【正文】 （ II）求二面角 BPDA的大??； （ III）求直線 MC與平面 BDP所成角的正弦值． 【答案】（ Ⅰ ）詳見解析：（ Ⅱ ） 3? ；（ Ⅲ ） 269 【解析】 （ I）設(shè) ,ACBD 交點(diǎn)為 E ，連接 ME . 因?yàn)?PD 平面 MAC ，平面 MAC? 平面 PBD ME? ，所以 PD ME . 因?yàn)?ABCD 是正方形，所以 E 為 BD 的中點(diǎn)，所以 M 為 PB 的中點(diǎn) . （ II）取 AD 的中點(diǎn) O ，連接 OP ， OE . 因?yàn)?PA PD? ，所以 OP AD? . 又因?yàn)槠矫?PAD? 平面 ABCD ，且 OP? 平面 PAD ，所以 OP? 平面 ABCD . 因?yàn)?OE? 平面 ABCD ，所以 OP OE? . 因?yàn)?ABCD 是正方形，所以 OE AD? . 如圖建立空間直角坐標(biāo)系 O xyz? ，則 ? ?0,0, 2P ， ? ?2,0,0D ， ? ?2,4,0B ? ， ? ?4, 4,0BD ?? ， ? ?2, 0, 2PD ??. 設(shè)平面 BDP 的法向量為 ? ?,n x y z? ，則 0{ 0n BDn PD????，即 4 4 0{ 2 2 0xyxz????. 令 1x? ，則 1y? ， 2z? .于是 ? ?1,1, 2n? . 平面 PAD 的法向量為 ? ?0,1,0p? ，所以 1c o s ,2npnp np???. 由題知二面角 B PD A??為銳角，所以它的大小為 3? . （ III）由題意知 21,2,2M ???????， ? ?2,4,0D ， 23, 2,2MC ????????. 設(shè)直線 MC 與平面 BDP 所成角為 ? ，則 26si n c os ,9n M Cn M Cn M C??? ? ?. 所以直線 MC 與平面 BDP 所成角的正弦值為 269 . 4.【 2017天津，理 17】如圖，在三棱錐 PABC中， PA⊥ 底面 ABC， 90BAC? ? ? .點(diǎn) D， E， N分別為棱 PA， PC， BC的中點(diǎn)， M是線段 AD的中點(diǎn)， PA=AC=4， AB=2. （ Ⅰ ）求證： MN∥ 平面 BDE； （ Ⅱ ）求二面角 CEMN的正弦值； （ Ⅲ ）已知點(diǎn) H在棱 PA上，且直線 NH 與直線 BE所成角的余弦值為 721 ，求線段 AH的長 . 【答案】 （ 1）證明見解析（ 2） 10521 （ 3） 85 或 12 【解析】如圖，以 A為原點(diǎn)，分別以 AB ， AC ， AP 方向?yàn)?x軸、 y軸、 z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系 .依題意可得 A（ 0， 0， 0）， B（ 2， 0， 0）， C（ 0， 4， 0）， P（ 0， 0， 4）， D（ 0，0， 2）， E（ 0， 2， 2）， M（ 0， 0， 1）， N（ 1， 2， 0） . （ Ⅰ ）證明： DE =（ 0， 2， 0）， DB =（ 2， 0， 2? ） .設(shè) ? ?,n x y z? ，為平面 BDE的法向量， 則 0{ 0n DEn DB????，即 20{ 2 2 0yxz???.不妨設(shè) 1z? ，可得 ? ?1,0,1n? .又 MN =（ 1， 2， 1? ），可得 0MN n?? . 因?yàn)?MN? 平面 BDE，所以 MN//平面 BDE. （ Ⅲ ）解：依題意，設(shè) AH=h（ 04h??），則 H（ 0， 0， h），進(jìn)而可得 ? ?1, 2,NH h? ? ? ， ? ?2, 2, 2BE ?? .由已知，得 2 22 7c os , 215 2 3N H BE hN H BE N H BE h? ?? ? ???，整理得210 21 8 0hh? ? ?，解得 85h? ，或 12h? . 