是 A 的不變子空間，那么（ ） （ a）存在 WW ?? ?? A, ； （ b） WW ??? ?? A, ； （ c） WW A? ； （ d） .WW A? 21．設(shè) A 是 n 維歐氏空間 V 的對稱變換，那么 （ ） （ a） A 在 V 的任意一組基下的矩陣都是對角矩陣； （ b） A 在 V 的任意一 組基下的矩陣都是對稱矩陣； （ c） ),(),(, ?????? ??? AAV ； （ d） A 的特征值都是實(shí)數(shù)。 1設(shè) A 是實(shí)二次型 ? ?321 , xxxf 的矩陣，它的特征值為 321321 , ?????? 分別交 321 , ??? 的單位正交特征向量。 設(shè) S 是線性空間 V 的線性變換， W1， W2 都是 A子空間，并且 21 WWV ?? ，以下說法正確的是（ ）。 如果 21 ?? ?? ，均有 ? ? ? ?21 ?? TT ? ，或當(dāng) ? ? ? ?21 ?? TT ? 時必有 21 ??? ，則稱 T 為單射，注意 ? ?WVLT ,? 為單射 ? ? ? ? TTk et ??? 0 將 V 中線性無關(guān)向量組映成 W 中線生無關(guān)向量組。 （ A） ? ? ? ? ? ? 323 ,32,2,: RzyxzyyxzyxTRRT ?????? （ B） ? ? ? ? ? ? 232 ,1,1,1,: RyxyxyxTRRT ?????? （ C） ? ? nnnnnn RXXAXTRRT ??? ???? ,: 而 A為取定的 n 階實(shí)方陣。 (A) 8?a （ B） 4?a (C) 4??a (D) 44 ??? a 解 應(yīng)選（ D）。 例 23 設(shè) ? 是 n 維歐氏空間 V中一非零向量，證明： 0, ??? ????? V 是 V的一個子空間，且 ? ? .1dim ?? n? 證人 顯然 ? 非 空 （ 因?yàn)???0 ）， 任 取 ? 中向量 21,?? 及 任意 實(shí) 數(shù) k , 則? ?2,10, ?? ii ?? ， 于是有 0, 2121 ???? ??????? 0, 11 ?? ??? kk 故 ????? ??? 121 , k ，因此 是 V的一個子空間，令 ? ??spanU ? ，則 U 是 V的 1 維子空間，且顯然有 ??U? ，由射影定理知 ????? ? UUUV ，因而有 )di m ()di m ()di m ( ??? UV 所以 ? ? ? ? 1d imd im)d im ( ???? nUV? 注意：因?yàn)? ,??? ??V 于是由直和的充要條件就有 ? ???? ?? d im)d im ()d im ( V 。 如果對實(shí) 向量空間 V 中任意兩向量 yx與 規(guī)定了一個實(shí)數(shù) yx, 與之對應(yīng)，而且滿足（ 1）對稱性： xyyx , ? ，（ 2）線性性質(zhì)： zyzxzyxyxkykx , ???? （ 3）非負(fù)性： 00, ??? xxx ，則稱這個二元函數(shù) yx, 為 V 的一個內(nèi)積，稱以上三個條件為內(nèi)積公理， V按此內(nèi)積便構(gòu)成一個歐氏空間。 （ A） ? ?T1,2,0? （ B） ? ?,1? （ C） ? ?T2,0,1 ? （ D） ? ?T1,0,2? 例 19 設(shè) n??? , 21 ? 為 n 維歐氏空間 V 的一個標(biāo)準(zhǔn)正交基， V 中向量 ? 、 ? 在該基下的坐標(biāo)分別為 ? ? Rxxxx Tn ?? , 21 ? 和 ? ? nTn Ryyyy ?? , 21 ? ，則有（ ）。 得所求直線的一般方程： ??? ???? ???? 0732 042 zyx zyx 對于基本題，采用一題多解，可以起到一題多解，可以起到舉一反三，觸類帝通的作用，解解除、解 3 告訴我們怎樣做題更巧妙，而解 4 則說明，有些時候，建立直線的一般方程也很簡便。不但要學(xué)會，而且要熟悉。 解 2 中也可以得到所求向量為 ? ?5,3,1 ?? ，便排除了（ A）、（ B）；再以（ 1， 0， 1）代入知應(yīng)選（ D）。 （ A） 1 （ B）－ 3 （ C） 3? 或 1? （ D） 1 或－ 3 解 ? ? ? ? ? ?2,1,2,3,1 ????????? CDBDAD ?? 依題意得方程： 2121212133161 ?????????? 即 ? ?32212121331??????????????? 1?? 或－ （ D）。 例 8 設(shè) V 是實(shí)數(shù)域 R 上所有實(shí)函數(shù)的構(gòu)成的線性空間，試討論 V中元素 xxe x , 22 的線性相關(guān)性。 證人（ 1） 21 WW? 是 V 的子空間，因 21 0,0 WW ?? ，所以 210 WW ?? 即它非空。,2 baa ?? ? ? ? ? ? ?baababa ,2 1111,1,1 2 ??????? ??????? 其余幾條均可驗(yàn)證成立，故Ｖ構(gòu)成Ｒ上的線性空間。 注 顯然，線性無關(guān)的向量級不一定是正交向量組。 證人 因 EBBEAA TT ?? , ，于是 ? ? EAA T detdet ? ，即 ? ? 1det 2 ?A ，故 .1det ??A 又 ? ? ? ? ? ? EEAAAAAA TTT ???? ????? 1111 所以 1?A 是正交矩陣。,0 011 ?????? ?? RdcbdcbW （２） .,000 01 ?????? ????? RcbacbacbaW 解 （１）不構(gòu)成子空間。同樣，對任意 Kk? ，由 1Wk ?? 2Wk ?? 得 21 WWk ??? ，因而 21 WW? 的子空間。若行列式 ? ? ? ?? ? ? ?? ?? ? ?