【正文】 ?，于是2 3s in , 3OA n? ??，所以，二面角O EF C??的正弦值為 33 . 9.【 2021年高考北京理數(shù)】（本小題 14分） 如圖，在四棱錐 P ABCD? 中，平面 PAD? 平面 ABCD ， PA PD? ， PA PD? ， AB AD? ， 1AB? ， 2AD? ， 5AC CD??. （ 1）求證： PD? 平面 PAB ； （ 2）求直線 PB 與平面 PCD 所成角的正弦值； （ 3）在棱 PA 上是否存在點 M ，使得 //BM 平面 PCD ？若存在，求 AMAP 的值；若不存在，說明理由 . 【答案】（ 1）見解析；（ 2） 33 ；（ 3）存在， 14AMAP? 【解析】（ 1）因為平面 PAD? 平面 ABCD ， AB AD? ， 所以 ?AB 平面 PAD ，所以 PDAB? ， 又因為 PDPA? ，所以 ?PD 平面 PAB ； （ 2）取 AD 的中點 O ，連結 PO ， CO ， 因為 PA PD? ，所以 ADPO? . 又因為 ?PO 平面 PAD ，平面 ?PAD 平面 ABCD ， 所以 ?PO 平面 ABCD . 因為 ?CO 平面 ABCD ，所以 ?PO CO . 因為 CDAC? ，所以 ADCO? . 如圖建立空間直角坐標系 xyzO? ，由題意得， )1,0,0(),0,1,0(),0,0,2(),0,1,1(),0,1,0( PDCBA ?. 設平面 PCD 的法向量為 ),( zyxn? ，則 ??????? ?? ,0,0PCn PDn即??? ?? ??? ,02 ,0zx zy 令 2?z ，則 2,1 ??? yx . 所以 )2,2,1( ??n . 又 )1,1,1( ??PB ，所以33,c o s ?????? PBn PBnPBn. 所以直線 PB 與平面 PCD 所成角的正弦值為 33 . 10.【 2021高考浙江理數(shù)】 (本題滿分 15分 )如圖 ,在三棱臺 ABC DEF? 中 ,平面 BCFE? 平面 ABC , =90ACB? ,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3. (I)求證： EF⊥ 平面 ACFD； (II)求二面角 BADF的平面角的余弦值 . 【答案】（ I）證明見解析；（ II） 34 ． 【解析】（ Ⅰ ）延長 AD ， BE ， CF 相交于一點 K ，如圖所示． 因為平面 BCFE? 平面 ABC ，且 AC BC? ，所以 AC? 平面 BCK ，因此 BF AC? ． 又因為 //EF BC ， 1BE EF FC? ? ?， 2BC? ， 所以 BCK△ 為等邊三角形，且 F 為 CK 的中點，則 BF CK? ． 所以 BF? 平面 ACFD ． （ Ⅱ ）方法一：過點 F 作 FQ AK? 于 Q，連結 BQ ． 因為 BF? 平面 ACK ，所以 BF AK? ，則 AK? 平面 BQF ，所以 BQ AK? ． 所以 BQF? 是二面角 B AD F??的平面角． 在 Rt ACK△ 中， 3AC? ， 2CK? ，得 3 1313FQ? ． 在 Rt BQF△ 中， 3 1313FQ? ， 3BF? ，得 3cos 4BQF??． 所以二面角 B AD F??的平面角的余弦值為 34 ． 方法二：如圖，延長 AD ， BE ， CF 相交于一點 K ，則 BCK△ 為等邊三角形． 取 BC 的中點 O ，則 KO BC? ，又平面 BCFE? 平面 ABC ，所以， KO? 平面 ABC ． 以點 O 為原點，分別以射線 OB ， OK 的方向為 x ， z 的正方向，建立空間直角坐標系 Oxyz ． 