專題13立體幾何中的向量方法-20xx年高考數(shù)學(xué)理備考易錯(cuò)點(diǎn)專項(xiàng)復(fù)習(xí)-免費(fèi)閱讀
【正文】 AN→ ＝ 0，即????? － 12＋ λ ＝ 0，λ － ＋ λ ＝ 0， 解得 λ ＝ 12，此時(shí) AS→ ＝ (0， 12， 12)， |AS→ |＝ 22 . 經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng) AS＝ 22 時(shí)， ES⊥ 平面 AMN. 故線段 AN上存在點(diǎn) S，使得 ES⊥ 平面 AMN，此時(shí) AS＝ 22 . 【變式探究】 如圖，已知矩形 ABCD所在平面垂直于直角梯形 ABPE所在平面于直線 AB，且 AB＝ BP＝ 2， AD＝ AE＝ 1， AE⊥ AB，且 AE∥ BP. (1)設(shè)點(diǎn) M為棱 PD的中點(diǎn)，求證： EM∥ 平面 ABCD； (2)線段 PD上是否存在一點(diǎn) N，使得直線 BN與平面 PCD所成角的正弦值等于 25？若存在，試確定點(diǎn) N的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． (1)證明 由已知，平面 ABCD⊥ 平面 ABPE，且 BC⊥ AB，則 BC⊥ 平面 ABPE，所以 BA， BP， BC兩兩垂直，故以點(diǎn) B為原點(diǎn)， BA→ ， BP→ ， BC→ 分別為 x軸， y軸， z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系． 則 P(0,2,0)， D(2,0,1)， M??? ???1， 1， 12 ， E(2,1,0)， C(0,0,1)，所以 EM→ ＝ ??? ???－ 1， 0， 12 . 易知平面 ABCD的一個(gè)法向量 n＝ (0,1,0)， 所以 EM→ n1|CP→ | μ ＝ 0?a1a2＋ b1b2＋ c1c2＝ 0. (2)線面垂直 l⊥ α ?a∥ μ ?a＝ kμ ?a1＝ ka2， b1＝ kb2， c1＝ kc2. (3)面面平行 α ∥ β ?μ ∥ v?μ ＝ λ v?a2＝ λa 3， b2＝ λb 3， c2＝ λc 3. (4)面面垂直 α ⊥ β ?μ ⊥ v?μ CD→ ＝ ??? ???－ 12BC→ － 12BF→ DF→ ＝ 0，n1(1,0,0) ＝ 0， AD→ DP→|CQ→ ||DP→ |＝ 1＋ 2λ10λ 2＋ 2. 設(shè) 1＋ 2λ ＝ t， t∈[1,3] ， 則 cos2〈 CQ→ ， DP→ 〉＝ 2t25t2－ 10t＋ 9＝29??? ???1t－ 59 2＋ 209≤ 910. 當(dāng)且僅當(dāng) t＝ 95，即 λ ＝ 25時(shí)， |cos〈 CQ→ ， DP→ 〉 |的最大值為 3 1010 . 因?yàn)?y＝ cosx在 ??? ???0， π2 上是減函數(shù)，此時(shí)直線 CQ與 DP所成角取得最小值． 又因?yàn)?BP＝ 12＋ 22＝ 5，所以 BQ＝ 25BP＝ 2 55 . 【變式探究】 如圖，在直三棱柱 ABC— A1B1C1 中，底面 △ ABC 是直角三角形， AB＝ AC＝ 1， AA1＝ 2，點(diǎn) P是棱 BB1上一點(diǎn)，滿足 BP→ ＝ λ BB1→ (0≤ λ ≤1) ． (1)若 λ ＝ 13，求直線 PC與平面 A1BC所成角的正弦值； (2)若二面角 P— A1C— B的正弦值為 23，求 λ 的值． 解 以點(diǎn) A為坐標(biāo)原點(diǎn) O，分別以 AB， AC， AA1所在直線為 x軸， y軸， z軸，建立空間直角坐標(biāo)系 AB＝ AC＝ 1， AA1＝ 2，則 A(0,0,0)， B(1,0,0)， C(0,1,0)， A1(0,0,2)， B1(1,0,2)，P(1,0,2λ )． (1)由 λ ＝ 13得， CP→ ＝ ??? ???1，－ 1， 23 ， A1B→ ＝ (1,0，－ 2)， A1C→ ＝ (0,1，－ 2)， 設(shè)平面 A1BC的法向量為 n1＝ (x1， y1， z1)， 由????? n1 AM→ ||NE→ | CD→ ＝ 0，得????? 2x1－ 2y1＋ z1＝ 0，2x1＝ 0， 取 y1＝ 1，得平面 PCD的一個(gè)法向量等于 n1＝ (0,1,2)， 假設(shè)線段 PD上存在一點(diǎn) N，使得直線 BN 與平面 PCD所成的角 α 的正弦值等于 25. 