【正文】 的危險。 2． 2． 2 DFP 變尺度法 懲罰函數(shù)內(nèi)點法步驟 3）中用到的無約束優(yōu)化算法為 DFP變尺度法。 如果能利用變尺度條件構(gòu)造出一個矩陣 ()kA 來代替 1[ ( )]kHX? ，再如果 ()kA 能用 ( 1 ) ( ) ( )k k kA A E? ??來表示，而其中校正矩陣 ()kE 又可用一個統(tǒng)一的公式表示時，則只要知道 A (1)便可求出 A (2)，并依次求出 A (3)， A (4)?，或者若已知 ()kA ，則可利用上式求出 A (k+1)， A (k+2)，?。 變尺度法的計算程序框圖如圖下所示： 圖 23 變尺度法程序框圖 2． 2． 3 懲罰函數(shù)外點法 2． 2． 3． 1 懲罰函數(shù)外點法的原理 與懲罰函數(shù)內(nèi)點法將懲罰函數(shù)定義于可行域內(nèi)且求解無 約束問題的探索點總是保持在可行域內(nèi)的特點不同，外點法的特點是將懲罰函數(shù)定義于約束可行域 第 20 頁 共 36 頁 之外，且求解無約束問題的探索點是從可行域外部逼近原日標函數(shù)的約束最優(yōu)解的。因此，外點法是隨著懲罰因子 (參數(shù) ) ()kM 的遞增序列，使懲罰函數(shù)的無約束極值點 ()*( )kXM 從可行域外部向原目標函數(shù)的約束最優(yōu)點逼近，直至達到最優(yōu)點。 求解原目標函數(shù) ()fX的極小值： min ()fX nXE??? x .(subject to) ( ) 0vhX? （ v=1， 2，?， p） ( ) 0ugX? （ u=1， 2，?， m） 根據(jù)混合法的基本思想，作為新目標函數(shù)的懲罰函數(shù)，其懲罰項由兩部分組成，一部分反映不等式約束的影響并以內(nèi)點法的構(gòu)造形式列出；另一部分反映等式約 第 24 頁 共 36 頁 束的影響并以外點法的構(gòu)造形式列出，即混合法懲罰函數(shù)的一股表達式為 ? ? 2( ) ( ) ( ) ( )111( , , ) ( ) ( )()pmk k k kvuvuX r M f X r M h xgx? ??? ? ??? 即所構(gòu)造的混合法的懲罰函數(shù)，同時含有障礙函數(shù) ? ?2()1()mk vur h X??和衰減函數(shù)? ?2()1()pk vvM h x??。 5) 取 ( 1)kr? =C ()kr ， (0)X ＝ ()*( )kXr ， k＝ k+1，轉(zhuǎn)向步驟 3)。 用于求解含有不等式約束和等式約束的中等維度的優(yōu)化問題。 3． 1 軟件開發(fā)過程 1） 前期準備：查找和收集一些與本課題相關(guān)的文章，大致了解課題目前的現(xiàn)狀； 2） 根據(jù)下達的任務(wù)書，學(xué)習(xí)并掌握優(yōu)化算法和 matlab 方面的知識； 3） 編制罰函數(shù)內(nèi)點、外點、混合和 DFP 算法的程序； 4） 制作用戶圖形界面（ GUI）并編制回調(diào)函數(shù)； 5） 調(diào)試、完善軟件系統(tǒng)。 本軟件有較好的穩(wěn)定性，但是還不夠成熟、完善，欲對軟件進一步完善，還需要做以下方面的工作： （ 1） 添加完善約束優(yōu)化方法； （ 2） 完善圖形的縮放功能； （ 3） 優(yōu)化過程的可視化，實時圖形化地顯示系統(tǒng)優(yōu)化過程，讓用戶直觀形象的了解系統(tǒng)的運行狀態(tài)。 最后更要感謝我的父母，多年來以他們辛勤的勞動培養(yǎng)并幫助我順利的完成學(xué)業(yè)。 第 33 頁 共 36 頁 5 結(jié)論 本課題研制開發(fā)了一個可視化的約束優(yōu)化設(shè)計軟件，適用于教學(xué)過程中幫助學(xué)生更好的理解優(yōu)化算法的尋優(yōu)過程，主要完成了以下工作： （ 1）完成了懲罰函數(shù)內(nèi)點、外點和混合法程序的編制； （ 2）算法具有可 選性，即用戶可自主選擇所需優(yōu)化方法并設(shè)置優(yōu)化參數(shù)； （ 3）可求解任意維的約束優(yōu)化問題，對二維優(yōu)化問題，提供模型等值線圖和約束條件的圖象以及每次尋優(yōu)迭代的最優(yōu)點。