【正文】 代表在 n次 Bernoulli試驗(yàn)中成功的次數(shù)的概率 ， p為每次試驗(yàn)成功的概率 。 ? 因此 ， Poisson分布也是一個(gè)分布族 。 167。 ? 該曲線即所謂 概率密度函數(shù) (probability density function， pdf)， 簡稱密度函數(shù)或密度 。 但當(dāng)你用稍微精確一些的天平稱那些袋裝鹽的重量時(shí) ， 會(huì)發(fā)現(xiàn)有些可能會(huì)重些 ，有些可能會(huì)輕些；但都是在 1kg左右 。 正態(tài)分布也是一族分布 ， 各種正態(tài)分布根據(jù)它們的均值和標(biāo)準(zhǔn)差不同而有區(qū)別 。 4 2 0 2 4N(0,1)N(2,)兩條正態(tài)分布的密度曲線。 正態(tài)分布 ? 而 ?上側(cè)分位數(shù) （ 又稱 ?上 分位數(shù) ，?upper quantile） 定義為數(shù) x?， 它滿足關(guān)系 ()P X x ? ???這里的 ?也 稱為上（右）側(cè)尾概率（ upper/right tail probability）。 c2分布 ? 一個(gè)由正態(tài)變量導(dǎo)出的分布是 c2分布 (chisquare distribution， 也翻譯為卡方分布 )。 它的密度曲線看上去有些象標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 ， 但是中間瘦一些 ， 而且尾巴長一些 。 4 2 0 2 4N(0,1)t(1)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布和 t(1)分布的密度圖 167。 而 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 )nkmP m X n p k p m p n P X n P X m?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??167。 167。 167。 是事實(shí)準(zhǔn)確還是藥廠準(zhǔn)確呢 ？ ? 顯然人們一般不會(huì)認(rèn)為藥廠的說法可以接受 。 例：對(duì)于一個(gè)學(xué)生而言，來參加家長會(huì)的家長人數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量，設(shè)一個(gè)學(xué)生無家長、 1名家長、 2名家長來參加會(huì)議的概率分別為 、 、 。 ? 從數(shù)據(jù)得到關(guān)于現(xiàn)實(shí)世界的結(jié)論的過程就叫做 統(tǒng)計(jì)推斷 (statistical inference)。 用估計(jì)量估計(jì)總體參數(shù) ? 一些常見的涉及總體的參數(shù)包括總體均值 (?)、 總體標(biāo)準(zhǔn)差 (?)或方差 (?2)和(Bernoulli試驗(yàn)中 )成功概率 p等 （ 總體中含有某種特征的個(gè)體之比例 ） 。 167。 每個(gè)標(biāo)準(zhǔn)一般都僅反映估計(jì)量的某個(gè)方面 。 ? 所謂的 無偏性 (unbiasedness)就是：雖然每個(gè)樣本產(chǎn)生的估計(jì)量的取值不一定等于參數(shù) ， 但當(dāng)抽取大量樣本時(shí) ， 那些樣本產(chǎn)生的估計(jì)量的均值會(huì)接近真正要估計(jì)的參數(shù) 。 ? 評(píng)價(jià)一個(gè)統(tǒng)計(jì)量好壞的標(biāo)準(zhǔn)很多；而且許多都涉及一些大樣本的極限性質(zhì) 。 3%，置信度為 95%”云云 。 這里的置信度又稱 置信水平 或 置信系數(shù) 。 區(qū)間估計(jì) ? 例 ()某廠家生產(chǎn)的掛面包裝上寫明 “ 凈含量 450克 ” 。 區(qū)間估計(jì) ? 例 () ? (a)我們想要分別得到這兩個(gè)總體均值和標(biāo)準(zhǔn)差的點(diǎn)估計(jì) （ 即樣本均值和樣本標(biāo)準(zhǔn)差 ） 和各總體均值的95%置信區(qū)間 。 