【正文】 度圖 167。 ? t分布族中的成員是以自由度來區(qū)分的 。 它的密度曲線看上去有些象標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 ， 但是中間瘦一些 ， 而且尾巴長一些 。 ? 由于 c2分布變量為正態(tài)變量的平方和 ， 它不會(huì)取負(fù)值 。 c2分布 ? 一個(gè)由正態(tài)變量導(dǎo)出的分布是 c2分布 (chisquare distribution， 也翻譯為卡方分布 )。 正態(tài)分布 ? 通常 用 z?表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的 ?上側(cè)分位數(shù) ， 即對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量 Z， 有 P(Zz?)=?。 正態(tài)分布 ? 而 ?上側(cè)分位數(shù) （ 又稱 ?上 分位數(shù) ，?upper quantile） 定義為數(shù) x?， 它滿足關(guān)系 ()P X x ? ???這里的 ?也 稱為上（右）側(cè)尾概率（ upper/right tail probability）。 ? 很容易得到這個(gè)面積等于 ；也就是說 ， 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量在區(qū)間 (,)中的概率等于 。 4 2 0 2 4N(0,1)N(2,)兩條正態(tài)分布的密度曲線。 正態(tài)分布 ? 標(biāo)準(zhǔn)差為 1的正態(tài)分布 N(0, 1)稱為 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 (standard normal distribution)。 正態(tài)分布也是一族分布 ， 各種正態(tài)分布根據(jù)它們的均值和標(biāo)準(zhǔn)差不同而有區(qū)別 。 正態(tài)分布 ? 近似地服從正態(tài)分布的變量很常見 ， 象測量誤差 、 商品的重量或尺寸 、 某年齡人群的身高和體重等等 。 但當(dāng)你用稍微精確一些的天平稱那些袋裝鹽的重量時(shí) ， 會(huì)發(fā)現(xiàn)有些可能會(huì)重些 ，有些可能會(huì)輕些；但都是在 1kg左右 。 連續(xù)變量的分布 ? 連續(xù)變量落入某個(gè)區(qū)間的概率就是概率密度函數(shù)的曲線在這個(gè)區(qū)間上所覆蓋的面積；因此 ， 理論上 ， 這個(gè)概率就是密度函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上的積分 。 ? 該曲線即所謂 概率密度函數(shù) (probability density function， pdf)， 簡稱密度函數(shù)或密度 。 ? 它們的概率分布很難準(zhǔn)確地用離散變量概率的條形圖表示 。 167。 超幾何分布 ? 假定有一批 500個(gè)產(chǎn)品 ， 而其中有 5個(gè)次品 。 ? 因此 ， Poisson分布也是一個(gè)分布族 。 ? 比如說在一定時(shí)間內(nèi)顧客的人數(shù) 、打入電話總機(jī)電話的個(gè)數(shù) 、 放射性物質(zhì)放射出來并到達(dá)某區(qū)域的粒子數(shù)等等 。 下面p(k)代表在 n次 Bernoulli試驗(yàn)中成功的次數(shù)的概率 ， p為每次試驗(yàn)成功的概率 。 但一般統(tǒng)計(jì)軟件可以很容易得到這個(gè)概率 。 ? 基于此 ， 二項(xiàng)分布用符號(hào) B(n,p)或Bin(n,p)表示 。 二項(xiàng)分布 ? 為了方便 ， 人們通常稱 Bernoulli試驗(yàn)的兩種結(jié)果為 “ 成功 ” 和 “ 失敗 ” 。 