【正文】 歲月是有情的，假如你奉獻(xiàn)給她的是一些色彩，它奉獻(xiàn)給你的也是一些色彩。解：（I）設(shè) {}na的公比為 q 由已知得 3162?，解得 2? （Ⅱ）由（I）得 8， 5a，則 38b， 52? 設(shè) {}nb的公差為 d，則有 14d????解得 16???? 從而 162()28nn????. .. . ..學(xué)習(xí)參考 所以數(shù)列 {}nb的前 項(xiàng)和 2(1628)6nnSn?????30.（2022 重慶） （本小題滿分 12分， （Ⅰ）問(wèn) 3分， （Ⅱ）問(wèn) 4分， （Ⅲ）問(wèn) 5分）已知 11221,4,nnnaaabN?????．（Ⅰ）求 123,b的值；. （Ⅱ）設(shè) 1,nncS??為數(shù)列 ??nc的前 項(xiàng)和，求證： 17nS?；（Ⅲ）求證： 22647??A．解：（Ⅰ） ?3,aa?，所以 1234.,17bb?（Ⅱ）由 21nn??得 211nn??即 n所以當(dāng) ≥ 時(shí)， 4nb?于是 21,7,47(2)ncbcbn????≥所以 127nSc??? （Ⅲ）當(dāng) 時(shí)，結(jié)論 2146??成立當(dāng) 2n≥ 時(shí)，有 11 11| ||||7nn nnbb bb?? ????≤1222 12||||()7764n n???? A≤ ≤ ≤ ≥所以 1 1nnbb????≤ 112 *2())7()()() ()477464nnnnn nN??? ??????????? AA . 1. 若不給自己設(shè)限，則人生中就沒(méi)有限制你發(fā)揮的藩籬。設(shè) ns= 1ab+ 2…..+ nab,nT= 1ab 2+…..+(1 1)n? ab,n?N? (I) 若 = 1= 1，d=2，q=3 ，求 3S 的值；(II) 若 1b=1，證明（1q） 2n（1+q） 2nT=2(1)ndq?，n ?N?； . .. . ..學(xué)習(xí)參考(Ⅲ) 若正數(shù) n滿足 2?n q，設(shè) 1212,.,.nnkll和 是 ， ， ， 的兩個(gè)不同的排列， ??， ?? 證明 c?。請(qǐng)以其中一組的一個(gè)論斷條件，另一組中的一個(gè)論斷為結(jié)論組成一個(gè)命題判斷所給命題的真假，并證明你的結(jié)論；（2） 設(shè) nS是數(shù)列 ??nx的前 項(xiàng)和，給出下列兩組論斷；A組：①數(shù)列 是 B數(shù)列 ②數(shù)列 ??nx不是 B數(shù)列B組：③數(shù)列 n是 B數(shù)列 ④數(shù)列 S不是 B數(shù)列請(qǐng)以其中一組中的一個(gè)論斷為條件，另一組中的一個(gè)論斷為結(jié)論組成一個(gè)命題。（2）解由（1）知 11(),nnna??當(dāng) n?時(shí)， 2321(()naa???? 21()()2n?????1()2n???21[()]n??15(),n?當(dāng) 1n時(shí)， 115()3a?。（Ⅱ）設(shè) nS是數(shù)列 {}nx的前 ：A組：①數(shù)列 是 B數(shù)列, ②數(shù)列 {}nx不是 B數(shù)列。（2）假設(shè) k??時(shí) 12(21)42(1)(2)(1)kkkk??????g所以當(dāng) n時(shí)猜想也成立綜合（1） （2）可知 ，對(duì)一切 3n?的正整數(shù)，都有 .n?證法 2：當(dāng) 3?時(shí)012101() 21nn nnn nCCCn??????????K綜上所述，當(dāng) ,時(shí) 5T?，當(dāng) 3?時(shí) 52T?18.（2022 四川） （本小題滿分 14分）設(shè)數(shù)列 ??na的前 項(xiàng)和為 nS，對(duì)任意的正整數(shù) n，都有 1naS??成立，記 *4()1nnabN????。na . （2）證明：對(duì)任意 a，存在與 有關(guān)的常數(shù) ?，使得對(duì)于每個(gè)正整數(shù) n，都有 ??解：（1）由 ()1()1pqmna???得121.()()nna??將 24,5?代入化簡(jiǎn)得. ??. .. . ..學(xué)習(xí)參考所以 11,3nna????? . 故數(shù)列 {}n為等比數(shù)列，從而1,3na???即 1.n??可驗(yàn)證， 1n滿足題設(shè)條件.(2) 由題設(shè) ()mna?