【正文】 ......................................................................... 311 參考文獻 .................................................................................... 332 致 謝 ........................................................................................ 334 1 第一章 緒 論 倒立擺系統(tǒng)概述 倒立擺控制系統(tǒng)是一個復(fù)雜的、高階次、多變量、不穩(wěn)定的、非線性并強耦合系統(tǒng)。 直線倒立擺系統(tǒng)的 LQR 控制器設(shè)計及仿真 摘 要 倒立擺系統(tǒng)是非線形、強耦合、多變量和自然不穩(wěn)定的系統(tǒng)。特點是重心在上、支點在下，正是這個特點使 倒立擺是控制理論、機器人技術(shù)、計算機控制等多種技術(shù)、多個領(lǐng)域的有機結(jié)合，可以作為一個典型的控制對象對其進行研究。如圖 14 所示 (4) 復(fù)合倒立擺系列 復(fù)合倒立擺為一類新型倒立擺如圖 13 所示，由運動本體和擺桿組件組成，其運動本體可以很方便的調(diào)整成三種模式，一種是（ 2）中所述的環(huán)形倒立擺，還可以把本體 翻轉(zhuǎn) 90 度，連桿豎直向下和豎直向上組成托擺和頂擺兩種形式 2 的倒立擺。 (4) 開環(huán)不穩(wěn)定性 倒立擺的穩(wěn)定狀態(tài)只有兩個，即垂直向上的狀態(tài)和垂直向下的狀態(tài)，其中垂直向上為絕對不穩(wěn)定的平衡點，垂直向下為穩(wěn)定的平衡點。平面倒立擺控制目的是系統(tǒng)受到干擾后，在 XY 平臺上擺桿能夠豎立穩(wěn)定而不倒，達到動態(tài)平衡狀態(tài)。 這種被控量既有角度，又有位置，且它們之間又有關(guān)聯(lián)，具有非線性、時變、多變量耦合的性質(zhì)。從對倒立擺的研究情況來看，大部分的研究都是基于倒立擺的穩(wěn)定控制。 八十年代后期，隨著科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，自動控制理論技術(shù)和計算機技術(shù)也得到了迅速的發(fā)展，人們提出了多種控制方法來解決倒立擺系統(tǒng)中的非線性特征。這些智能控制現(xiàn)已越來越廣泛的被人們應(yīng)用于倒立擺這樣復(fù)雜系統(tǒng)的控制。 1993 年， Bouslama 利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自主學(xué)習(xí)能力，用簡單的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò) 來學(xué)習(xí)模糊控制器的輸入輸出數(shù)據(jù)，實現(xiàn)了對倒立擺系統(tǒng)的控制。之后，李洪興教授領(lǐng)導(dǎo)的實驗室對四級倒立擺系統(tǒng)進行了研究，再次利用“變論域自適應(yīng)模糊控制理論”成功的 實現(xiàn)了其實物的穩(wěn)定控制。一般來說，對于倒立擺起擺問題的控制方法有很多種，主要包括能量控制、擬人控制等。 8 第四章本章是介紹利用固高教學(xué)產(chǎn)品 Matlab/Simulink 實時控制軟件以及固高科技有限公司生產(chǎn)的直線一級倒立擺 GLIP2020來驗證第三章設(shè)計的 LQR控制器是否成功，借助該軟件利用計算機實現(xiàn)直線一級倒立擺的實物系統(tǒng)的控制，給出實物系統(tǒng)穩(wěn)定時和受干擾時各狀態(tài)變量的響應(yīng)曲線，以表明設(shè)計的控制器對實物系統(tǒng)的控制是否有效。 本章將應(yīng)用 Newton 法建立直線一級倒立擺的動力學(xué)模型，利用分析力學(xué)方法中的 Lagrange 方程推導(dǎo)直線二級倒立擺的數(shù)學(xué)模型。 14 實際系統(tǒng)的模型參數(shù)如下表 22 所示： 表 22 直線一級倒立擺模型相關(guān)參數(shù) 字母 代表的對象 實際數(shù)據(jù) M 小車質(zhì)量 m 擺桿質(zhì)量 b 小車摩擦系數(shù) l 擺桿轉(zhuǎn)動軸心到桿質(zhì)心的長度 I 擺桿慣量 *m*m 把表 22 中的參數(shù)代入，可以得到系統(tǒng)的實際模型。