167。 ? 如果知道 p， 這個(gè)拋硬幣的試驗(yàn)的概率分布也就都知道了 。 ? 當(dāng)然離散變量不不僅僅限于取非負(fù)整數(shù)值 。 167。 ? 概率分布是關(guān)于總體的概念 。 ? 如第一個(gè)人沒有抽到 （ 事件 A1C） ，那么其他兩人抽到的概率均為 1/2，記為 P(A2|A1C)=P(A3|A1C )=1/2。 概率的運(yùn)算 : ? 但是由于一個(gè)人抽中 ， 其他人就不可能抽中 ， ? 所以 ， 這三個(gè)事件不獨(dú)立 。 概率的運(yùn)算 : ? 如果事件不獨(dú)立則需要引進(jìn) 條件概率 (conditional probability)。 167。 這樣“ 得到大于或等于 3點(diǎn)或者偶數(shù)點(diǎn) ”的事件 A∪ B的概率就是 P(A∪ B)＝P(A)+P(B)P(A∩B)= 1/2+2/31/3＝ 5/6。 剛才多出來的部分就是 A和 B的共同部分A∩B（ 稱為 A和 B的交 ） 的概率 （ 這個(gè)概率算了兩遍 ） ； ? 它為 “ 得到既是偶數(shù) ， 又大于等于 3”的部分 ， 即 4和 6兩點(diǎn) 。 而 事 件 B 的概率為P(B)=4/6=2/3。 ? 比如 “ 擲一次骰子得到 3或者 6點(diǎn) ”的概率是 “ 得到 3點(diǎn) ” 的概率與“ 得到 6點(diǎn) ” 的概率之和 ， 即1/6+1/6=1/3。 ? 在西方賭博時(shí)常常愛用 優(yōu)勢(shì) 或 賠率（ odds） 來形容輸贏的可能 。 ? 這種如果一個(gè)不出現(xiàn) ， 則另一個(gè)肯定出現(xiàn)的兩個(gè)事件稱為 互補(bǔ)事件 （ plementary events， 或者互余事件 或 對(duì)立事件 ） 。兩個(gè)骰子點(diǎn)數(shù)之和總共有 2至 12等 11種可能，即有 11種可能的事件，而這 11種事件相應(yīng)于上面所說的36種可能的試驗(yàn)結(jié)果的一些集合。 ? 為什么會(huì)這么說呢，讓我們看擲兩個(gè)骰子的試驗(yàn)。 概率的運(yùn)算 ? 我們需要了解怎樣從簡單的情況計(jì)算稍微復(fù)雜情況時(shí)的概率。 概率的運(yùn)算 ? 在擲骰子中，得到 6點(diǎn)的概率是 1/6，而得到 5點(diǎn)的概率也是 1/6。 比如 ， 你今年想學(xué)開車概率 、 你五年內(nèi)去歐洲旅游的概率等 ? 這種概率稱為 主觀概率 (subjective probability)。因此這種通過相對(duì)頻數(shù)獲得概率的方法也并不是萬能的。 得到概率的幾種途徑 ? 例如，刮發(fā)票的中獎(jiǎng)密封時(shí)，大多得到“謝謝”。 得到概率的幾種途徑 ? 2． 根據(jù)長期相對(duì)頻數(shù) ? 事件并不一定是等可能的，或者人們對(duì)于其出現(xiàn)的可能性一無所知。 得到概率的幾種途徑 ? 其實(shí)即使沒有學(xué)過概率 ， 讀者也多半能夠算出這些概率 。 ? 拋一個(gè)公平的硬幣 ， 則以等可能 (概率 1/2)出現(xiàn)正面或反面 。 ? 發(fā)生概率很小的事件稱為小 概 率 事 件 (small probability event)； ? 小概率事件不那么可能發(fā)生 ， 但它往往比很可能發(fā)生的事件更值得研究 。 ? 你買彩票中大獎(jiǎng)的機(jī)會(huì)很小 (接近 0) ? 但有人中大獎(jiǎng)的概率幾乎為 1 ? 你被流星擊中的概率很小 (接近 0) ? 但每分鐘有流星擊中地球的概率為 1 ? 你今天被汽車撞上的概率幾乎是 0 ? 但在北京每天發(fā)生車禍的概率是 1。 得到概率的幾種途徑 ? 1． 利用等可能事件 ? 