167。在公布調(diào)查結(jié)果時(shí)給出被調(diào)查人數(shù)是負(fù)責(zé)任的表現(xiàn) 。 則其置信區(qū)間的置信度僅有 11%。 ? 有些新聞媒體報(bào)道一些調(diào)查結(jié)果只給出百分比和誤差 （ 即置信區(qū)間 ） ， 并不說明置信度 ， 也不給出被調(diào)查的人數(shù) ， 這是不負(fù)責(zé)的表現(xiàn) 。 關(guān)于置信區(qū)間的注意點(diǎn) ? 前面提到 ， 不要認(rèn)為由 某一樣本 數(shù)據(jù)得到總體參數(shù)的 某一個(gè) 95%置信區(qū)間 ， 就以為 該 區(qū)間以 蓋總體參數(shù) 。 ? 如想比較一個(gè)候選人在不同階段支持率的差異 ， 那就可構(gòu)造比例之差 p1p2的置信區(qū)間 。 因此只有兩種可能：或者該區(qū)間包含總體比例 ， 或者不包含； ? 在固定數(shù)值之間沒有任何概率可言 。 167。 區(qū)間估計(jì) ? 在抽樣調(diào)查例子中也常用點(diǎn)估計(jì)加區(qū)間估計(jì)的說法 。 點(diǎn)估計(jì) ? 在無偏估計(jì)量的類中 ， 人們還希望尋找方差最小的估計(jì)量 ， 稱為最小方差無偏估計(jì)量 。 167。 任何統(tǒng)計(jì)量 ， 只要人們覺得合適就可以當(dāng)成估計(jì)量 。 ? 由于一個(gè)統(tǒng)計(jì)量對(duì)于不同的樣本取值不同 ， 所以 ， 估計(jì)量也是隨機(jī)變量 ，并有其分布 。 ? 而要確定是總體族的哪個(gè)成員則需要知道總體參數(shù)值（比如總體均值和總體方差）。 ? 從不同的樣本得到的結(jié)論也不會(huì)完全一樣。 22221., , ...,N ( n ,n1N ( ,nnxxxn?? ? ????????1ii獨(dú)立同分布中心極限定理：若x .d, 存在有限的數(shù)學(xué)期望 和方差 ，當(dāng)n 時(shí)，隨機(jī)變量的總和 x )或算術(shù)平均數(shù) x )獨(dú)立同分布的中心極限定理 ? 結(jié)論：不論總體服從何種分布，只要它的數(shù)學(xué)期望和方差存在，從中抽取容量為 n的樣本，當(dāng) n充分大時(shí)，則這個(gè)樣本的總和或平均數(shù)是服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量。 167。 100名患者的服藥 ，實(shí)際上等于進(jìn)行了 100次試驗(yàn) 。 多數(shù)概率分布表都是以累積分布函數(shù)的形式出現(xiàn)的 。 0 2 4 6 8F(50,20)F(3,20)自由度為（ 3， 20）和（ 50， 20）的 F分布密度曲線圖 167。 ? 由于產(chǎn)生 t分布的方式很多 ， 簡單說自由度就是樣本量減 1是不準(zhǔn)確的 。 t分布 ? 正態(tài)變量的樣本均值也是正態(tài)變量 ，能利用減去其均值再除以其 (總體 )標(biāo)準(zhǔn)差來得到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量 。 有些書用符號(hào) z1－ ?而不是 z?；因此在看參考文獻(xiàn)時(shí)要注意符號(hào)的定義 。 正態(tài)分布 ? 我們有必要引進(jìn)總體的下側(cè)分位數(shù) 、 上側(cè)分位數(shù)以及相應(yīng)的尾概率的概念 。 ? 任何具有正態(tài)分布 N(?,?)的隨機(jī)變量 X都可以用簡單的變換 （ 減去其均值 ?， 再除以標(biāo)準(zhǔn)差 ?） ： Z=(X?)/?， 而成為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量 。 167。 ? 連續(xù)變量密度函數(shù)曲線 （ 這里用 f表示 ）下面覆蓋的總面積為 1， 即 ( ) 1f x d x?????167。 連續(xù)變量的分布 ? 想象連續(xù)變量觀測(cè)值的直方圖；如果其縱坐標(biāo)為相對(duì)頻數(shù) ， 那么所有這些矩形條的高度和為 1；完全可以重新設(shè)置量綱 ， 使得這些矩形條的面積和為 1。 