【正文】 v||μ ||v|＝ |cos〈 μ ， v〉 |. 易錯起源 利用空間向量求解探索性問題 例 如圖所示，四邊形 ABCD 是邊長為 1 的正方形， MD⊥ 平面 ABCD， NB⊥ 平面 ABCD，且 MD＝ NB＝ 1， E為 BC的中點． (1)求異面直線 NE與 AM所成角的余弦值； (2)在線段 AN 上是否存在點 S，使得 ES⊥ 平面 AMN？若存在，求線段 AS的長；若不存在，請說明理由． 解 (1)由題意，易得 DM⊥ DA， DM⊥ DC， DA⊥ DC. 如圖 所示，以點 D為坐標原點， DA， DC， DM所在直線分別為 x軸， y軸， z軸，建立空間直角坐標系． 則 D(0,0,0)， A(1,0,0)， M(0,0,1)， C(0,1,0)， B(1,1,0)， N(1,1,1)， E(12， 1,0)， 所以 NE→ ＝ (－ 12， 0，－ 1)， AM→ ＝ (－ 1,0,1)． 設(shè)異面直線 NE與 AM所成角為 θ ， 則 cosθ ＝ |cos〈 NE→ ， AM→ 〉 | ＝ |NE→ DC→ ＝ (0,0,1) BA→ ＝ 0， OM→ | n1|＝ 2233 ， 所以直線 PC與平面 A1BC所成的角的正弦值為 2233 . 則 cos〈 n1， n2〉＝ 9－ 4λ3 4λ 2－ 8λ ＋ 9， 又因為二面角 P— A1C— B的正弦值為 23， 所以 9－ 4λ3 4λ 2－ 8λ ＋ 9＝ 53 ， 化簡得 λ 2＋ 8λ － 9＝ 0，解得 λ ＝ 1或 λ ＝－ 9(舍去 )， 故 λ 的值為 1. 【名師點睛】 (1)運用空間向量坐標運算求空間角的一般步驟： ① 建立恰當?shù)目臻g直角坐標系； ② 求出相關(guān)點的坐標； ③ 寫出向量坐標； ④ 結(jié)合公式進行論證、計算； ⑤ 轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論． (2)求空間角注意： ① 兩條異面直線所成的角 α 不一定是直線的方向向量的夾角 β ，即 cosα ＝|cosβ |.② 兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面角，有可能為兩法向量夾角的補角． ③直線和平面所成的角的正弦值等于平面法向量與直線方向向量夾角的余弦值的絕對值，即注意函數(shù)名稱的變化． 【錦囊妙計，戰(zhàn)勝自我】 設(shè)直線 l， m的方向向量分別為 a＝ (a1， b1， c1)， b＝ (a2， b2， c2)．平面 α ， β 的法向量分別為 μ ＝ (a3， b3， c3)， v＝ (a4， b4， c4)(以下相同 )． (1)線線夾角 設(shè) l， m的夾角為 θ (0≤ θ ≤ π2 )， 則 cosθ ＝ |a AM→ ＝ 0，ES→ (1,0,0) ＝ 0， ∴ AP→ ⊥ DC→ ， AD→ ⊥ DC→ ，即 AP⊥ DC， AD⊥ DC. 又 AP∩ AD＝ A， ∴ DC⊥ 平面 PAD. ∵ DC?平面 PDC， ∴ 平面 PAD⊥ 平面 PDC. 【名師點睛】 用向量知識證明立體幾何問題，仍然離不開立體幾何中的定理．如要證明線面平行，只需要證明平面外的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，即化歸為證明線線平行，用向量方法證明直線 a∥ b，只需證明向量 a＝ λb (λ ∈R) 即可．若用直線的方向向量與平面的法向量垂直來證明線面平行，仍需強調(diào)直線在平面外． 【錦囊妙計，戰(zhàn)勝自我】 設(shè)直線 l的方向向量為 a＝ (a1， b1， c1)，平面 α ， β 的法向量分別為 μ ＝ (a2， b2， c2)， v＝(a3， b3， c3)則有： (1)線面平行 l∥ α ?a⊥ μ ?a DM→ ＝ 0. 