如果一個(gè)骰子是公平的 ， 那么擲一次骰子會(huì)以等可能 (概率1/6， 6種可能之一 )得到 1至 6點(diǎn)的中的每一個(gè)點(diǎn) 。 167。 167。 167。 ? 很多事件無法進(jìn)行長期重復(fù)試驗(yàn)。 得到概率的幾種途徑 ? 3． 主觀概率 ? 一些概率既不能由等可能性來計(jì)算 ，也不可能從試驗(yàn)得出 。 167。 167。而概率則是事件的某種函數(shù)。 第一 個(gè)的 點(diǎn)數(shù) 兩 骰子點(diǎn)數(shù)和 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 第二個(gè)的點(diǎn)數(shù) 6 7 8 9 10 11 12 事件： 兩骰子點(diǎn)數(shù)和 集合 ： 相應(yīng)的試驗(yàn)結(jié)果（兩個(gè)數(shù)字分別表示第一和第二個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)） 集合中 元素的個(gè) 數(shù) 事件的概率 2 ( 1,1) 1 1/ 36 3 ( 1,2) ( 2,1) 2 2/ 36 4 ( 1,3) ( 2,2) ( 3,1) 3 3/ 36 5 ( 1,4) ( 2,3) ( 3,2) ( 4 , 1 ) 4 4/ 36 6 ( 1,5) ( 2,4) ( 3,3) ( 4 ,2) ( 5,1) 5 5/ 36 7 ( 1,6) ( 2,5) ( 3,4) ( 4 ,3) ( 5,2) ( 6 ,1) 6 6/ 36 8 ( 2,6) ( 3,5) ( 4,4) ( 5 ,3) ( 6,2) 5 5/ 36 9 ( 3,6) ( 4,5) ( 5,4) ( 6 ,3) 4 4/ 36 10 ( 4,6) ( 5,5) ( 6,4) 3 3/ 36 11 ( 5,6) ( 6,5) 2 2/ 26 12 ( 6,6) 1 1/ 36 可以看出，如果我們考慮點(diǎn)數(shù)和等于 2的事件，則僅有一種可能的試驗(yàn)結(jié)果（兩個(gè)骰子均為一點(diǎn)）；而如果我們考慮點(diǎn)數(shù)和等于 7的事件，則有六種可能的試驗(yàn)結(jié)果。 ? 如果你中獎(jiǎng)的概率是 ， 那么不 中 獎(jiǎng) 的 概 率 就 是 1 －=。 ? 顯然互補(bǔ)事件的概率之和為 1， 即P(A)+P(AC)=1 ， 或者 P(AC) ＝ 1 －P(A)。 概率的運(yùn)算 : ? 如果兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生 ，那么至少其中之一發(fā)生的概率為這兩個(gè)概率的和 。 概率的運(yùn)算 : ? 假定擲骰子時(shí) ， 一個(gè)事件 A為 “ 得到偶數(shù)點(diǎn) ” （ 有 3種可能： 6點(diǎn) ） ，另一個(gè)事件 B為 “ 得到大于或等于 3點(diǎn) ”（ 有 4種可能： 6點(diǎn) ） ； ? 這樣 ， 事件 A的概率顯然等于 3/6=1/2，即 P(A)=1/2 。 概率怎么能夠大于1呢 ？ ? 按照中學(xué)時(shí)關(guān)于集合的記號(hào) ， 該事件稱為 A和 B的并 ， 記為 A∪ B。 概率的運(yùn)算 : ? 于是應(yīng)該把算重了的概率減去 。 概率的運(yùn)算 : ? 這種交等于空集 （ A∩B=F， 這里 F表示空集或空事件 ） 的事件為兩個(gè)不可能同時(shí)發(fā)生的事件 ， 稱為 互不相 容 事 件 （ mutually exclusive events） 。 167。 167。 概率的運(yùn)算 : ? 但是可以計(jì)算條件概率 ， 比如第一個(gè)人抽到 （ 事件 A1） ， 則在這個(gè)條件下其他兩個(gè)人抽到的概率都為 0；記為 P(A2|A1)=P(A3|A1)=0。 ? 概率分布可以用各種圖或表來表示；一