【正文】 的危險。 2． 2． 2 DFP 變尺度法 懲罰函數內點法步驟 3）中用到的無約束優(yōu)化算法為 DFP變尺度法。 如果能利用變尺度條件構造出一個矩陣 ()kA 來代替 1[ ( )]kHX? ，再如果 ()kA 能用 ( 1 ) ( ) ( )k k kA A E? ??來表示，而其中校正矩陣 ()kE 又可用一個統(tǒng)一的公式表示時，則只要知道 A (1)便可求出 A (2)，并依次求出 A (3)， A (4)?，或者若已知 ()kA ，則可利用上式求出 A (k+1)， A (k+2)，?。 變尺度法的計算程序框圖如圖下所示： 圖 23 變尺度法程序框圖 2． 2． 3 懲罰函數外點法 2． 2． 3． 1 懲罰函數外點法的原理 與懲罰函數內點法將懲罰函數定義于可行域內且求解無 約束問題的探索點總是保持在可行域內的特點不同，外點法的特點是將懲罰函數定義于約束可行域 第 20 頁 共 36 頁 之外，且求解無約束問題的探索點是從可行域外部逼近原日標函數的約束最優(yōu)解的。因此，外點法是隨著懲罰因子 (參數 ) ()kM 的遞增序列，使懲罰函數的無約束極值點 ()*( )kXM 從可行域外部向原目標函數的約束最優(yōu)點逼近，直至達到最優(yōu)點。 求解原目標函數 ()fX的極小值： min ()fX nXE??? x .(subject to) ( ) 0vhX? （ v=1， 2，?， p） ( ) 0ugX? （ u=1， 2，?， m） 根據混合法的基本思想，作為新目標函數的懲罰函數，其懲罰項由兩部分組成，一部分反映不等式約束的影響并以內點法的構造形式列出；另一部分反映等式約 第 24 頁 共 36 頁 束的影響并以外點法的構造形式列出，即混合法懲罰函數的一股表達式為 ? ? 2( ) ( ) ( ) ( )111( , , ) ( ) ( )()pmk k k kvuvuX r M f X r M h xgx? ??? ? ??? 即所構造的混合法的懲罰函數，同時含有障礙函數 ? ?2()1()mk vur h X??和衰減函數? ?2()1()pk vvM h x??。 5) 取 ( 1)kr? =C ()kr ， (0)X ＝ ()*( )kXr ， k＝ k+1，轉向步驟 3)。 用于求解含有不等式約束和等式約束的中等維度的優(yōu)化問題。 3． 1 軟件開發(fā)過程 1） 前期準備：查找和收集一些與本課題相關的文章，大致了解課題目前的現狀； 2） 根據下達的任務書，學習并掌握優(yōu)化算法和 matlab 方面的知識； 3） 編制罰函數內點、外點、混合和 DFP 算法的程序； 4） 制作用戶圖形界面（ GUI）并編制回調函數； 5） 調試、完善軟件系統(tǒng)。 本軟件有較好的穩(wěn)定性，但是還不夠成熟、完善，欲對軟件進一步完善，還需要做以下方面的工作： （ 1） 添加完善約束優(yōu)化方法； （ 2） 完善圖形的縮放功能； （ 3） 優(yōu)化過程的可視化，實時圖形化地顯示系統(tǒng)優(yōu)化過程，讓用戶直觀形象的了解系統(tǒng)的運行狀態(tài)。 最后更要感謝我的父母，多年來以他們辛勤的勞動培養(yǎng)并幫助我順利的完成學業(yè)。 第 33 頁 共 36 頁 5 結論 本課題研制開發(fā)了一個可視化的約束優(yōu)化設計軟件，適用于教學過程中幫助學生更好的理解優(yōu)化算法的尋優(yōu)過程，主要完成了以下工作： （ 1）完成了懲罰函數內點、外點和混合法程序的編制； （ 2）算法具有可 選性，即用戶可自主選擇所需優(yōu)化方法并設置優(yōu)化參數； （ 3）可求解任意維的約束優(yōu)化問題，對二維優(yōu)化問題，提供模型等值線圖和約束條件的圖象以及每次尋優(yōu)迭代的最優(yōu)點。用戶通過一定的方法（如鼠標或鍵盤）選擇、激活這些圖形對象，使計算機產生某種動作或變化，比如實現計算、繪圖等。 用于求解含有不等式約束和等式約束的中等維度的優(yōu)化問題。 3) 求解 min ()( , )kXr? ，得 ()*( )kXr 。 外點法的計算程序框圖如下所示： 第 23 頁 共 36 頁 圖 24 外點法程序框圖 2． 2． 4 懲罰函數混合法 2． 2． 4． 1 懲罰函數混合法的原理 鑒于內點法和外點法備有優(yōu)缺點，因此在懲罰函數法中又出現了所謂混合法。 對懲罰函數 ()( , )kXM? 求無約束極值，其結果將隨給定的懲罰因子 ()kM的值而異。但是計算 ()kA 的程序較復雜，且需要較大的存貯量，特別是在有舍入誤差時，也存在數值穩(wěn)定性不夠理想的情況。其遞推形式為 ( 1 ) ( ) ( )k k kA A E? ?? 式中： E—— 校正矩陣，它應只依賴于本次迭代的 ( 1)kX ? ， ()kX 和相應的梯度( 1)()kfX?? ， ()()kfX? 向量。但如果 (0)r 值又取得太大，則又會發(fā)生上述毛病。 還可以采用隨機選擇初始點的方法來尋找可行的初始點。 遞減系數 C＝ 0． 1一 0． 5，常取 0． 1，亦可取 0． 02。這時對設計變量起懲罰作用，使其在迭代過程中始終不會觸及約束邊界。 