的值僅與 n?有關(guān),記為 ,mnb?則 11 .()()1nnaa???? . 考察函數(shù) (0)(1)xfxa??,則在定義域上有. ,(),12,01fxgaa??????????故對(duì) *nN?， ()nbga??恒成立. . 又 22(1)nn?,注意到 0ga??,解上式得 1()2()1()2()() ,12ngaga???????取 ()()ga??,即有 .n?. . 16.（2022 天津） （本小題滿分 12分）已知等差數(shù)列 }{n的公差 d不為 0，設(shè) 121???nnqaaS?*121 ,)(NqaqaTnn ???????（Ⅰ）若 5,31? ,求數(shù)列 }{n的通項(xiàng)公式；. .. . ..學(xué)習(xí)參考（Ⅱ）若 3211,Sda且?成等比數(shù)列，求 q的值。,.n naNaN?????????綜合所述，對(duì)一切 nN??都有 1a?的充要條件是 0?或 13。??，令 0)(39。46nb???? . 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 12121（1）設(shè)公差為 d，則 2543??，由性質(zhì)得 4343()()daa???，因?yàn)?0d?，所以 430a??，即 10a?，又由 7S得 1672?，解得 15?， 2?,(2) （方法一）12ma?= ()253?,設(shè) 3mt??， 則 12ma?= (4)86tt??, 所以 t為 8的約數(shù). .. . ..學(xué)習(xí)參考（方法二）因?yàn)?12222 2(4)()86mmmaaa????????為數(shù)列 ??n中的項(xiàng)，故 m+28 a為整數(shù)，又由（1）知： 2?為奇數(shù)，所以 31,2m??即經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意的正整數(shù)只有 ?。18.(2022湖南)將正⊿ABC 分割成 n（ ≥2，n∈N）個(gè)全等的小正三角形（圖 2，圖 3分別給出了 n=2,3的情形） ，在每個(gè)三角形的頂點(diǎn)各放置一個(gè)數(shù)，使位于⊿ABC 的三遍及平行于某邊的任一直線上的數(shù)（當(dāng)數(shù)的個(gè)數(shù)不少于 3時(shí)）都分別一次成等差數(shù)列，若頂點(diǎn) A ,B ,C處的三個(gè)數(shù)互不相同且和為 1,記所有頂點(diǎn)上的數(shù)之和為 f(n)，則有 f(2)=2，f(3)= 103，…，f(n)= 16(n+1)(n+2) . 【答案】： 10,()236n??【解析】當(dāng) n=3時(shí)，如圖所示分別設(shè)各頂點(diǎn)的數(shù)用小寫(xiě)字母表示，即由條件知121212,abcxabycza????12 212()xyzgxyzy???12126gc . 即 12120(3) 3fabcxyz??而進(jìn)一步可求得 45。 ??na有連續(xù)四項(xiàng)在集合 ?4,1,3?，四項(xiàng) 24,365,81?成等比數(shù)列，公比為 32q??， 6= 98.(2022山東)在等差數(shù)列 }{na中, ,7253??a,則 _6?.【解析】:設(shè)等差數(shù)列 n的公差為 d,則由已知得 ????4711da解得 132a????,所以6153ad??. 答案:13.【命題立意】:本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及基本計(jì)算.9.（2022 全國(guó)卷Ⅱ）設(shè)等比數(shù)列{ na}的前 n項(xiàng)和為 ns。 9=2 25， =1，則 1a= A. 2 B. C. 2 【答案】B【解析】設(shè)公比為 q,由已知得 ??228411aqaq??,即 ?,又因?yàn)榈缺葦?shù)列 }{na的公比為正數(shù)，所以 2q?,故 21a?,選 B3.（2022 福建）等差數(shù)列 {}n的前 n項(xiàng)和為 nS，且 3 =6， 1a=4， 則公差 d等于A．1 B 53 2 D 3【答案】：C[解析]∵ 3136()2Sa??且 11 =4 d2a???.故選 C . 4.（2022 安徽）已知 為等差數(shù)列， ，則 等于（ ）A. 1 B. 1 C. 3 【解析】∵ 1350a??即 105a∴ 3?同理可得 43a?