【正文】 A為原點，分別以 AB ， AC ， AP 方向為 x軸、 y軸、 z軸正方向建立空間直角坐標系 .依題意可得 A（ 0， 0， 0）， B（ 2， 0， 0）， C（ 0， 4， 0）， P（ 0， 0， 4）， D（ 0，0， 2）， E（ 0， 2， 2）， M（ 0， 0， 1）， N（ 1， 2， 0） . （ Ⅰ ）證明： DE =（ 0， 2， 0）， DB =（ 2， 0， 2? ） .設(shè) ? ?,n x y z? ，為平面 BDE的法向量， 則 0{ 0n DEn DB????，即 20{ 2 2 0yxz???.不妨設(shè) 1z? ，可得 ? ?1,0,1n? .又 MN =（ 1， 2， 1? ），可得 0MN n?? . 因為 MN? 平面 BDE，所以 MN//平面 BDE. （ Ⅲ ）解：依題意，設(shè) AH=h（ 04h??），則 H（ 0， 0， h），進而可得 ? ?1, 2,NH h? ? ? ， ? ?2, 2, 2BE ?? .由已知，得 2 22 7c os , 215 2 3N H BE hN H BE N H BE h? ?? ? ???，整理得210 21 8 0hh? ? ?，解得 85h? ，或 12h? . 所以，線段 AH的長為 85 或 12 . 5.【 2017江蘇， 22】 如圖， 在平行六面體 ABCDA1B1C1D1中， AA1⊥ 平面 ABCD，且 AB=AD=2，AA1= 3 ， 120BAD? ? ? . （ 1）求異面直線 A1B與 AC1所成角的余弦值； （ 2）求二面角 BA1DA的正弦值 . 【答案】（ 1） 17 （ 2） 74 【解析】在平面 ABCD內(nèi)，過點 A作 AE? AD，交 BC于點 E. 因為 AA1? 平面 ABCD， 所以 AA1? AE， AA1? AD. 如圖，以 ? ?1,AE AD AA 為正交基底，建立空間直角坐標系 Axyz. 因為 AB=AD=2， AA1= 3 ， 120BAD? ? ? . 則 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?110 , 0 , 0 , 3 , 1 , 0 , 0 , 2 , 0 , 3 , 0 , 0 , 0 , 0 , 3 , 3 , 1 , 3A B D E A C?. (1) ? ? ? ?113 , 1 , 3 , 3 , 1 , 3A B A C? ? ? ?， 則 ? ? ? ?1111113 , 1 , 3 3 , 1 , 3 1c os ,77A B ACA B AC A B AC? ? ??? ? ? ?. 因此異面直線 A1B與 AC1所成角的余弦值為 17. (2)平面 A1DA的一個法向量為 ? ?3,0,0AE ? . 設(shè) ? ?,m x y z? 為平面 BA1D的一個法向量， 又 ? ? ? ?1 3 , 1 , 3 , 3 , 3 , 0A B B D? ? ? ? ?， 則 1 0,{ 0,m ABm BD????即 3 3 0,{ 3 3 0 .x y zxy? ? ?? ? ? 不妨取 x=3，則 3, 2yz??， 所以 ? ?3, 3,2m? 為平面 BA1D的一個法向量， 從而 ? ? ? ?3 , 0 , 0 3 , 3 , 2 3,434AE mc os AE m AE m??? ? ??， 設(shè)二面角 BA1DA的大小為 ? ，則 3cos4? ?. 因為 ? ?0,??? ，所以 2 71 c o s 4sin??? ? ?. 因此二面角 BA1DA的正弦值為 74 . 6.【 2021高考新課標 1卷】（本小題滿分為 12分）如圖 ,在以 A,B,C,D,E,F為頂點的五面體中 ,面 ABEF為正方形 ,AF=2FD, 90AFD??,且二面角 DAFE與二面角 CBEF都是 60 ． （ I）證明：平面 ABEF? 