設(shè) PN→ ＝ λ PD→ (0≤ λ ≤1) ， 則 PN→ ＝ λ (2，－ 2,1)＝ (2λ ，－ 2λ ， λ )， BN→ ＝ BP→ ＋ PN→ ＝ (2λ ， 2－ 2λ ， λ )． 所以 sinα ＝ |cos〈 BN→ ， n1〉 |＝ |BN→ μ ||a||μ |＝ |cos〈 a， μ 〉 |. (3)面面夾角 設(shè)平面 α 、 β 的夾角為 θ (0≤ θ π) ， 則 |cosθ |＝ |μ PD→ ＝ 0， 即????? x＋ y－ 2z＝ 0，2y－ 2z＝ 0. 令 y＝ 1，解得 z＝ 1， x＝ 1. 所以 m＝ (1,1,1)是平面 PCD的一個(gè)法向量． 從而 cos〈 AD→ ， m〉＝ AD→ ( BC→ － BF→ ) ＝－ 12BC→ 2＋ 12BF→ 2＝ 0. ∴ OM⊥ CD， OM⊥ FC，又 CD∩ FC＝ C， ∴ OM⊥ 平面 EFCD. 又 OM?平面 MDF， ∴ 平面 MDF⊥ 平面 EFCD. 【變式探究】 如圖，在底面是矩形的四棱錐 P— ABCD中， PA⊥ 底面 ABCD，點(diǎn) E， F分別是 PC，PD的中點(diǎn)， PA＝ AB＝ 1， BC＝ 2. (1)求證： EF∥ 平面 PAB； (2)求證：平面 PAD⊥ 平面 PDC. 證明 (1)以點(diǎn) A為原點(diǎn)， AB 所在直線為 x軸， AD 所在直線為 y軸， AP 所在直線為 z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 則 A(0,0,0)， B(1,0,0)， C(1,2,0)， D(0,2,0)， P(0,0,1)， ∵ 點(diǎn) E， F分別是 PC， PD 的中點(diǎn)， ∴ E??? ???12， 1， 12 ， F??? ???0， 1， 12 ， EF→ ＝ ??? ???－ 12， 0， 0 ， AB→ ＝ (1,0,0)． ∵ EF→ ＝－ 12AB→ ， ∴ EF→ ∥ AB→ ， 即 EF∥ AB， 又 AB?平面 PAB， EF?平面 PAB， ∴ EF∥ 平面 PAB. (2)由 (1)可知 PB→ ＝ (1,0，－ 1)， PD→ ＝ (0,2，－ 1)， AP→ ＝ (0,0,1)， AD→ ＝ (0,2,0)， DC→ ＝ (1,0,0)， ∵ AP→ 1.【 2017課標(biāo) 1，理 18】如圖，在四棱錐 PABCD中， AB//CD，且 90BAP CDP? ? ? ?. （ 1）證明：平面 PAB⊥ 平面 PAD； （ 2）若 PA=PD=AB=DC， 90APD??，求二面角 APBC的余弦值 . 【答案】（ 1）見(jiàn)解析；（ 2） 33? . 以 F 為坐標(biāo)原點(diǎn)， FA 的方向?yàn)?x 軸正方向， AB 為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 F xyz? . 由（ 1）及已知可得 2 ,0,02A??????， 20,0,2P??????， 2 ,1,02B??????， 2 ,1,02C???????. 所以 22,1,PC ??? ? ?????， ? ?2,0,0CB ? ， 22, 0,PA ????????， ? ?0,1,0AB? . 設(shè) ? ?,n x y z? 是平面 PCB 的法向量，則 0{ 0n PCn CB????，即 22 0{ 20x y zx? ? ? ??， 可取 ? ?0, 1, 2n ? ? ? . 設(shè) ? ?,m x y z? 是平面 PAB 的法向量，則 0{ 0m PAm AB????，即 22 0{ 220xzy???， 可取 ? ?1,0,1n? . 則 3c o s ,3
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