【正文】 的危險(xiǎn)。 2． 2． 2 DFP 變尺度法 懲罰函數(shù)內(nèi)點(diǎn)法步驟 3）中用到的無(wú)約束優(yōu)化算法為 DFP變尺度法。 如果能利用變尺度條件構(gòu)造出一個(gè)矩陣 ()kA 來(lái)代替 1[ ( )]kHX? ，再如果 ()kA 能用 ( 1 ) ( ) ( )k k kA A E? ??來(lái)表示，而其中校正矩陣 ()kE 又可用一個(gè)統(tǒng)一的公式表示時(shí)，則只要知道 A (1)便可求出 A (2)，并依次求出 A (3)， A (4)?，或者若已知 ()kA ，則可利用上式求出 A (k+1)， A (k+2)，?。 變尺度法的計(jì)算程序框圖如圖下所示： 圖 23 變尺度法程序框圖 2． 2． 3 懲罰函數(shù)外點(diǎn)法 2． 2． 3． 1 懲罰函數(shù)外點(diǎn)法的原理 與懲罰函數(shù)內(nèi)點(diǎn)法將懲罰函數(shù)定義于可行域內(nèi)且求解無(wú) 約束問(wèn)題的探索點(diǎn)總是保持在可行域內(nèi)的特點(diǎn)不同，外點(diǎn)法的特點(diǎn)是將懲罰函數(shù)定義于約束可行域 第 20 頁(yè) 共 36 頁(yè) 之外，且求解無(wú)約束問(wèn)題的探索點(diǎn)是從可行域外部逼近原日標(biāo)函數(shù)的約束最優(yōu)解的。因此，外點(diǎn)法是隨著懲罰因子 (參數(shù) ) ()kM 的遞增序列，使懲罰函數(shù)的無(wú)約束極值點(diǎn) ()*( )kXM 從可行域外部向原目標(biāo)函數(shù)的約束最優(yōu)點(diǎn)逼近，直至達(dá)到最優(yōu)點(diǎn)。 求解原目標(biāo)函數(shù) ()fX的極小值： min ()fX nXE??? x .(subject to) ( ) 0vhX? （ v=1， 2，?， p） ( ) 0ugX? （ u=1， 2，?， m） 根據(jù)混合法的基本思想，作為新目標(biāo)函數(shù)的懲罰函數(shù)，其懲罰項(xiàng)由兩部分組成，一部分反映不等式約束的影響并以內(nèi)點(diǎn)法的構(gòu)造形式列出；另一部分反映等式約 第 24 頁(yè) 共 36 頁(yè) 束的影響并以外點(diǎn)法的構(gòu)造形式列出，即混合法懲罰函數(shù)的一股表達(dá)式為 ? ? 2( ) ( ) ( ) ( )111( , , ) ( ) ( )()pmk k k kvuvuX r M f X r M h xgx? ??? ? ??? 即所構(gòu)造的混合法的懲罰函數(shù)，同時(shí)含有障礙函數(shù) ? ?2()1()mk vur h X??和衰減函數(shù)? ?2()1()pk vvM h x??。 5) 取 ( 1)kr? =C ()kr ， (0)X ＝ ()*( )kXr ， k＝ k+1，轉(zhuǎn)向步驟 3)。 用于求解含有不等式約束和等式約束的中等維度的優(yōu)化問(wèn)題。 3． 1 軟件開(kāi)發(fā)過(guò)程 1） 前期準(zhǔn)備：查找和收集一些與本課題相關(guān)的文章，大致了解課題目前的現(xiàn)狀； 2） 根據(jù)下達(dá)的任務(wù)書(shū)，學(xué)習(xí)并掌握優(yōu)化算法和 matlab 方面的知識(shí)； 3） 編制罰函數(shù)內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、混合和 DFP 算法的程序； 4） 制作用戶圖形界面（ GUI）并編制回調(diào)函數(shù)； 5） 調(diào)試、完善軟件系統(tǒng)。 本軟件有較好的穩(wěn)定性，但是還不夠成熟、完善，欲對(duì)軟件進(jìn)一步完善，還需要做以下方面的工作： （ 1） 添加完善約束優(yōu)化方法； （ 2） 完善圖形的縮放功能； （ 3） 優(yōu)化過(guò)程的可視化，實(shí)時(shí)圖形化地顯示系統(tǒng)優(yōu)化過(guò)程，讓用戶直觀形象的了解系統(tǒng)的運(yùn)行狀態(tài)。 最后更要感謝我的父母，多年來(lái)以他們辛勤的勞動(dòng)培養(yǎng)并幫助我順利的完成學(xué)業(yè)。 第 33 頁(yè) 共 36 頁(yè) 5 結(jié)論 本課題研制開(kāi)發(fā)了一個(gè)可視化的約束優(yōu)化設(shè)計(jì)軟件，適用于教學(xué)過(guò)程中幫助學(xué)生更好的理解優(yōu)化算法的尋優(yōu)過(guò)程，主要完成了以下工作： （ 1）完成了懲罰函數(shù)內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)和混合法程序的編制； （ 2）算法具有可 選性，即用戶可自主選擇所需優(yōu)化方法并設(shè)置優(yōu)化參數(shù)； （ 3）可求解任意維的約束優(yōu)化問(wèn)題，對(duì)二維優(yōu)化問(wèn)題，提供模型等值線圖和約束條件的圖象以及每次尋優(yōu)迭代的最優(yōu)點(diǎn)。