【正文】 AA1⊥ 平面 ABCD，且 AB=AD=2，AA1= 3 ， 120BAD? ? ? . （ 1）求異面直線 A1B與 AC1所成角的余弦值； （ 2）求二面角 BA1DA的正弦值 . 【答案】（ 1） 17 （ 2） 74 【解析】在平面 ABCD內(nèi)，過點 A作 AE? AD，交 BC于點 E. 因為 AA1? 平面 ABCD， 所以 AA1? AE， AA1? AD. 如圖，以 ? ?1,AE AD AA 為正交基底，建立空間直角坐標系 Axyz. 因為 AB=AD=2， AA1= 3 ， 120BAD? ? ? . 則 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?110 , 0 , 0 , 3 , 1 , 0 , 0 , 2 , 0 , 3 , 0 , 0 , 0 , 0 , 3 , 3 , 1 , 3A B D E A C?. (1) ? ? ? ?113 , 1 , 3 , 3 , 1 , 3A B A C? ? ? ?， 則 ? ? ? ?1111113 , 1 , 3 3 , 1 , 3 1c os ,77A B ACA B AC A B AC? ? ??? ? ? ?. 因此異面直線 A1B與 AC1所成角的余弦值為 17. (2)平面 A1DA的一個法向量為 ? ?3,0,0AE ? . 設 ? ?,m x y z? 為平面 BA1D的一個法向量， 又 ? ? ? ?1 3 , 1 , 3 , 3 , 3 , 0A B B D? ? ? ? ?， 則 1 0,{ 0,m ABm BD????即 3 3 0,{ 3 3 0 .x y zxy? ? ?? ? ? 不妨取 x=3，則 3, 2yz??， 所以 ? ?3, 3,2m? 為平面 BA1D的一個法向量， 從而 ? ? ? ?3 , 0 , 0 3 , 3 , 2 3,434AE mc os AE m AE m??? ? ??， 設二面角 BA1DA的大小為 ? ，則 3cos4? ?. 因為 ? ?0,??? ，所以 2 71 c o s 4sin??? ? ?. 因此二面角 BA1DA的正弦值為 74 . 6.【 2021高考新課標 1卷】（本小題滿分為 12分）如圖 ,在以 A,B,C,D,E,F為頂點的五面體中 ,面 ABEF為正方形 ,AF=2FD, 90AFD??,且二面角 DAFE與二面角 CBEF都是 60 ． （ I）證明：平面 ABEF? 平面 EFDC； （ II）求二面角 EBCA的余弦值． 【答案】（ I）見解析（ II） 2 1919? 【解析】 （ Ⅰ ）由已知可得 ΑF DF? ， ΑF FE? ，所以 ΑF? 平面 ΕFDC ． 又 F?? 平面 ΑΒΕF ，故平面 ΑΒΕF? 平面 ΕFDC ． （ Ⅱ ）過 D 作 DG ΕF? ，垂足為 G ，由（ Ⅰ ）知 DG? 平面 ΑΒΕF ． 以 G 為坐標原點， GF 的方向為 x 軸正方向， GF 為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標系 G xyz? ． 由（ Ⅰ ）知 DFE? 為二面角 D AF E??的平面角，故 60DFE??，則 2DF? ， 3DG? ，可得 ? ?1,4,0A ， ? ?3,4,0B ? ， ? ?3,0,0E ? ， ? ?0,0, 3D ． 由已知， //ABEF ，所以 //AB 平面 EFDC ． 又平面 ABCD 平面 EFDC DC? ，故 //AB CD ， //CDEF ． 由 //BE AF ，可得 BE? 平面 EFDC ，所以 CΕF? 為二面角 C BE F??的平面角， 60CΕF??．從而可得 ? ?2,0, 3C ? ． 所以 ? ?1,0, 3ΕC ? ， ? ?0,4,0ΕΒ? ， ? ?3, 4, 3ΑC ? ? ? ， ? ?4,0,0ΑΒ?? ． 設 ? ?,x y z?n 是平面 ΒCΕ 的法向量，則 00ΕCΕΒ? ????????nn，即 3040xzy? ???????， 所以可取 ? ?3,0, 3??n ． 設 m 是平面 ΑΒCD 的法向量，則 00ΑCΑΒ? ????????mm， 同理可取 ? ?0, 3,4?m ．則 2 1 9c o s ,19?? ? ?nmnm nm． 故二面角 E BC A的余弦值為 2 1919? ． 7.【 2021 高考新課標 2 理數(shù)】如圖，菱形 ABCD 的對角線 AC 與 BD 交于點 O ，5, 6AB AC??，點 ,EF分別在 ,ADCD 上， 54AE CF??， EF 交 BD 于點 H ．將 DEF?沿 EF 折到 DEF?? 位置， 10OD?? ． （ Ⅰ ）證明： DH? ? 平面 ABCD ； （ Ⅱ ）求二面角 B DA C???的正弦值． 【答案】（ Ⅰ ）詳見解析；（ Ⅱ ） 29525 . 【解析】 （ Ⅰ ）由已知得 AC BD? ， AD CD? ，又由 AE CF? 得 AE CFAD CD?，故 AC EF∥ . 因此 EF HD? ，從而 EF DH?? .由 5AB? , 6AC? 得 2204D O B A B A O? ? ? ?. 由 EF AC∥ 得 14OH AEDO AD??.所以 1OH? ， = =3DH DH? . 于是 2 2 2 2 23 1 10D H O H D O??? ? ? ? ?， 故 DH OH? ? . 又 DH EF? ? ，而 OH EF H? ， 所以 D H ABC D? ? 平 面 . （ Ⅱ ）如圖，以 H 為坐標原點， HF 的方向為 x 軸正方向，建立空間直角坐標系 H xyz? ，則 ? ?0,0,0H ， ? ?3, 1,0A ?? ， ? ?0, 5,0B ? ， ? ?3, 1,0C ? ， ? ?0,0,3D? ， (3, 4,0)AB?? ，? ?6,0,0AC? ， ? ?3,1,3AD?? .設 ? ?1 1 1,x y z?m 是平面 ABD? 的法向量，則 00ABAD? ???? ?????mm ，即 111 1 13 4 03 3 0xyx y z???? ? ? ??，所以可取 ? ?4,3, 5??m .設 ? ?2 2 2,x y z?n 是平面 ACD? 的法向量，則 00ACAD? ?????????nn，即 22 2 2603 3 0xx y z??? ? ? ??， 所 以 可 取 ? ?0, 3,1??n . 于是1 4 7 5c o s , 255 0 1 0??? ? ? ? ??mnmn mn， 2 9 5sin , 25? ??mn .因此二面角 B DA C???的正弦值是 29525. 8.【 2021 高考天津理數(shù)】（本小題滿分 13 分）如圖，正方形 ABCD 的中心為 O，四邊形 OBEF為矩形，平面 OBEF⊥ 平面 ABCD，點 G為 AB 的中點， AB=BE=2. （ I）求證： EG∥ 平面 ADF； （ II）求二面角 OEFC的正弦值； （ III）設 H為線段 AF上的點，且 AH=23HF，求直線 BH和平面 CEF所成角的正弦值 . 【答案】（ Ⅰ ）詳見解析（ Ⅱ ） 33 （ Ⅲ ） 721 【解析】依題意， OF ABCD? 平 面 ，如圖，以 O 為點，分別以 ,ADBAOF 的方向為 x 軸，y 軸、 z 軸的正方向建立空間直角坐標系，依題意可得 (0,0,0)O ，? ?1 , 1 , 0 , ( 1 , 1 , 0) , ( 1 , 1 , 0) , ( 1 1 , 0) , (