亞正定變換研究-免費(fèi)閱讀
【正文】 0? ? ???? ，即 39。 , 39。 39。A A AA?時(shí)，顯然也有 39。 ( , , , ) 39。? 在 12, , , n? ? ? 下的矩陣是 39。X BX X BX X B X?? ? ? ? ? 從而 12( , )n ABX??? ? ? ?? ， ( , ) 39。 ) 39。) , ) 0? ? ? ???即( , ) ( 39。) ) 39。)n A A Y? ? ? ? ? ?? ? ? 從而 ( ( 39。X AX X AX X A X? ? ? ? ? ?, ( 39。( , , .. ., ) ( , , .. ., ) 39。A 為亞正定矩陣，于是， 39。? 也是亞正定變換 . 證明 令 ? 是 n 維歐氏空間 V 的一個(gè)亞正定變換 , 12, , , n? ? ? 為 V 的任一標(biāo)準(zhǔn)正交基，設(shè) ? 在 12, , , n? ? ? 下的矩陣為 A ，即 1 2 1 2( , , , ) ( , , , )nn A? ? ? ? ? ? ??，根據(jù)共軛變換定義，有 4 1 2 1 239。現(xiàn)在提出問題：能否在歐氏空間中定義一種線性變換，使它與亞正定矩陣相對(duì)應(yīng)，借助對(duì)這種特殊線性變換的研究，重新獲得亞正定矩陣的有關(guān)結(jié)果，更重要的是，能深入的理解亞正定矩陣的幾何意義，推廣一些現(xiàn)有結(jié)果 . 本文將在這些方面作些嘗試。 conjugate transformation。0X AX? ，由0?? 及任意性，得知 X 是任意的 n 維非零列向量，于是 A 為亞正定矩陣 . （充分性）反之，若 A 為亞正定矩陣，則 39。 39。39。 ) 39。) ( , , , ) ( 39。( 39。) )? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? 故 39。??? 為正定變換 . 定理 6 設(shè) ? 為亞正定變換， ? 為正定變換，且 ?? ??? ，則 ?? 為亞正定變換 . 證明 設(shè) 12, , , n? ? ? 為任一標(biāo)準(zhǔn)正交基 ,? ， ? 在標(biāo)準(zhǔn)正交基 12, , , n? ? ? 下的矩陣分別為 A ， ? 為亞正定變換，即 0,V?? ? ? 有 ( , ) 39。 ) 39。X AB X X AB X X AB X? ? ? ? ? ? ?. 根據(jù)文獻(xiàn) [10]的引理 5，有 AB為亞正定矩陣，從而 39。( , , , ) ( , , , ) 39。A A AA? ，即 A 是正規(guī)矩陣。D D E D D???，即139。 39。 ) ( , )? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?2( , ) ( 39。? ? ??? ，因( , )??? ? ( , ) ( , ) ( , 39。 ) ( 39。A CDC CD C CD C?? ? ? ，從而 139。 ( , , , )nC A C D diag ? ? ??? ，其中 1,n??為 A 的 n個(gè)特征值，因 1??? ，（ 1, ,in? ） 即 2 1i?? ，所以 139。? ? ??? 時(shí)，有 39。nn A? ? ? ? ? ? ??故有 1 2 1 2 1 239。 39。X AX X AX X A X? ? ? ? ? ? 且 12( , )n BX?? ? ? ?? ， ( , ) 39。??? 為亞正定變換 .又因?yàn)?39。)Y A A X Y A A X X A A Y? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 因此 ( ( 39。)X A A Y? ? ? ?? ? ? ( , ( 39。X A X? ? ? ? 故 39。nnxxAx? ? ? ? ?????????????? 6 令12nxxXx?????????????,從而 ( , ) 39。? 為亞正定變換 . 在歐氏空間 V 中，有著名的 Cauchy不等式：對(duì)任意 , V??? ，有 2( , ) ( , )( , )? ? ? ? ? ?? 當(dāng)且僅當(dāng) ,??線性相關(guān)時(shí) ,等號(hào)才成立 . 我們通過引入亞正定變換，將對(duì)這一重要不等式進(jìn)行
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