由題意得 ? ?1,0,0B ， ? ?1,0,0C ? ， (0,0, 3)K ， ? ?1, 3,0A ?? ， 13( ,0, )22E ， 13F( ,0, )22? ． 因此， ? ?0,3,0AC? ， ? ?1,3, 3AK ? ， ? ?2,3,0AB? ． 設平面 ACK 的法向量為 ? ?1 1 1,x y z?m ，平面 ABK 的法向量為 ? ?2 2 2,x y z?n ． 由 00ACAK? ????????mm，得 11 1 1303 3 0yx y z????? ? ???，取 ? ?3,0, 1??m ； 由 00ABAK? ????????nn，得 222 2 22 3 03 3 0xyx y z?????? ? ???，取 ? ?3, 2, 3??n ． 于是， 3c o s ,4????mnmn mn． 所以，二面角 B AD F??的平面角的余弦值為 34 ． 易錯起源 利用向量證明平行與垂直 例 如圖，在直三棱柱 ADE— BCF中，面 ABFE和面 ABCD都是正方形且互相垂直，點 M為 AB的中點，點 O為 DF的中點．運用向量方法證明： (1)OM∥ 平面 BCF； (2)平面 MDF⊥ 平面 EFCD. 證明 方法一 由題意，得 AB， AD， AE兩兩垂直，以點 A為原點建立如圖所示的空間直角坐標系． 設正方形邊長為 1，則 A(0,0,0)， B(1， 0,0)， C(1,1,0)， D(0,1,0)， F(1,0,1)， M??? ???12， 0， 0 ，O??? ???12， 12， 12 . (1)OM→ ＝ ??? ???0，－ 12，－ 12 ， BA→ ＝ (－ 1,0,0)， ∴ OM→ FC→ ＝ ??? ???－ 12BC→ － 12BF→ PC→ ＝ 0， m b||a||b|＝ |a1a2＋ b1b2＋ c1c2|a21＋ b21＋ c21 a22＋ b22＋ c22. (2)線面夾角 設直線 l與平面 α 的夾角為 θ (0≤ θ ≤ π2 )， 則 sinθ ＝ |a PD→ ＝ 0，n1| AM→ |＝1252 2＝ 1010 . 所以異面直線 NE與 AM所成角的余弦值為 1010 . (2)假設在線段 AN上存在點 S，使得 ES⊥ 平面 AMN，連接 AE. 因為 AN→ ＝ (0,1,1)， 可設 AS→ ＝ λ AN→ ＝ (0， λ ， λ )， λ ∈[0,1] ， 又 EA→ ＝ (12，－ 1,0)， 所以 ES→ ＝ EA→ ＋ AS→ ＝ (12， λ － 1， λ )． 由 ES⊥ 平面 AMN， 得????? ES→ A1B→ ＝ 0，n1 DC→ ＝ (0,2,0) DM→ ＝ 0. 得????? x1－ y1＋ z1＝ 0，12x1－ y1＝ 0， 令 x1＝ 1，則 n1＝ ??? ???1， 12，－ 12 . 同理可得 n2＝ (0,1,1)． ∵ n1 n2＝ 0， ∴ 平面 MDF⊥ 平面 EFCD. 方法二 (1)OM→ ＝ OF→ ＋ FB→ ＋ BM→ ＝ 12DF→ － BF→ ＋ 12BA→ ＝ 12(DB→ ＋ BF→ )－ BF→ ＋ 12BA→ ＝－ 12BD→ － 12BF→ ＋ 12BA→ ＝－ 12(BC→ ＋ BA→ )－ 12BF→ ＋ 12BA→ ＝－ 12BC→ － 12BF→ . ∴ 向量 OM→ 與向量 BF→ ， BC→ 共面， 又 OM?平面 BCF， ∴ OM∥ 平面 BCF. (2)由題意知， BF， BC， BA 兩兩垂直， ∵ CD→ ＝ BA→ ， FC→ ＝ BC→ － BF→ ， ∴ OM→ (1,0,