用戶通過(guò)一定的方法（如鼠標(biāo)或鍵盤(pán)）選擇、激活這些圖形對(duì)象，使計(jì)算機(jī)產(chǎn)生某種動(dòng)作或變化，比如實(shí)現(xiàn)計(jì)算、繪圖等。 用于求解含有不等式約束和等式約束的中等維度的優(yōu)化問(wèn)題。 3) 求解 min ()( , )kXr? ，得 ()*( )kXr 。 外點(diǎn)法的計(jì)算程序框圖如下所示： 第 23 頁(yè) 共 36 頁(yè) 圖 24 外點(diǎn)法程序框圖 2． 2． 4 懲罰函數(shù)混合法 2． 2． 4． 1 懲罰函數(shù)混合法的原理 鑒于內(nèi)點(diǎn)法和外點(diǎn)法備有優(yōu)缺點(diǎn)，因此在懲罰函數(shù)法中又出現(xiàn)了所謂混合法。 對(duì)懲罰函數(shù) ()( , )kXM? 求無(wú)約束極值，其結(jié)果將隨給定的懲罰因子 ()kM的值而異。但是計(jì)算 ()kA 的程序較復(fù)雜，且需要較大的存貯量，特別是在有舍入誤差時(shí)，也存在數(shù)值穩(wěn)定性不夠理想的情況。其遞推形式為 ( 1 ) ( ) ( )k k kA A E? ?? 式中： E—— 校正矩陣，它應(yīng)只依賴于本次迭代的 ( 1)kX ? ， ()kX 和相應(yīng)的梯度( 1)()kfX?? ， ()()kfX? 向量。但如果 (0)r 值又取得太大，則又會(huì)發(fā)生上述毛病。 還可以采用隨機(jī)選擇初始點(diǎn)的方法來(lái)尋找可行的初始點(diǎn)。 遞減系數(shù) C＝ 0． 1一 0． 5，常取 0． 1，亦可取 0． 02。這時(shí)對(duì)設(shè)計(jì)變量起懲罰作用，使其在迭代過(guò)程中始終不會(huì)觸及約束邊界。 機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)的問(wèn)題，大多數(shù)屬于約束優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題，起數(shù)學(xué)模型為 min ()fX nXE??? .(subject to) ( ) 0vhX? v=1， 2，?， p ( ) 0ugX? u=1， 2，?， m 約束優(yōu)化問(wèn)題的約束條件一般有等式約束和不等式約束，根據(jù)求解方式的不同，可分為直接解法和間接解法等。 在實(shí)際工程中，大部分問(wèn)題的變量取值都有一定的限制，也就是屬于有約束條件的尋優(yōu)問(wèn)題。對(duì)于復(fù)雜的問(wèn)題，建立數(shù)學(xué)模型往往會(huì)遇到很多困難，有時(shí)甚至比求解更為復(fù)雜。 ③ 通過(guò)良好的可視化界面，可以較直觀地了解尋優(yōu)求解的過(guò)程。 90 年代又逐步拓展其數(shù)值計(jì)算、符號(hào)解析運(yùn)算、文字處理、圖形功能等等，并采用面向?qū)ο蟮某呒?jí)語(yǔ)言作為用戶界面，使 MATLAB 成為一個(gè)多領(lǐng)域、多學(xué)科、多功能的優(yōu)秀科技應(yīng)用軟件，占據(jù)了數(shù)值型軟件市場(chǎng)的主導(dǎo)地位。當(dāng)用戶進(jìn)行實(shí)際工程結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí) , 不僅必須創(chuàng)建自己復(fù)雜的數(shù)學(xué)模型 , 而且要編制一些程序 , 然后調(diào)用軟件中的某一優(yōu)化子程序。 本課題的現(xiàn)狀及其研究意義 從 70 年代起 , 優(yōu)化方法開(kāi)始應(yīng)用于工程設(shè)計(jì) ,各個(gè)專業(yè)的優(yōu)化設(shè)計(jì)研究工作有了不同程度的發(fā)展 ,出現(xiàn)了許多與各專業(yè)相聯(lián)系的工程優(yōu)化設(shè)計(jì)軟件。運(yùn)用該軟件可以幫助學(xué)生更好地理解優(yōu)化算法的尋優(yōu)過(guò)程，使抽象的問(wèn)題具體化。圖形用戶界面由參數(shù)輸入框、結(jié)果輸出框和結(jié)果圖形化三部分組成?，F(xiàn)代計(jì)算機(jī)技術(shù)的快速發(fā)展，促進(jìn)了數(shù)值計(jì)算尋優(yōu)方法的發(fā)展和推廣應(yīng)用，設(shè)計(jì)者在建立了優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)上，可通過(guò)各種語(yǔ)言編制優(yōu)化方法程序，用計(jì)算機(jī)進(jìn)行迭代計(jì)算求解。