如果抽到的 20個(gè)產(chǎn)品中含有 2個(gè)或更多不合格產(chǎn)品 ， 則整個(gè) 500個(gè)產(chǎn)品將會(huì)被退回 。 Poisson分布 ? 在不同條件下 ， 同樣事件在單位時(shí)間中出現(xiàn)同等數(shù)目的概率不盡相同 。 167。 167。 二項(xiàng)分布 ? 這種有兩個(gè)可能結(jié)果的試驗(yàn)有兩個(gè)特點(diǎn)： ? 一是各次試驗(yàn)互相獨(dú)立 ， ? 二是每次試驗(yàn)得到一種結(jié)果的概率不變 （ 這里是得到正面的概率總是p） 。 每一種取值都有某種概率 。 概率的運(yùn)算 : ? 一般地 ， 在一個(gè)事件 B已經(jīng)發(fā)生的情況下 ， 事件 A發(fā)生的條件概率定義為（ 貝葉斯公式 ） 離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量 第四章 概率與概率分布 試驗(yàn) 隨機(jī)變量 可能的取值 抽查 100個(gè)產(chǎn)品 取到次品的個(gè)數(shù) 0,1,2,…,100 一家餐館營業(yè)一天 顧客數(shù) 0,1,2,… 抽查一批電子原件 使用壽命 X?0 新建一座住宅樓 半年完成工程的百分比 0?X ?100 分布 ? 隨機(jī)變量取一切可能值或范圍的概率或概率的規(guī)律稱為概率分布(probability distribution， 簡稱分布 )。 ? 假定用 A A2和 A3分別代表這三個(gè)人 抽 中 的 事 件 ， 那么 ，P(A1)=P(A2)=P(A3)=1/3。 167。 概率的運(yùn)算 : ? 這顯然多出來了 。 167。 概率的運(yùn)算 : ? 如果今天下雨的概率是 10％ ， 則今天不下雨的概率就是 90％ 。 ? 在概率論中所說的事件（ event）相當(dāng)于集合論中的集合（ set）。或?yàn)榛谒莆盏男畔?， 某人對(duì)某事件發(fā)生的自信程度 。 得到概率的幾種途徑 ? 試驗(yàn)次數(shù) n越大則該值越接近于想得到的概率。 這種事件為 等可能事件 (equally likely event)。 167。 ? 在某種意義上 ， 新聞媒體的主要注意力大都集中在小概率事件上 。 ? 計(jì)算這些概率的基礎(chǔ)就是事先知道 （ 或者假設(shè) ） 某些事件是等可能的 。如果你刮了 150張發(fā)票，只有 3張中獎(jiǎng)，你會(huì)認(rèn)為，你的中獎(jiǎng)概率大約是 3/150= ? 如果一個(gè)學(xué)生在 200次上課時(shí)，無故曠課 10次，那么其曠課的概率可能被認(rèn)為接近 10/200= 167。 ? 可以說 ， 主觀概率是一次事件的概率 。 ? 需要讀者回憶一下上中學(xué)時(shí)學(xué)過的集合概念，比如兩個(gè)集合的交和并，互余（互補(bǔ)）等概念。這些事件和試驗(yàn)結(jié)果的集合歸納在下面表中： 167。 ? 它 是 互 補(bǔ) 事 件 概 率 之 比 ， 即P(A)/P(AC)＝ P(A)/[1P(A)]來表示 。 ? 但是 ， “ 得到大于或等于 3點(diǎn)或者偶數(shù)點(diǎn) ” 的 事 件 的 概 率 就 不 是P(A)+P(B)=1/2+2/3=7/6了； 167。 ? 這種 P(A∪ B)＝ P(A)+P(B)P(A∩B)的公式也適用于兩個(gè)不可能同時(shí)發(fā)生的事件；但因?yàn)槟菚r(shí) P(A∩B)=0， 所以只剩下 P(A∪ B)＝ P(A)+P(B)了 。 ? 比如三個(gè)人抽簽 ， 而只有一個(gè)人能夠抽中 ， 因此每個(gè)人抽中的機(jī)會(huì)是1/3。 167。 離散變量的分布 ? 離散變量只取離散的值 ， 比如骰子的點(diǎn)數(shù) 、 網(wǎng)站點(diǎn)擊數(shù) 、 顧客人數(shù)等等 。 167。 ? 和 Bernoulli試驗(yàn)相關(guān)的最常見的問題是： 如果進(jìn)行 n次 Bernoulli試驗(yàn)