【正文】 13 頁 共 36 頁 圖 22 內(nèi)點(diǎn)法程序框圖 2． 2． 1． 3 應(yīng)注意的問題： 1） 初始點(diǎn) (0)X 的選擇 因?yàn)閮?nèi)點(diǎn)法將懲罰函數(shù)定義于可行域內(nèi)，故要求 (0)X 嚴(yán)格滿足全部約束條件，且應(yīng)避免 (0)X 位于邊界上，即應(yīng)使 ( ) 0 ( 1 , 2 ,ug X u?? … ， m)。在計算中一旦取得 ( ) 0ugX? 即可以停機(jī)以節(jié)省時間，這樣得到的點(diǎn)作為初始點(diǎn)至少比原初始點(diǎn)要多滿足一個約束條件。 2） 初始懲罰參數(shù) (0)r 的選擇 (0)r 的選擇對 SUMT 法的計算效率影響很大，在 SUMT 法中是個比較重要的環(huán)節(jié)，選擇時需有一定的技巧和經(jīng)驗(yàn)。 通 常 ， 當(dāng) 初 始 點(diǎn) (0)X 是 一 個 嚴(yán) 格 的 內(nèi) 點(diǎn) 時 ， 則 應(yīng) 使 懲 罰 項(xiàng)( 0) ( 0)11 ()muur gX????????在新目標(biāo)函數(shù) (0)( , )Xr? 中所起的作用與原目標(biāo)函數(shù)()fX的作用相當(dāng)，于是得 ( 0 )( 0 )( 0 )1()1()mu ufXrgX??? 第 16 頁 共 36 頁 倘若約束區(qū)域是非凸的且初始點(diǎn) (0)X 亦不靠近約束邊界，則 (0)r 的取值可更小些，約為上式算得值的 0． 1—— 0． 5倍。所以在求解時，應(yīng)對 (0)r 做幾次試算，以取得最合適值。由于這一類方法的迭代形式與牛頓法類似。 在迭代過程中 ()kA 應(yīng)逐漸地逼近 1[ ( )]kHX? 。求出 A (k+1)后，便可按式 ( ) ( ) ( )[ ] ( )k k kS A f X? ? ?的方法決定新的探索方向： ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )()k k kS A f X? ? ?? ? ? 可以證明，這樣產(chǎn)生的方向也是共扼方向，而且對于非二次函數(shù)來說，它比用其它方法產(chǎn)生的共輛方向共扼性更好。 2． 2． 2． 2 DFP 變尺度法的計算步驟 1) 選定初始點(diǎn) (0)X 并給定計算精度 ? ，維數(shù) n； 2) 置 k＝ 0， ()kA ＝ A (0)＝ I(單位矩陣 )，計算 ( ) ( ) ( 0 )( ) ( )kkg f x f x? ? ? ?，這時探索方向?yàn)椋? ( ) ( ) ( )[ ] ( )k k kS A f X? ? ?= ()kA ()kg 3) 進(jìn)行一維探索求 ()k? ，使 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) m i n ( )k k k k kf X S f X S???? ? ? ( 1 ) ( ) ( ) ( )k k k kX X S?? ?? 4) 計算 ( 1) ( 1)()kkg f X???? ，如果 ( 1)kg? ＜ ? ，則 ( 1)kX ? 即為極小點(diǎn)，停止迭代，否則轉(zhuǎn)下一步； 5）檢查迭代次數(shù)，若 k=n（問題的維數(shù)），則 (0)X = ( 1)nX ? ，并轉(zhuǎn)向步驟2），若 kn，則進(jìn)行下一步； 6) 構(gòu)造新的探索方向 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )()k k k k kS A f X A g? ? ? ? ?? ? ? ? ? 第 19 頁 共 36 頁 為此應(yīng)計算 ( ) ( ),kkXg?? ( ) ( 1 ) ( ) ( ),k k k kE A A E? ?? 然后令 k=k+1，轉(zhuǎn)向步驟 3)。這就保證了在可行域內(nèi) ()( , )kXM? 與 ()fX是等價的?？梢詫土P函數(shù)無約束極值問題的最優(yōu)解 ()*( )kXM 看作是以()kM 為參數(shù)的一條軌跡，當(dāng)取 0 (0)M (1)M (2)M ? ()kM ( 1)kM? ???時．點(diǎn)列 (){ * ( )}kXM 就沿著這條軌跡趨于原目標(biāo)函數(shù) ()fX的約束最優(yōu)解。 (當(dāng) ( ) 0ugX? 時 ) (當(dāng) ( ) 0ugX? 時 ) 第 22 頁 共 36 頁 2） 從 ( 1)kX? 點(diǎn)出發(fā)用無約束最優(yōu)化方法求解： ()m in ( , )n kXE XM?? 得 ()*( )kXM 其中 ? ? 2( ) ( ) 1( , ) ( ) m a x[ ( ) , 0 ]mkk uuX M f X M g X? ??? ? 3） 計算 ()*( )kXM 點(diǎn)違反約束的最大量： ? ?()m a x [ * ( ) ] , 1 , 2 ,kuQ g X M u?? … ， m 4） 檢驗(yàn)迭代終止準(zhǔn)則：如果滿足 ? ?()m a x [ * ( ) ] , 1 , 2 ,kuQ g X M u?? … ， m1?? 則可以認(rèn)為 ()*( )kXM 點(diǎn)已接近約束邊界，停止迭代。它是將內(nèi)點(diǎn)法與外點(diǎn)法的懲罰函數(shù)形式結(jié)合在一起，用來求解既有不等式約束又有等式約束條件的最優(yōu)化問題的。