高二數(shù)學(xué)隨機(jī)變量及其分布列-免費(fèi)閱讀
【正文】 14 p ＝716，即 3 p ＝ 1 ，則 p ＝13， ∴ p 的值為13. ( 2 ) ξ 可能的取值為 0 , 1 , 2 , 3 ， P ( ξ ＝ 0) ＝34 [1 － P ( B )] A ) ＝ (13)3＝127. 故 ξ 的分布列為 ξ 0 1 2 3 P 1427 1027 227 127 數(shù)學(xué)期望 Eξ ＝ 0 1427＋ 1 1027＋ 2 227＋ 3 127＝1727. 題型三 隨機(jī)變量及分布列的綜合應(yīng)用 例 3 在某學(xué)校組織的一次籃球定點(diǎn)投籃訓(xùn)練中，規(guī)定每人最多投 3 次；在 A 處每投進(jìn)一球得 3 分，在 B 處每投進(jìn)一球得 2 分；如果前兩次得分之和超過 3 分即停止投籃，否則投第三次．某同學(xué)在 A 處的命中率q1為 0 . 2 5 ，在 B 處的命中率為 q2.該同學(xué)選擇先 在 A處投一球，以后都在 B 處投，用 ξ 表示該同學(xué)投籃訓(xùn)練結(jié)束后所得的總分，其分布列為 ξ 0 2 3 4 5 P 0 . 0 3 p1 p2 p3 p4 ( 1 ) 求 q2的值； ( 2 ) 求隨機(jī)變量 ξ 的數(shù)學(xué)期望 Eξ ； ( 3 ) 試比較該同學(xué)選擇都在 B 處投籃得分超過 3 分與選擇上述方式投籃得分超過 3 分的概率的大小． 思維啟迪 ( 1) ξ ＝ 0 對應(yīng)的事件是在三次投籃中沒有一次投中． ( 2) 類似地找清 ξ 為 2,3,4,5 對應(yīng)的事件． 解 (1 ) 由題設(shè)知， “ ξ ＝ 0 ” 對應(yīng)的事件為 “ 在三次投籃中沒有一次投中 ” ，由對立事件和相互獨(dú)立事件性質(zhì)可知 P ( ξ ＝ 0) ＝ (1 － q1)( 1 － q2)2＝ ，解得 q2＝ . (2) 根據(jù)題意 p1＝ P ( ξ ＝ 2) ＝ (1 － q1)C12(1 － q2) q2＝ 2 ＝ ， p2＝ P ( ξ ＝ 3) ＝ q1(1 － q2)2＝ (1 － )2＝ ， p3＝ P ( ξ ＝ 4) ＝ (1 － q1) q22＝ 2＝ ， p4＝ P ( ξ ＝ 5) ＝ q1q2＋ q1(1 － q2) q2 ＝ ＋ ＝ . 因此 Eξ ＝ 0 3 ＋ 2 ＋ 3 ＋ 4 ＋5 ＝ . ( 3 ) 用 C 表示事件 “ 該同學(xué)選擇第一次在 A 處投，以后都在 B 處投，得分超過 3 分 ” ，用 D 表示事件 “ 該同學(xué)選擇都在 B 處投，得分超過 3 分 ” ，則 P ( C ) ＝ P ( ξ ＝ 4) ＋ P ( ξ ＝ 5) ＝ P3＋ P4＝ 0 . 4 8 ＋ 0 . 2 4 ＝ 0 . 7 2 . P ( D ) ＝ q22＋ C12q2(1 － q2) q2＝ 0 . 82＋ 2 0 . 8 0 . 2 0 . 8 ＝0 . 8 9 6 . 故 P ( D ) P ( C ) ． 即該同學(xué)選擇都在 B 處投 籃得分超過 3 分的概率大于該同學(xué)選擇第一次在 A 處投以后都在 B 處投得分超過 3分的概率． 探究提高 ( 1 ) 要讀懂分布列、用好分布列的性質(zhì)． ( 2 )當(dāng)一個(gè)事件的概率比較難求時(shí)，可考慮事件的對立事件． 變式訓(xùn)練 3 某中學(xué)組建了 A 、 B 、 C 、 D 、 E 五個(gè)不同的社團(tuán)組織，為培養(yǎng)學(xué)生的興趣愛好，要求每個(gè)學(xué)生必須參加，且只能參加一個(gè)社團(tuán)．假定某班級的甲、乙、丙三名學(xué)生對這五個(gè)社團(tuán)的選擇是等可能的． ( 1 ) 求甲、乙、丙三名學(xué)生參加五個(gè)社團(tuán)的所有選法種數(shù)； ( 2 ) 求甲、乙、丙三人中至少有兩人參加同一社團(tuán)的概率； ( 3 ) 設(shè)隨機(jī)變量 ξ 為甲、乙、丙這三個(gè)學(xué)生參加 A 社團(tuán)的人數(shù)，求 ξ 的分布列與數(shù)學(xué)期望． 解 ( 1) 甲、乙、丙三名學(xué)生每人選擇五個(gè)社團(tuán)的方法數(shù)是 5種， 故共有 5 5 5 ＝ 125( 種 ) ． ( 2) 三名學(xué)生選擇三個(gè)不同社團(tuán)的概率是A3553 ＝1225. ∴ 三名學(xué)生中至少有兩人選擇同一個(gè)社團(tuán)的概率為 1 －1225＝1325. ( 3 ) 由題意 ξ ＝ 0 , 1 , 2 , 3 . P ( ξ ＝ 0) ＝4353 ＝641 2 5； P ( ξ ＝ 1) ＝C13 B A4＋ B3 A5， 由于各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，故 P ( B ) ＝ P ( A3 B ) ＝ P ( A ) p1＋ ( x2－ Eξ )2 A4 A5) ＝ P ( A3) P ( A4) ＋ P ( B3) P ( A4) P ( A5) ＋ P ( A3) B A C ) ＝ P ( A )1414 ( B1) ＝3423＝12. ( 2 ) ξ 的可能取值為 2 , 3 , 4 . 則 P ( ξ ＝ 2) ＝3423＋1414＝2748＝916， P ( ξ ＝ 3) ＝341323＋143423＋341313 ＝1848＝38， P ( ξ ＝ 4) ＝14341323＋14341313 ＝348＝116. 所以，隨機(jī)變量 ξ 的分布列為 ξ 2 3 4 P 2748 1848 348 所以 Eξ ＝ 2 2748＋ 3 18
環(huán)評公示相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1