機械優(yōu)化設計的問題，大多數屬于約束優(yōu)化設計問題，起數學模型為 min ()fX nXE??? .(subject to) ( ) 0vhX? v=1， 2，?， p ( ) 0ugX? u=1， 2，?， m 約束優(yōu)化問題的約束條件一般有等式約束和不等式約束，根據求解方式的不同，可分為直接解法和間接解法等。 在實際工程中，大部分問題的變量取值都有一定的限制，也就是屬于有約束條件的尋優(yōu)問題。對于復雜的問題，建立數學模型往往會遇到很多困難，有時甚至比求解更為復雜。 ③ 通過良好的可視化界面，可以較直觀地了解尋優(yōu)求解的過程。 90 年代又逐步拓展其數值計算、符號解析運算、文字處理、圖形功能等等，并采用面向對象的超高級語言作為用戶界面，使 MATLAB 成為一個多領域、多學科、多功能的優(yōu)秀科技應用軟件，占據了數值型軟件市場的主導地位。當用戶進行實際工程結構優(yōu)化設計時 , 不僅必須創(chuàng)建自己復雜的數學模型 , 而且要編制一些程序 , 然后調用軟件中的某一優(yōu)化子程序。 本課題的現狀及其研究意義 從 70 年代起 , 優(yōu)化方法開始應用于工程設計 ,各個專業(yè)的優(yōu)化設計研究工作有了不同程度的發(fā)展 ,出現了許多與各專業(yè)相聯系的工程優(yōu)化設計軟件。運用該軟件可以幫助學生更好地理解優(yōu)化算法的尋優(yōu)過程，使抽象的問題具體化。圖形用戶界面由參數輸入框、結果輸出框和結果圖形化三部分組成?，F代計算機技術的快速發(fā)展，促進了數值計算尋優(yōu)方法的發(fā)展和推廣應用，設計者在建立了優(yōu)化設計的數學模型基礎上，可通過各種語言編制優(yōu)化方法程序，用計算機進行迭代計算求解。但現有許多通用的優(yōu)化設計應用軟件和專業(yè)聯系并不是十分緊密 , 可視 第 6 頁 共 36 頁 性、可操作性不是很好。80年代中期， Mathworks 公司將 MATLAB 投向市場。 ② 為用戶提供輸入數學模型、選擇算法、確定初始操作參數、顯示運行結果等一系列服務 。 目標函數的最優(yōu)值一般可用最小值 (或最大值 )的形式來體現，因此，最優(yōu)化設計的數學模型可簡化表示為 min ()fX nXE??? x .(subject to) ( ) 0vhX? v=1， 2，?， p ( ) 0ugX? u=1， 2，?， m 建立數學模型是最優(yōu)化過程中非常重要的一步，數學模型直接影響設計效果。無約束優(yōu)化問題指的是對設計變量的取值范圍不加任何限制，無約束優(yōu)化問題的一般形式為： 求 n維設計變量 X =[ 1x 2x ? nx ]T 使目標函數為 min ()fX x? nE 對 X 沒有任何限制。 （ a） （ b） 第 10 頁 共 36 頁 圖 21 約束最優(yōu)解的解域對最優(yōu)解的影響 （ a） 行域為凸集 （ b）可行域為非凸集 約束最優(yōu)化問題有解的條件為： (1)目標函數和約束函數為連續(xù)、可微函數，且存在一個有界的可行域 ? ； (2)可行域 ? 應是一個非空集，即存在滿足約束條件的點列： { ()kX （ k=1， 2，?） }。 只要設計點 x在探索過程中始終保持為可行點，則懲罰項 ()11()mku ur gX?????????必為正值，且當設計點又由可行域內部遠離約束邊界處移向邊界 ( ( ) 0ugX? )時，則懲罰項的值就要急劇增大并趨向無窮大，于是懲罰函數 ()( , )kXr? 亦隨之急劇增大直至無窮大。 第 12 頁 共 36 頁 2． 2． 1． 2 懲罰函數 內點法的迭代步驟： 1) 取初始懲罰因子 (0)r ＞ 0(例如取 (0)r ＝ 1)，允許誤差 c＞ 0； 2) 在可行域內選取初始點 (0)X ，令 k＝ l； 3) 從 ( 1)kX ? 點出發(fā)用無約束最優(yōu)化方法求解： minx??()( , )kXr? 的極值點 X*( ()kr )； 4) 檢驗迭代終止準則：如果滿足 ( ) ( 1 ) 1* ( ) * ( )kkX r X r ???? 和 ( ) ( 1 )2( 1 )( * , ) ( * , )( * , )kkkX r X rXr?? ?? ??? ? 則停止迭代計算，并以 X*( ()kr )為原目標函數 ()fX的約束最憂解，否則轉入下一步； 5) 取 ( 1)kr ? ＝ C ()kr ， (0)X ＝ X*( ()kr )， k＝ k+1，轉向步驟 3）。 求初始可行點的另一種常用方法，可按下述迭代計算步驟進行： I） 任取一點 (0) nXE? ， (0) 0r ? （例如取 (0) 1r ? ），令 k=0； II） 定出下標集 kT 與 kS ： ? ?()| ( ) 0 , 1 , 2 ,kkuT u g X u? ? ? … ， s ? ?()| ( ) 0 , 1 , 2 ,kkuS u g X u s s? ? ? ? ? … ， m III） 檢查 kS 是否為空集，若是則停止迭代，并取塞 ()kX 為初始內點，否則進行下一步； IV) 以 ()kX 為初始點，解問題 第 15 頁 共 36 頁 () 1m in ( ) ()kkk