用戶通過一定的方法（如鼠標或鍵盤）選擇、激活這些圖形對象，使計算機產(chǎn)生某種動作或變化，比如實現(xiàn)計算、繪圖等。 用于求解含有不等式約束和等式約束的中等維度的優(yōu)化問題。 3) 求解 min ()( , )kXr? ，得 ()*( )kXr 。 外點法的計算程序框圖如下所示： 第 23 頁 共 36 頁 圖 24 外點法程序框圖 2． 2． 4 懲罰函數(shù)混合法 2． 2． 4． 1 懲罰函數(shù)混合法的原理 鑒于內(nèi)點法和外點法備有優(yōu)缺點，因此在懲罰函數(shù)法中又出現(xiàn)了所謂混合法。 對懲罰函數(shù) ()( , )kXM? 求無約束極值，其結(jié)果將隨給定的懲罰因子 ()kM的值而異。但是計算 ()kA 的程序較復(fù)雜，且需要較大的存貯量，特別是在有舍入誤差時，也存在數(shù)值穩(wěn)定性不夠理想的情況。其遞推形式為 ( 1 ) ( ) ( )k k kA A E? ?? 式中： E—— 校正矩陣，它應(yīng)只依賴于本次迭代的 ( 1)kX ? ， ()kX 和相應(yīng)的梯度( 1)()kfX?? ， ()()kfX? 向量。但如果 (0)r 值又取得太大，則又會發(fā)生上述毛病。 還可以采用隨機選擇初始點的方法來尋找可行的初始點。 遞減系數(shù) C＝ 0． 1一 0． 5，常取 0． 1，亦可取 0． 02。這時對設(shè)計變量起懲罰作用，使其在迭代過程中始終不會觸及約束邊界。 機械優(yōu)化設(shè)計的問題，大多數(shù)屬于約束優(yōu)化設(shè)計問題，起數(shù)學(xué)模型為 min ()fX nXE??? .(subject to) ( ) 0vhX? v=1， 2，?， p ( ) 0ugX? u=1， 2，?， m 約束優(yōu)化問題的約束條件一般有等式約束和不等式約束，根據(jù)求解方式的不同，可分為直接解法和間接解法等。 在實際工程中，大部分問題的變量取值都有一定的限制，也就是屬于有約束條件的尋優(yōu)問題。對于復(fù)雜的問題，建立數(shù)學(xué)模型往往會遇到很多困難，有時甚至比求解更為復(fù)雜。 ③ 通過良好的可視化界面，可以較直觀地了解尋優(yōu)求解的過程。 90 年代又逐步拓展其數(shù)值計算、符號解析運算、文字處理、圖形功能等等，并采用面向?qū)ο蟮某呒壵Z言作為用戶界面，使 MATLAB 成為一個多領(lǐng)域、多學(xué)科、多功能的優(yōu)秀科技應(yīng)用軟件，占據(jù)了數(shù)值型軟件市場的主導(dǎo)地位。當用戶進行實際工程結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計時 , 不僅必須創(chuàng)建自己復(fù)雜的數(shù)學(xué)模型 , 而且要編制一些程序 , 然后調(diào)用軟件中的某一優(yōu)化子程序。 本課題的現(xiàn)狀及其研究意義 從 70 年代起 , 優(yōu)化方法開始應(yīng)用于工程設(shè)計 ,各個專業(yè)的優(yōu)化設(shè)計研究工作有了不同程度的發(fā)展 ,出現(xiàn)了許多與各專業(yè)相聯(lián)系的工程優(yōu)化設(shè)計軟件。運用該軟件可以幫助學(xué)生更好地理解優(yōu)化算法的尋優(yōu)過程，使抽象的問題具體化。圖形用戶界面由參數(shù)輸入框、結(jié)果輸出框和結(jié)果圖形化三部分組成。現(xiàn)代計算機技術(shù)的快速發(fā)展，促進了數(shù)值計算尋優(yōu)方法的發(fā)展和推廣應(yīng)用，設(shè)計者在建立了優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)上，可通過各種語言編制優(yōu)化方法程序，用計算機進行迭代計算求解。