否則，系統(tǒng)就是不完全能控的，或簡稱不能控。[ 1?nCACAC 的秩等于 n。因此可以對系統(tǒng)進行控制器的設(shè)計，使系統(tǒng) 穩(wěn)定。但是 Q 不能過大。當(dāng)然，也可以通過改變 Q 矩陣中的非零元素來調(diào)節(jié)控制器來得到期望的響應(yīng)。 本章小結(jié) 本章主要是簡單介紹線性二次型最優(yōu)控制 LQR 控制原理，設(shè)計 LQR 控制器。 下面是實驗運行的結(jié)果： 圖 47一級倒立擺實物控制位置和角度波形圖 圖 48 一級倒立擺控制實物圖 28 其中圖 47 上半部分為小車的位置曲線，下半部分為擺桿角度變化曲線，于是我們通過實物控制輸出的位置和角度圖可以看出，擺桿一直處于自動調(diào)整保持為豎直的狀態(tài)，角度有點細微的變化，但一直保持在動態(tài)平衡狀態(tài)下。并以直線一級倒立擺為被控對象，設(shè)計了一個二次型最優(yōu)控制器 (LQR)。 A=[ 0 1 0 0。 C=[1 0 0 0。 0 0 0 0。 Q33=200。 Cc = [C]。Cn,0])*Z39。39。.39。CartSpd39。 我還要感謝自動化教研室全體老師，在這過去的幾年時間里，老師們細心的傳授我們自動化專業(yè)的基本知識，并在實驗環(huán)節(jié)一步一步教導(dǎo)我們，將書本知識得到進一步的理解與鞏固。在這半年里楊老師不僅在學(xué)習(xí)上更在生活上給予了我極大的支持和關(guān)心，在為人處世上也給予了我諄諄的教導(dǎo)。CartPos39。hold on。 [Y,X]=lsim(Ac,B,Cc,Dc,U,T)。 Z=[zeros([1,s]) 1]。 K = lqr(A,B,Q,R) Ac = [(AB*K)]。 D=[ 0 0 ]39。 rank(cona) rank(cona2) 一級倒立擺 LQR 控制器設(shè)計程序 clear。0。 (3) 通過本文研究的一級倒立擺，為自己的倒立擺系統(tǒng)穩(wěn)定奠定了一些基礎(chǔ)，可以延伸二級、三級或是四級倒立擺的穩(wěn)定控制研究。不僅僅在倒立擺這類運動系統(tǒng)中可以發(fā)揮重要作用，而且也可以應(yīng)用在諸如過程控制等控制系統(tǒng) 中，因此其研究及實現(xiàn)具有非常重要的意義和廣闊 的應(yīng)用前景。 將“ Pendulum”模塊打開其內(nèi)部結(jié)構(gòu)： 圖 46 “ Pendulum”模塊內(nèi)部結(jié)構(gòu) 其中“ Set Cart’s Acc and Vel”模塊的作用是設(shè)置小車運動的速度和加速度，“ Get Cart’s Position”模塊的作用是讀取小車當(dāng)前的實際位置，“ Get Pend’s Angle”的作用是讀取擺桿當(dāng)前的實際角度。這里取 1,1Q =1000， 3,3Q =200, 則 K=[ ] 輸入?yún)?shù)，運行得到響應(yīng)曲線如下： 圖 39 當(dāng) 200,1000 3,31,1 ?? Simulink仿真結(jié)果圖 從 Simulink 圖上可以看出，小車的位置、小車的速度、擺桿的角度、擺桿的角速度可以在 2s 左右同時達到穩(wěn)定 狀態(tài)，可以看出達到了穩(wěn)定效果。 lqr 函數(shù)允許你選擇兩個參數(shù) —— R 和 Q，這兩個參數(shù)用來平衡輸入量和狀態(tài)量的權(quán)重。 對線性系統(tǒng)： ??? ? ??CXY BuAXX? （ 34） 根據(jù)期望性能指標(biāo)選取 Q 和 R，利用 Matlab 命令 lqr 就可以得到反饋矩陣K 的值。 rank(Uc) rank(Vo) 可以得到： ans = 4 ans = 2 可以看出，系統(tǒng)的狀態(tài)能控性矩陣的秩等于系統(tǒng)的狀態(tài)變量維數(shù)，系統(tǒng)的輸出完全能控性矩陣的秩等于系統(tǒng)輸出向量 y 的維數(shù)，所以系統(tǒng)能控。 對于此倒立擺經(jīng)過上面的數(shù)學(xué)建模已經(jīng)得到： DuCXy BuAXX ?? ??? 系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀的條件為：當(dāng)且僅當(dāng) n*m 維矩陣的 ]。 