專(zhuān)題13立體幾何中的向量方法-20xx年高考數(shù)學(xué)理備考易錯(cuò)點(diǎn)專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí)(已修改)
2025-12-07 01:34 本頁(yè)面
【正文】 1.【 2017課標(biāo) 1，理 18】如圖，在四棱錐 PABCD中， AB//CD，且 90BAP CDP? ? ? ?. （ 1）證明：平面 PAB⊥ 平面 PAD； （ 2）若 PA=PD=AB=DC， 90APD??，求二面角 APBC的余弦值 . 【答案】（ 1）見(jiàn)解析；（ 2） 33? . 以 F 為坐標(biāo)原點(diǎn)， FA 的方向?yàn)?x 軸正方向， AB 為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 F xyz? . 由（ 1）及已知可得 2 ,0,02A??????， 20,0,2P??????， 2 ,1,02B??????， 2 ,1,02C???????. 所以 22,1,PC ??? ? ?????， ? ?2,0,0CB ? ， 22, 0,PA ????????， ? ?0,1,0AB? . 設(shè) ? ?,n x y z? 是平面 PCB 的法向量，則 0{ 0n PCn CB????，即 22 0{ 20x y zx? ? ? ??， 可取 ? ?0, 1, 2n ? ? ? . 設(shè) ? ?,m x y z? 是平面 PAB 的法向量，則 0{ 0m PAm AB????，即 22 0{ 220xzy???， 可取 ? ?1,0,1n? . 則 3c o s ,3nmnm nm?? ? ?， 所以二面角 A PB C??的余弦值為 33? . 2.【 2017山東，理 17】如圖，幾何體是圓柱的一部分，它是由矩形 ABCD （及其內(nèi)部）以 AB邊所在直線(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn) 120? 得到的， G 是 DF 的中點(diǎn) . （ Ⅰ ）設(shè) P 是 CE 上的一點(diǎn)，且 AP BE? ，求 CBP? 的大??； （ Ⅱ ）當(dāng) 3AB? ， 2AD? ，求二面角 E AG C??的大小 . 【答案】（ Ⅰ ） 30CBP? ? ? .（ Ⅱ ） 60? . 【解析】 （ Ⅰ ）因?yàn)?AP BE? ， AB BE? ， AB ， AP ? 平面 ABP ， AB AP A??， 所以 BE? 平面 ABP ， 又 BP? 平面 ABP ， 所以 BE BP? ，又 120EBC? ? ? ， 因此 30CBP? ? ? （ Ⅱ ）以 B 為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以 BE ， BP ， BA 所在的直線(xiàn)為 x ， y ， z 軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 .由題意得 ? ?0,0,3A ? ?2,0,0E ， ? ?1, 3,3G ， ? ?1, 3,0C ? ，故? ?2,0, 3AE ??， ? ?1, 3,0AG ? ， ? ?2,0,3CG? ， 設(shè) ? ?1 1 1,m x y z? 是平面 AEG 的一個(gè)法向量 . 由 0{ 0m AEm AG????可得 112 3 0,{ 3 0,xzxy???? 取 1 2z? ，可得平面 AEG 的一個(gè)法向量 ? ?3, 3, 2m ?? . 設(shè) ? ?2 2 2,n x y z? 是平面 ACG 的一個(gè)法向量 . 由 0{ 0n AGn CG????可得 22223 0,{ 2 3 0,xyxz???? 取 2 2z ?? ，可得平面 ACG 的一個(gè)法向量 ? ?3, 3, 2n ? ? ? . 所以 1c o s ,2mnmn mn????. 因此所求的角為 60? . 3.【 2017北京，理 16】 如圖，在四棱錐 PABCD中，底面 ABCD為正方形，平面 PAD⊥ 平面 ABCD，點(diǎn) M在線(xiàn)段 PB上， PD//平面 MAC， PA=PD= 6 ， AB=4． （ I）求證： M為 PB的中點(diǎn)； （ II）求二面角 BPDA的大小； （ III）求直線(xiàn) MC與平面 BDP所成角的正弦值． 