高考理科數(shù)學(xué)平面及其基本性質(zhì)復(fù)習(xí)資料(存儲版)
【正文】 所以 EG∥ HF,直線 EF，GH是梯形的兩腰 ， 所以它們的延長線必相交于一點 ， 要證三條直線 EF、 GH、BD交于一點 ， 只要證點 P在直線 BD上即可 .事實上 ， 由于 BD是 EF和 GH分別所在平面BCD和平面 ABD的交線 ， 而點 P是上述兩平面的公共點 ， 由公理 2知 P∈ BD. 23D H D HF C H A??1225E G / / A C , H F / / A C30 ? 證法 1： (幾何法 ) ? 連結(jié) GE、 HF. ? 因為 E、 G分別為 BC、 ? AB的中點， ? 所以 GE∥ AC. ? 又因為 DF∶ FC=2∶ 3， DH∶ HA=2∶ 3， ? 所以 HF∥ AC,所以 GE∥ HF. ? 故 G、 E、 F、 H四點共面 . ? 又因為 EF與 GH不能平行， 31 ? 所以 EF與 GH相交，設(shè)交點為 P. ? 則 P∈ 平面 ABD， P∈ 平面 BCD， ? 而平面 ABD∩平面 BCD=BD， ? 所以 EF、 GH、 BD交于一點 . ? 證法 2： (向量法 ) ? 由 ? 所以 ，從而 . 1122E G B G B E B A B C? ? ? ?11 ,22( B A B C ) C A? ? ?2 2 2 25 5 5 5F H D H D F D A D C ( D A D C ) C A? ? ? ? ? ? ?45EG FH?E G / / F H32 ? 故 G、 E、 F、 H四點共面 .又因為 EF與 ? GH不能平行，所以 EF與 GH相交， ? 設(shè)交點為 P. ? 則 P∈ 平面 ABD， P∈ 平面 BCD， ? 而平面 ABD∩平面 BCD=BD， ? 所以 EF、 GH、 BD交于一點 . ? 點評： 證明線共點，常采用證兩直線的 ? 交點在第三條直線上的方法，而第三條 ? 直線又往往是兩平面的交線 . 33 ? 在正方體 ABCDA1B1C1D1中， E是AB的中點， F是 A1A的中點，求證： CE，D1F， DA三線共點 . ? 證明： 因為 E是 AB的 ? 中點， F是 A1A的中點，連 ? 結(jié) EF∥ A1B，所以 ? EF∥ D1C且 EF= D1C， ? 故四邊形 ECD1F是梯形， ? 兩腰 CE， D1F相交，設(shè)其交點為 P. 1234 ? 則 P∈ CE， 又 CE 平面 ABCD， ? 所以 P∈ 平面 ， ? P∈ 平面 ADD1A1. ? 又平面 ABCD∩平面 ADD1 A1=AD， ? 根據(jù)公理 3知 ， P∈ AD， 所以 CE， ? D1F， DA三線共點 . ?35 ? 2. 在空間四邊形 ABCD中 ， E、 F、 G、 H分別是 AB、 BC、 AD、 CD邊上的點 ， 且 EF和 GH相交于 P點 ， 求證： A、 C、 P三點共線 . 題型 5 共線問題 36 ? 證明： 依據(jù)題意， A、 B、 C ? 為不共線三點，由這三點確定一個平面 . ? 因為 E、 F分別是 AB、 BC上的點， ? 所以 E、 F在平面 ABC內(nèi)， ? 從而直線 EF在平面 ABC內(nèi) . ? 因為點 P在直線 EF上， ? 所以點 P在平面 ABC內(nèi) . ? 同理，點 P在平面 ACD內(nèi) . 37 ? 所以點 P是平面 ABC和 ? 平面 ACD的一個公共點 . ? 因為平面 ABC∩平面 ACD=AC， ? 所以點 P在直線 AC上， ? 即 A、 C、 P三點共線 . ? 點評： 證多點共線問題，一般先取過 ? 兩點的直線，然后證其他點在這條直 ? 線上；也可證明這些點均在兩個平面 ? 的交線上 . 38 ?
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