設(shè)線性時變系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 )()()()()( tutBtxtAtx ??? 式中， x（ t） —— n 維狀態(tài)向量 u（ t） —— r 維輸入向量 A（ t） —— n*n 系統(tǒng)矩陣 B（ t） —— n*r 輸入矩陣 （ 1）狀態(tài)的能控性是指系統(tǒng)的輸入能否控制狀態(tài)的變化。 合并這兩個方程，約去 P 和 N，得到第二個運動方程： ??? c o ss in)( 2 xmlm g lmlI ???? ???? （ 28） 設(shè) ??? ?? （ 是擺桿與垂直向上方向之間的夾角 ），假設(shè) ? 與 1（單位是弧度）相比很小，即 ? 1，即可以進行近似處理： 0)(,s in,1c o s 2 ???? dtd ???? 。 對于倒立擺系統(tǒng)，由于是不穩(wěn)定的系統(tǒng)，實驗建模存在一定的困難。 第三章簡單介紹線性二次型最優(yōu)控制 LQR 控制原理，設(shè)計 LQR 控制器。其中一個控制器用來實現(xiàn)倒立擺的自動起擺的功能，另一個用來控制倒立擺的穩(wěn)定。李洪興教授根據(jù)倒立擺系統(tǒng)的特點，將變論域自適應(yīng)控制和模糊控制相結(jié)合，提出了另一種新的理論，即“變論域自適應(yīng)模糊控制理論”。 1997 年， Gordlio 以倒立擺為實驗對象，對最優(yōu)控制 LQR 方法和基于遺傳算法的控制控制結(jié)果進行了對比分析，得出對于級數(shù)較低的倒立擺系統(tǒng)而言，傳統(tǒng)控制方法比遺傳算法控制效果好。為了適應(yīng)控制系統(tǒng)的要求，智能控制理論得到快速發(fā)展，用智能控制理論方法控制倒立擺系統(tǒng)的研究受到越來越多學(xué)者的重視。 Furuta 等學(xué)者研究用雙電機對倒立擺進行控制，最終成功的完成了對三級倒立擺系統(tǒng)的實物控制。在近幾年的研究中，學(xué)者都嘗試著用倒立擺系統(tǒng)作為實驗裝置去檢驗新的控制方法的各種性能和控制能力，從而試圖選出最好的控制方法。 因此，倒立擺系統(tǒng)的控制原理可簡述如下：用一種強有力的控制方法對小車的速度作適當(dāng)?shù)目刂?，從而使擺桿倒置穩(wěn)定于小車正上方。直線倒立擺控制的目的是：小車和擺桿組成的直線倒立擺系統(tǒng)在受到干擾后，小車處于軌道的中心位置，擺桿將保持垂直位置不倒。實際控制中必修通過減少各種誤差來解決問題，如通過施加預(yù)緊力減少皮帶或齒輪的傳動誤差，或利用滾珠軸承減少摩擦阻力等不確定性因素。如圖 12 所示。s method to create a straight line an inverted pendulum dynamic model using the Lagrange equation deduced straight line double inverted pendulum mathematical model of analytical mechanics methods. This thesis adopts Googol pany linear inverted pendulum as the study object,. First controllability and observability analysis of system state equation should be analyzed, afterwards, with the Googol hightech Matlab realtime control software experimental platform, LQR controller can be designed and LQR control method can conduct online realtime simulation experiment on straight line, double inverted pendulum Simulink, analyze results of experiment and adjust LQR parameters so as to achieve the best stability and regulation state. Some certain disturbance online imposed on the system enables it to restore t