得????? x1－ y1＋ z1＝ 0，12x1－ y1＝ 0， 令 x1＝ 1，則 n1＝ ??? ???1， 12，－ 12 . 同理可得 n2＝ (0,1,1)． ∵ n1 A1B→ ＝ 0，n1 PD→ ＝ 0，n1 PC→ ＝ 0， m 1.【 2017課標 1，理 18】如圖，在四棱錐 PABCD中， AB//CD，且 90BAP CDP? ? ? ?. （ 1）證明：平面 PAB⊥ 平面 PAD； （ 2）若 PA=PD=AB=DC， 90APD??，求二面角 APBC的余弦值 . 【答案】（ 1）見解析；（ 2） 33? . 以 F 為坐標原點， FA 的方向為 x 軸正方向， AB 為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標系 F xyz? . 由（ 1）及已知可得 2 ,0,02A??????， 20,0,2P??????， 2 ,1,02B??????， 2 ,1,02C???????. 所以 22,1,PC ??? ? ?????， ? ?2,0,0CB ? ， 22, 0,PA ????????， ? ?0,1,0AB? . 設(shè) ? ?,n x y z? 是平面 PCB 的法向量，則 0{ 0n PCn CB????，即 22 0{ 20x y zx? ? ? ??， 可取 ? ?0, 1, 2n ? ? ? . 設(shè) ? ?,m x y z? 是平面 PAB 的法向量，則 0{ 0m PAm AB????，即 22 0{ 220xzy???， 可取 ? ?1,0,1n? . 則 3c o s ,3nmnm nm?? ? ?， 所以二面角 A PB C??的余弦值為 33? . 2.【 2017山東，理 17】如圖，幾何體是圓柱的一部分，它是由矩形 ABCD （及其內(nèi)部）以 AB邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn) 120? 得到的， G 是 DF 的中點 . （ Ⅰ ）設(shè) P 是 CE 上的一點，且 AP BE? ，求 CBP? 的大??； （ Ⅱ ）當 3AB? ， 2AD? ，求二面角 E AG C??的大小 . 【答案】（ Ⅰ ） 30CBP? ? ? .（ Ⅱ ） 60? . 【解析】 （ Ⅰ ）因為 AP BE? ， AB BE? ， AB ， AP ? 平面 ABP ， AB AP A??， 所以 BE? 平面 ABP ， 又 BP? 平面 ABP ， 所以 BE BP? ，又 120EBC? ? ? ， 因此 30CBP? ? ? （ Ⅱ ）以 B 為坐標原點，分別以 BE ， BP ， BA 所在的直線為 x ， y ， z 軸，建立如圖所示的空間直角坐標系 .由題意得 ? ?0,0,3A ? ?2,0,0E ， ? ?1, 3,3G ， ? ?1, 3,0C ? ，故? ?2,0, 3AE ??， ? ?1, 3,0AG ? ， ? ?2,0,3CG? ， 設(shè) ? ?1 1 1,m x y z? 是平面 AEG 的一個法向量 . 由 0{ 0m AEm AG????可得 112 3 0,{ 3 0,xzxy???? 取 1 2z? ，可得平面 AEG 的一個法向量 ? ?3, 3, 2m ?? . 設(shè) ? ?2 2 2,n x y z? 是平面 ACG 的一個法向量 . 由 0{ 0n AGn CG????可得 22223 0,{ 2 3 0,xyxz???? 取 2 2z ?? ，可得平面 ACG 的一個法向量 ? ?3, 3, 2n ? ? ? . 所以 1c o s ,2mnmn mn????. 因此所求的角為 60? . 3.【 2017北京，理 16】 如圖，在四棱錐 PABCD中，底面 ABCD為正方形，平面 PAD⊥ 平面 ABCD，點 M在線段 PB上， PD//平面 MAC， PA=PD= 6 ， AB=4． （ I）求證： M為 PB的中點；