所以，線段 AH的長為 85 或 12 . 5.【 2017江蘇， 22】 如圖， 在平行六面體 ABCDA1B1C1D1中， AA1⊥ 平面 ABCD，且 AB=AD=2，AA1= 3 ， 120BAD? ? ? . （ 1）求異面直線 A1B與 AC1所成角的余弦值； （ 2）求二面角 BA1DA的正弦值 . 【答案】（ 1） 17 （ 2） 74 【解析】在平面 ABCD內(nèi)，過點(diǎn) A作 AE? AD，交 BC于點(diǎn) E. 因?yàn)?AA1? 平面 ABCD， 所以 AA1? AE， AA1? AD. 如圖，以 ? ?1,AE AD AA 為正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系 Axyz. 因?yàn)?AB=AD=2， AA1= 3 ， 120BAD? ? ? . 則 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?110 , 0 , 0 , 3 , 1 , 0 , 0 , 2 , 0 , 3 , 0 , 0 , 0 , 0 , 3 , 3 , 1 , 3A B D E A C?. (1) ? ? ? ?113 , 1 , 3 , 3 , 1 , 3A B A C? ? ? ?， 則 ? ? ? ?1111113 , 1 , 3 3 , 1 , 3 1c os ,77A B ACA B AC A B AC? ? ??? ? ? ?. 因此異面直線 A1B與 AC1所成角的余弦值為 17. (2)平面 A1DA的一個(gè)法向量為 ? ?3,0,0AE ? . 設(shè) ? ?,m x y z? 為平面 BA1D的一個(gè)法向量， 又 ? ? ? ?1 3 , 1 , 3 , 3 , 3 , 0A B B D? ? ? ? ?， 則 1 0,{ 0,m ABm BD????即 3 3 0,{ 3 3 0 .x y zxy? ? ?? ? ? 不妨取 x=3，則 3, 2yz??， 所以 ? ?3, 3,2m? 為平面 BA1D的一個(gè)法向量， 從而 ? ? ? ?3 , 0 , 0 3 , 3 , 2 3,434AE mc os AE m AE m??? ? ??， 設(shè)二面角 BA1DA的大小為 ? ，則 3cos4? ?. 因?yàn)?? ?0,??? ，所以 2 71 c o s 4sin??? ? ?. 因此二面角 BA1DA的正弦值為 74 . 6.【 2021高考新課標(biāo) 1卷】（本小題滿分為 12分）如圖 ,在以 A,B,C,D,E,F為頂點(diǎn)的五面體中 ,面 ABEF為正方形 ,AF=2FD, 90AFD??,且二面角 DAFE與二面角 CBEF都是 60 ． （ I）證明：平面 ABEF? 平面 EFDC； （ II）求二面角 EBCA的余弦值． 【答案】（ I）見解析（ II） 2 1919? 【解析】 （ Ⅰ ）由已知可得 ΑF DF? ， ΑF FE? ，所以 ΑF? 平面 ΕFDC ． 又 F?? 平面 ΑΒΕF ，故平面 ΑΒΕF? 平面 ΕFDC ． （ Ⅱ ）過 D 作 DG ΕF? ，垂足為 G ，由（ Ⅰ ）知 DG? 平面 ΑΒΕF ． 以 G 為坐標(biāo)原點(diǎn)， GF 的方向?yàn)?x 軸正方向， GF 為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 G xyz? ． 由（ Ⅰ ）知 DFE? 為二面角 D AF E??的平面角，故 60DFE??，則 2DF? ， 3DG? ，可得 ? ?1,4,0A ， ? ?3,4,0B ? ， ? ?3,0,0E ? ， ? ?0,0, 3D ． 由已知， //ABEF ，所以 //AB 平面 EFDC ． 又平面 ABCD 平面 EFDC DC? ，故 //AB CD ， //CDEF ． 由 //BE AF ，可得 BE? 平面 EFDC ，所以 CΕF? 為二面角 C BE F??的平面角， 60CΕF??．