高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)--立體幾何二理(已修改)
2025-06-19 23:44 本頁面
【正文】 立體幾何中的數(shù)量問題二. 重點(diǎn)、難點(diǎn)：1. 角度（1）兩條異面直線所成角（2）直線與平面所成角（3）二面角2. 距離（1）作垂線 （2）體積轉(zhuǎn)化【典型例題】[例1] PA、PB、PC兩兩垂直，與PA、PB所成角為45176。，60176。，求與PC所成角。解：構(gòu)造長(zhǎng)方體 [例2] 正四棱錐S—ABCD中，AB=，SA=，M為SA中點(diǎn)，N為SC中點(diǎn)。（1）求BN，DM所成角的余弦值；（2）P、Q在SB、CA上，求PQ與底面ABCD所成角的正切值。解：（1）MEFDH為SN中點(diǎn) ∴ 異面直線MD、BN所成角的余弦值為（2）過P作PH//SO交BD于H ∴ PH⊥面ABCD∴ ∠PQH為PQ與底面所成角 ∴ [例3] SA⊥面ABC，AB⊥BC，DE在面SAC內(nèi)，垂直平分SC，交SC、AC于E、D，若SA=AB=1，BC=，求二面角（1）B—SC—A的余弦值；（2）E—BD—C。解：（1）面DEB∴ ∠DEB為二面角A—SC—B的平面角面SAC∴ ∠EDC為二面角C—BD—E的平面角∴ ∵ AB=SA=1 AC= SC=2∴ BE=1 DE= CD=∴ ∵ ∴ [例4] 正方體ABCD—A1B1C1D1中，AB=1，求：（1）D到面D1AC的距離；（2）C到面AB1D1的距離；（3）M為BB1中點(diǎn)，M到面D1AC的距離；（4）AC1與BB1的距離解：（1）連BD∩AC=E過D作DF⊥D1E于F，∴ DF為距離 （2）設(shè)C到面AB1D1的距離為h∴ （3）連DM交D1E于H，設(shè)M到面D1AC距離為 ∴ （4）[例5] 四棱錐P—ABCD，底面ABCD為菱形，AB=2，∠BAD=60176。，PB=PD，PA=PC=，求：（1）B到面PAD的距離；（2）BC與PA的距離；（3）AC與PD的距離。解：（1）AC∩BD=H，連PHBF為所求PA=，AH，PH，PB=2 ∴ BE=DE=，BD=2∴ BF= 另 （2）（BC，面PAD）=（B，面PAD）=（3）過H作HM⊥PD于M為公垂線[例6] 直二面角，AB∩，AB與所成角為，AB與所成角為，求證：。證明：過A作AC⊥于C，過B作BD⊥于D∴ AC⊥ BD⊥ ∠BAD= ∠ABC=∴ ∴ ∴ 當(dāng)且僅當(dāng)C、D重合時(shí)，[例7] 如圖所示，已知直線AB⊥平面，線段BC，CD⊥BC且CD與平面成30176。的角，設(shè)AB=BC=CD=2，CE是CD在平面內(nèi)的射影。（1）求證：AD與BC是異面直線；（2）求AC與DE之間距離；（3）求AD與BC所成角的度數(shù)。解析：（1）證明：假設(shè)AD與BC在同一個(gè)平面內(nèi)，∵ AB⊥，BC∴ AB⊥BC，又CD⊥BC，∴ AB//CD，
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