這時，其初始點(diǎn) (0)X 應(yīng)為內(nèi)點(diǎn)； 而 (0)r 值可參照內(nèi)點(diǎn)法選??；其迭代程序則與內(nèi)點(diǎn)法的相類似。 4) 撿驗(yàn)迭代終止準(zhǔn)則，如果滿足要求，則停止迭代，并以 ()*( )kXr 為原目標(biāo)函數(shù) ()fX的約束最優(yōu)解，否則轉(zhuǎn)入下一步。 2． 2． 5 三種算法的比較 第 26 頁 共 36 頁 算法 特點(diǎn) 適用場合 懲罰函數(shù)內(nèi)點(diǎn)法 將約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為一系列無約束優(yōu)化問題，初始點(diǎn)應(yīng)取為嚴(yán)格滿足各個不等式約束條件的內(nèi)點(diǎn)，懲罰因子應(yīng)取為單調(diào)遞減的正數(shù)序列，初試罰因子的選擇恰當(dāng)與否對收斂速度和求解成敗有較大影響。 懲罰函數(shù)混合法 將約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為一系列無約束優(yōu)化問題，初試點(diǎn)的選取與內(nèi)點(diǎn)法相同。 90 年代又逐步拓展其數(shù)值計算、符號解析運(yùn) 算、文字處理、圖形功能等等，并采用面向?qū)ο蟮某呒壵Z言作為用戶界面，使 MATLAB 成為一個多領(lǐng)域、多學(xué)科、多功能的優(yōu)秀科技應(yīng)用軟件，占據(jù)了數(shù)值型軟件市場的主導(dǎo)地位。 如果想向別人提供應(yīng)用程序，想進(jìn)行某種技 術(shù)、方法的演示，想制作一個供反復(fù)使用且操作簡單的專用工具，那么圖形用戶界面也許是最好的選擇之一。 第 30 頁 共 36 頁 4 優(yōu)化算例與分析 優(yōu)化算例 算例一： 2212m i n ( ) ( 2 ) ( 1 )f x x x? ? ? ? s. t. 21 1 2( ) 0g x x x? ? ? 2 1 2( ) 2 0g x x x? ? ? ? 理論最優(yōu)解： *x? [1 1]T ( *)fx? 1 分別用本課題開發(fā)的軟件和 matlab 優(yōu)化工具箱中優(yōu)化函數(shù)求解，結(jié)果如表41所示： 算法 最優(yōu)點(diǎn) 最優(yōu)值 迭代次數(shù) 罰函數(shù)內(nèi)點(diǎn)法 [1 1] 1 12 罰函數(shù)外點(diǎn)法 [1 1] 8 罰函數(shù)混合法 [ 1] 1 11 matlab 優(yōu)化工具箱中優(yōu)化函數(shù) fmincon [1 1] 1 表 41 算例二： 2 2 21 2 3 1 2 1 3m i n ( ) 1 0 0 0 2f x x x x x x x x? ? ? ? ? ? s. t. 11( ) 0g x x? ? ? 12( ) 0g x x? ? ? 13( ) 0g x x? ? ? 2 2 21 2 31 ( ) 2 5 0h x x x x? ? ? ? ? 第 31 頁 共 36 頁 2 1 2 3( ) 8 1 4 7 5 6 0h x x x x? ? ? ? ? 理論最優(yōu)解： *x? [ ]T ( *)fx? 分別用本課題開發(fā)的軟件和 matlab 優(yōu)化工具箱中優(yōu)化函數(shù)求解，結(jié)果如表42所示： 算法 最優(yōu)點(diǎn) 最優(yōu)值 迭代次數(shù) 罰函數(shù)內(nèi)點(diǎn)法 罰函數(shù)外點(diǎn)法 [ ] 1 罰函數(shù)混合法 [ ] 10 matlab 優(yōu)化工具箱中優(yōu)化函數(shù) fmincon [ ] 表 42 算例二中，用 matlab 優(yōu)化工具箱中優(yōu)化函數(shù) fmincon 求解時，命令窗口中出現(xiàn)如下提示： Maximum number of function evaluations exceeded。并可以適當(dāng)?shù)目s放生成的圖形； （ 4）本軟件平臺具有方便易用的圖形用戶界面 (GUI )； （ 5）提供了一定的錯誤檢測功能。此外，導(dǎo)師嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)術(shù)作風(fēng)和和藹可親的性格給我留下了深刻的印象。 第 35 頁 共 36 頁 參考文獻(xiàn) 1 劉惟信 . 機(jī)械最優(yōu)化設(shè)計（第二版） . 北京：清華大學(xué)出版社， 1994 2 陳立周主遍 . 機(jī)械優(yōu)化設(shè)計方法（第三版） . 北京：冶金工業(yè)出版社， 2020 3 鄭阿奇主編 . Matlab 實(shí)用教程 . 北京：電子工業(yè)出版社， 2020 4 阮沈勇，王永利，桑群芳 . Matlab 程序設(shè)計 . 北京：電子工業(yè)出版社， 2020 5 飛思科技產(chǎn)品研發(fā)中心 . MATLAB . 北京 :電子工業(yè)出版社， 2020 6 邢文訓(xùn)，謝金星 . 現(xiàn)代優(yōu)化計算方法 . 北京：清華大學(xué)出版社， 1999 7 Stephen J. Chapman. 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