但現(xiàn)有許多通用的優(yōu)化設(shè)計(jì)應(yīng)用軟件和專業(yè)聯(lián)系并不是十分緊密 , 可視 第 6 頁(yè) 共 36 頁(yè) 性、可操作性不是很好。80年代中期， Mathworks 公司將 MATLAB 投向市場(chǎng)。 ② 為用戶提供輸入數(shù)學(xué)模型、選擇算法、確定初始操作參數(shù)、顯示運(yùn)行結(jié)果等一系列服務(wù) 。 目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值一般可用最小值 (或最大值 )的形式來(lái)體現(xiàn)，因此，最優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型可簡(jiǎn)化表示為 min ()fX nXE??? x .(subject to) ( ) 0vhX? v=1， 2，?， p ( ) 0ugX? u=1， 2，?， m 建立數(shù)學(xué)模型是最優(yōu)化過(guò)程中非常重要的一步，數(shù)學(xué)模型直接影響設(shè)計(jì)效果。無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題指的是對(duì)設(shè)計(jì)變量的取值范圍不加任何限制，無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題的一般形式為： 求 n維設(shè)計(jì)變量 X =[ 1x 2x ? nx ]T 使目標(biāo)函數(shù)為 min ()fX x? nE 對(duì) X 沒(méi)有任何限制。 （ a） （ b） 第 10 頁(yè) 共 36 頁(yè) 圖 21 約束最優(yōu)解的解域?qū)ψ顑?yōu)解的影響 （ a） 行域?yàn)橥辜? （ b）可行域?yàn)榉峭辜? 約束最優(yōu)化問(wèn)題有解的條件為： (1)目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)為連續(xù)、可微函數(shù)，且存在一個(gè)有界的可行域 ? ； (2)可行域 ? 應(yīng)是一個(gè)非空集，即存在滿足約束條件的點(diǎn)列： { ()kX （ k=1， 2，?） }。 只要設(shè)計(jì)點(diǎn) x在探索過(guò)程中始終保持為可行點(diǎn)，則懲罰項(xiàng) ()11()mku ur gX?????????必為正值，且當(dāng)設(shè)計(jì)點(diǎn)又由可行域內(nèi)部遠(yuǎn)離約束邊界處移向邊界 ( ( ) 0ugX? )時(shí)，則懲罰項(xiàng)的值就要急劇增大并趨向無(wú)窮大，于是懲罰函數(shù) ()( , )kXr? 亦隨之急劇增大直至無(wú)窮大。 第 12 頁(yè) 共 36 頁(yè) 2． 2． 1． 2 懲罰函數(shù) 內(nèi)點(diǎn)法的迭代步驟： 1) 取初始懲罰因子 (0)r ＞ 0(例如取 (0)r ＝ 1)，允許誤差 c＞ 0； 2) 在可行域內(nèi)選取初始點(diǎn) (0)X ，令 k＝ l； 3) 從 ( 1)kX ? 點(diǎn)出發(fā)用無(wú)約束最優(yōu)化方法求解： minx??()( , )kXr? 的極值點(diǎn) X*( ()kr )； 4) 檢驗(yàn)迭代終止準(zhǔn)則：如果滿足 ( ) ( 1 ) 1* ( ) * ( )kkX r X r ???? 和 ( ) ( 1 )2( 1 )( * , ) ( * , )( * , )kkkX r X rXr?? ?? ??? ? 則停止迭代計(jì)算，并以 X*( ()kr )為原目標(biāo)函數(shù) ()fX的約束最憂解，否則轉(zhuǎn)入下一步； 5) 取 ( 1)kr ? ＝ C ()kr ， (0)X ＝ X*( ()kr )， k＝ k+1，轉(zhuǎn)向步驟 3）。 求初始可行點(diǎn)的另一種常用方法，可按下述迭代計(jì)算步驟進(jìn)行： I） 任取一點(diǎn) (0) nXE? ， (0) 0r ? （例如取 (0) 1r ? ），令 k=0； II） 定出下標(biāo)集 kT 與 kS ： ? ?()| ( ) 0 , 1 , 2 ,kkuT u g X u? ? ? … ， s ? ?()| ( ) 0 , 1 , 2 ,kkuS u g X u s s? ? ? ? ? … ， m III） 檢查 kS 是否為空集，若是則停止迭代，并取塞 ()kX 為初始內(nèi)點(diǎn)，否則進(jìn)行下一步； IV) 以 ()kX 為初始點(diǎn)，解問(wèn)題 第 15 頁(yè) 共 36 頁(yè) () 1m in ( ) ()kkk