∴公差 432da??∴204()d???.選 B。14.（2022 重慶）設(shè) ??na是公差不為 0的等差數(shù)列， 1a?且 136,a成等比數(shù)列，則 ??na的前 項(xiàng)和nS=（ ） A．274? B．253? C．234n?D． 2n?【答案】A解析設(shè)數(shù)列 {}na的公差為 d，則根據(jù)題意得 (2)(5)dd??，解得 12?或 0d（舍去） ，所以數(shù)列 n的前 項(xiàng)和 174nnS?????15.（2022 安徽）已知 ??a為等差數(shù)列， 1a+ 3+ 5=105， 246a=99，以 nS表示 ??na的前 項(xiàng)和，則使得 nS達(dá)到最大值的 是 （A）21 （B）20 （C）19 （D） 18 [解析]：由 1+ 3+ 5=105得 30,?即 3，由 246?=99得 439?即 43 ，∴2d??， 4()241nan????，由 10na??????得 ?，選 B16.（2022 江西）數(shù)列 {}n的通項(xiàng) 22(cosi)3na??，其前 n項(xiàng)和為 nS，則 30為A． 470 B． 490 C． 495 D． 510答案：A【解析】由于 22{cosin}3??以 3 為周期,故2 222 23014589()(6)(30)S???????221 103151[()][]547k kk? ???????故選 A17.（2022 四川）等差數(shù)列｛ na｝的公差不為零，首項(xiàng) 1a＝1， 2是 1和 5a的等比中項(xiàng)，則數(shù)列的前 10項(xiàng)之和是 A. 90 B. 100 C. 145 D. 190 . 【答案】B. .. . ..學(xué)習(xí)參考【解析】設(shè)公差為 d，則 )41()(2d???.∵ ≠0，解得 d＝2，∴ 10S＝100二、填空題1.（2022 全國(guó)卷Ⅰ） 設(shè)等差數(shù)列 ??na的前 項(xiàng)和為 nS，若 97?,則 249a?= 。（2）若 1a?為奇數(shù)，則 213am?為偶數(shù)，故 312ma??必為偶數(shù)63?，所以 36=1可得 m=512.（2022 全國(guó)卷Ⅱ）設(shè)等差數(shù)列 ??na的前 項(xiàng)和為 nS，若 53a則 95S 9 . 解： ??na?為等差數(shù)列， 953S??13.（2022 遼寧）等差數(shù)列 ??na的前 項(xiàng)和為 nS，且 536,S??則 4a 【解析】∵S n＝na 1＋ 2n(n－1)d . ∴S 5＝5a 1＋10d,S 3＝3a 1＋3d ∴6S 5－5S 3＝30a 1＋60d－(15a 1＋15d)＝15a 1＋45d＝15(a 1＋3d)＝15a 4【答案】 3114.（2022 寧夏海南）等差數(shù)列{ na}前 n項(xiàng)和為 nS。（1）求數(shù)列 n的通項(xiàng)公式及前 項(xiàng)和 ； （2）試求所有的正整數(shù) m，使得 12ma?為數(shù)列 ??n中的項(xiàng)。 根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，對(duì)任何 nN??， na都是奇數(shù)。13.（2022 安徽）（本小題滿分 12分）. .. . ..學(xué)習(xí)參考已知數(shù)列{ } 的前 n項(xiàng)和 ，數(shù)列{ }的前 n項(xiàng)和（Ⅰ）求數(shù)列{ }與{ }的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè) ，證明：當(dāng)且僅當(dāng) n≥3 時(shí)， ＜ . 【思路】由 1 (1) 2nas???????可求出 nab和，這是數(shù)列中求通項(xiàng)的常用方法之一，在求出 nab和后，進(jìn)而得到 c，接下來(lái)用作差法來(lái)比較大小，這也是一常用方法。21。具有讓考生和一線教師重視教材和基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法基本技能,重視兩綱的導(dǎo)向作用。事實(shí)上，因?yàn)閿?shù)列 {}S是 B數(shù)列，所以存在正數(shù) M，對(duì)任意的 *nN?，有 1121|||||nnSS?????? , 即 2|||xx? .于是 121nnxxx????112nn?????,.