平面 EFDC； （ II）求二面角 EBCA的余弦值． 【答案】（ I）見解析（ II） 2 1919? 【解析】 （ Ⅰ ）由已知可得 ΑF DF? ， ΑF FE? ，所以 ΑF? 平面 ΕFDC ． 又 F?? 平面 ΑΒΕF ，故平面 ΑΒΕF? 平面 ΕFDC ． （ Ⅱ ）過 D 作 DG ΕF? ，垂足為 G ，由（ Ⅰ ）知 DG? 平面 ΑΒΕF ． 以 G 為坐標原點， GF 的方向為 x 軸正方向， GF 為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標系 G xyz? ． 由（ Ⅰ ）知 DFE? 為二面角 D AF E??的平面角，故 60DFE??，則 2DF? ， 3DG? ，可得 ? ?1,4,0A ， ? ?3,4,0B ? ， ? ?3,0,0E ? ， ? ?0,0, 3D ． 由已知， //ABEF ，所以 //AB 平面 EFDC ． 又平面 ABCD 平面 EFDC DC? ，故 //AB CD ， //CDEF ． 由 //BE AF ，可得 BE? 平面 EFDC ，所以 CΕF? 為二面角 C BE F??的平面角， 60CΕF??．從而可得 ? ?2,0, 3C ? ． 所以 ? ?1,0, 3ΕC ? ， ? ?0,4,0ΕΒ? ， ? ?3, 4, 3ΑC ? ? ? ， ? ?4,0,0ΑΒ?? ． 設(shè) ? ?,x y z?n 是平面 ΒCΕ 的法向量，則 00ΕCΕΒ? ????????nn，即 3040xzy? ???????， 所以可取 ? ?3,0, 3??n ． 設(shè) m 是平面 ΑΒCD 的法向量，則 00ΑCΑΒ? ????????mm， 同理可取 ? ?0, 3,4?m ．則 2 1 9c o s ,19?? ? ?nmnm nm． 故二面角 E BC A的余弦值為 2 1919? ． 7.【 2021 高考新課標 2 理數(shù)】如圖，菱形 ABCD 的對角線 AC 與 BD 交于點 O ，5, 6AB AC??，點 ,EF分別在 ,ADCD 上， 54AE CF??， EF 交 BD 于點 H ．將 DEF?沿 EF 折到 DEF?? 位置， 10OD?? ． （ Ⅰ ）證明： DH? ? 平面 ABCD ； （ Ⅱ ）求二面角 B DA C???的正弦值． 【答案】（ Ⅰ ）詳見解析；（ Ⅱ ） 29525 . 【解析】 （ Ⅰ ）由已知得 AC BD? ， AD CD? ，又由 AE CF? 得 AE CFAD CD?，故 AC EF∥ . 因此 EF HD? ，從而 EF DH?? .由 5AB? , 6AC? 得 2204D O B A B A O? ? ? ?. 由 EF AC∥ 得 14OH AEDO AD??.所以 1OH? ， = =3DH DH? . 于是 2 2 2 2 23 1 10D H O H D O??? ? ? ? ?， 故 DH OH? ? . 又 DH EF? ? ，而 OH EF H? ， 所以 D H ABC D? ? 平 面 . （ Ⅱ ）如圖，以 H 為坐標原點， HF 的方向為 x 軸正方向，建立空間直角坐標系 H xyz? ，則 ? ?0,0,0H ， ? ?3, 1,0A ?? ， ? ?0, 5,0B ? ， ? ?3, 1,0C ? ， ? ?0,0,3D? ， (3, 4,0)AB?? ，? ?6,0,0AC? ， ? ?3,1,3AD?? .設(shè) ? ?1 1 1,x y z?m 是平面 ABD? 的法向量，則 00ABAD? ???? ?????mm ，即 111 1 13 4 03 3 0xyx y z???? ? ?