【答案】（ Ⅰ ）詳見(jiàn)解析：（ Ⅱ ） 3? ；（ Ⅲ ） 269 【解析】 （ I）設(shè) ,ACBD 交點(diǎn)為 E ，連接 ME . 因?yàn)?PD 平面 MAC ，平面 MAC? 平面 PBD ME? ，所以 PD ME . 因?yàn)?ABCD 是正方形，所以 E 為 BD 的中點(diǎn)，所以 M 為 PB 的中點(diǎn) . （ II）取 AD 的中點(diǎn) O ，連接 OP ， OE . 因?yàn)?PA PD? ，所以 OP AD? . 又因?yàn)槠矫?PAD? 平面 ABCD ，且 OP? 平面 PAD ，所以 OP? 平面 ABCD . 因?yàn)?OE? 平面 ABCD ，所以 OP OE? . 因?yàn)?ABCD 是正方形，所以 OE AD? . 如圖建立空間直角坐標(biāo)系 O xyz? ，則 ? ?0,0, 2P ， ? ?2,0,0D ， ? ?2,4,0B ? ， ? ?4, 4,0BD ?? ， ? ?2, 0, 2PD ??. 設(shè)平面 BDP 的法向量為 ? ?,n x y z? ，則 0{ 0n BDn PD????，即 4 4 0{ 2 2 0xyxz????. 令 1x? ，則 1y? ， 2z? .于是 ? ?1,1, 2n? . 平面 PAD 的法向量為 ? ?0,1,0p? ，所以 1c o s ,2npnp np???. 由題知二面角 B PD A??為銳角，所以它的大小為 3? . （ III）由題意知 21,2,2M ???????， ? ?2,4,0D ， 23, 2,2MC ????????. 設(shè)直線(xiàn) MC 與平面 BDP 所成角為 ? ，則 26si n c os ,9n M Cn M Cn M C??? ? ?. 所以直線(xiàn) MC 與平面 BDP 所成角的正弦值為 269 . 4.【 2017天津，理 17】如圖，在三棱錐 PABC中， PA⊥ 底面 ABC， 90BAC? ? ? .點(diǎn) D， E， N分別為棱 PA， PC， BC的中點(diǎn)， M是線(xiàn)段 AD的中點(diǎn)， PA=AC=4， AB=2. （ Ⅰ ）求證： MN∥ 平面 BDE； （ Ⅱ ）求二面角 CEMN的正弦值； （ Ⅲ ）已知點(diǎn) H在棱 PA上，且直線(xiàn) NH 與直線(xiàn) BE所成角的余弦值為 721 ，求線(xiàn)段 AH的長(zhǎng) . 【答案】 （ 1）證明見(jiàn)解析（ 2） 10521 （ 3） 85 或 12 【解析】如圖，以 A為原點(diǎn)，分別以 AB ， AC ， AP 方向?yàn)?x軸、 y軸、 z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系 .依題意可得 A（ 0， 0， 0）， B（ 2， 0， 0）， C（ 0， 4， 0）， P（ 0， 0， 4）， D（ 0，0， 2）， E（ 0， 2， 2）， M（ 0， 0， 1）， N（ 1， 2， 0） . （ Ⅰ ）證明： DE =（ 0， 2， 0）， DB =（ 2， 0， 2? ） .設(shè) ? ?,n x y z? ，為平面 BDE的法向量， 則 0{ 0n DEn DB????，即 20{ 2 2 0yxz???.不妨設(shè) 1z? ，可得 ? ?1,0,1n? .又 MN =（ 1， 2， 1? ），可得 0MN n?? . 因?yàn)?MN? 平面 BDE，所以 MN//平面 BDE. （ Ⅲ ）解：依題意，設(shè) AH=h（ 04h??），則 H（ 0， 0， h），進(jìn)而可得 ? ?1, 2,NH h? ? ? ， ? ?2, 2, 2BE ?? .由已知，得 2 22 7c os , 215 2 3N H BE hN H BE N H BE h? ?? ? ???，整理得210 21 8 0hh? ? ?，解得 85h? ，或 12h? . 所以，線(xiàn)段 AH的長(zhǎng)為 85 或 12 . 5.【 2017江蘇， 22】 如圖， 在平行六面體 ABCDA1B1C1D1中，
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