但現(xiàn)有許多通用的優(yōu)化設(shè)計應(yīng)用軟件和專業(yè)聯(lián)系并不是十分緊密 , 可視 第 6 頁 共 36 頁 性、可操作性不是很好。80年代中期， Mathworks 公司將 MATLAB 投向市場。 ② 為用戶提供輸入數(shù)學(xué)模型、選擇算法、確定初始操作參數(shù)、顯示運行結(jié)果等一系列服務(wù) 。 目標函數(shù)的最優(yōu)值一般可用最小值 (或最大值 )的形式來體現(xiàn)，因此，最優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型可簡化表示為 min ()fX nXE??? x .(subject to) ( ) 0vhX? v=1， 2，?， p ( ) 0ugX? u=1， 2，?， m 建立數(shù)學(xué)模型是最優(yōu)化過程中非常重要的一步，數(shù)學(xué)模型直接影響設(shè)計效果。無約束優(yōu)化問題指的是對設(shè)計變量的取值范圍不加任何限制，無約束優(yōu)化問題的一般形式為： 求 n維設(shè)計變量 X =[ 1x 2x ? nx ]T 使目標函數(shù)為 min ()fX x? nE 對 X 沒有任何限制。 （ a） （ b） 第 10 頁 共 36 頁 圖 21 約束最優(yōu)解的解域?qū)ψ顑?yōu)解的影響 （ a） 行域為凸集 （ b）可行域為非凸集 約束最優(yōu)化問題有解的條件為： (1)目標函數(shù)和約束函數(shù)為連續(xù)、可微函數(shù)，且存在一個有界的可行域 ? ； (2)可行域 ? 應(yīng)是一個非空集，即存在滿足約束條件的點列： { ()kX （ k=1， 2，?） }。 只要設(shè)計點 x在探索過程中始終保持為可行點，則懲罰項 ()11()mku ur gX?????????必為正值，且當設(shè)計點又由可行域內(nèi)部遠離約束邊界處移向邊界 ( ( ) 0ugX? )時，則懲罰項的值就要急劇增大并趨向無窮大，于是懲罰函數(shù) ()( , )kXr? 亦隨之急劇增大直至無窮大。 第 12 頁 共 36 頁 2． 2． 1． 2 懲罰函數(shù) 內(nèi)點法的迭代步驟： 1) 取初始懲罰因子 (0)r ＞ 0(例如取 (0)r ＝ 1)，允許誤差 c＞ 0； 2) 在可行域內(nèi)選取初始點 (0)X ，令 k＝ l； 3) 從 ( 1)kX ? 點出發(fā)用無約束最優(yōu)化方法求解： minx??()( , )kXr? 的極值點 X*( ()kr )； 4) 檢驗迭代終止準則：如果滿足 ( ) ( 1 ) 1* ( ) * ( )kkX r X r ???? 和 ( ) ( 1 )2( 1 )( * , ) ( * , )( * , )kkkX r X rXr?? ?? ??? ? 則停止迭代計算，并以 X*( ()kr )為原目標函數(shù) ()fX的約束最憂解，否則轉(zhuǎn)入下一步； 5) 取 ( 1)kr ? ＝ C ()kr ， (0)X ＝ X*( ()kr )， k＝ k+1，轉(zhuǎn)向步驟 3）。 求初始可行點的另一種常用方法，可按下述迭代計算步驟進行： I） 任取一點 (0) nXE? ， (0) 0r ? （例如取 (0) 1r ? ），令 k=0； II） 定出下標集 kT 與 kS ： ? ?()| ( ) 0 , 1 , 2 ,kkuT u g X u? ? ? … ， s ? ?()| ( ) 0 , 1 , 2 ,kkuS u g X u s s? ? ? ? ? … ， m III） 檢查 kS 是否為空集，若是則停止迭代，并取塞 ()kX 為初始內(nèi)點，否則進行下一步； IV) 以 ()kX 為初始點，解問題 第 15 頁 共 36 頁 () 1m in ( ) ()kkk