【正文】 只有你自己才能把歲月描畫成一幅難以忘懷的人生畫卷。努力過后，才知道許多事情，堅(jiān)持堅(jiān)持，就過來(lái)了。在紛雜的塵世里，為自己留下一片純靜的心靈空間，不管是潮起潮落，也不管是陰晴圓缺，你都可以免去浮躁，義無(wú)反顧，勇往直前，輕松自如地走好人生路上的每一步 3. 花一些時(shí)間，總會(huì)看清一些事。解：（Ⅰ）當(dāng) 1n?時(shí)， 115,4aa????又 5,na?Q114nn???即數(shù)列 ??成等比數(shù)列，其首項(xiàng) 1a??，公比是 14q??. .. . ..學(xué)習(xí)參考1()4nna???1()nnb?……………………………………..3分（Ⅱ）由（Ⅰ）知 54()1nnb??? . 21221256()14nnnnnc??????? = 225656()34)(nnnn???? 又 121,bc??當(dāng) 1nT?時(shí) ，當(dāng) 23415()366n n????K時(shí) ， 21[]469315..7348????????分 （Ⅲ）由（Ⅰ）知 ()1nnb一方面，已知 nR??恒成立，取 n為大于 1的奇數(shù)時(shí)，設(shè) *21()nkN???則 1221nkb??K 32145( )414k????K 12 21[()()]k?? n4,41Rn????????即 （ ）對(duì)一切大于 1的奇數(shù) n恒成立,否 則 ， （ ）只對(duì)滿足 4??的正奇數(shù) n成立，矛盾。（Ⅰ）解：由題設(shè)，可得 1*2,3,nnabN???所以， 312359Sb????? （Ⅱ）證明：由題設(shè)可得 1nq?則222123.,n naa ①314222.()nnTSqq???? ②① 式減去②式，得 ① 式加上②式，得 222131(.)nnSTaqaq???? ③② 式兩邊同乘 q，得 32121()(.)nn ?所以， 2222(1)()()()nnnnqSTSqST???? 312*(1),ndNq??K (Ⅲ)證明： 1212()()()nklklklncababab???? 111ddq??K因?yàn)?10,db?所以 1212()()()nckllqklq?????（1） 若 nkl?，取 i=n （2） 若 ?，取 i滿足 ikl?且 ,1jlijn???. .. . ..學(xué)習(xí)參考由（1）,(2)及題設(shè)知， 1in??且 212211()()()()iiiiickllqklqkldb ???????K① 當(dāng) il?時(shí)，得 , , ilnlii???由 ， 得即 1kq??， 2()(1)kq??…， 21()(1)iiiikq??又 1(),iiil所以 12112()1()()iiicqqqdb q?????K因此 12120,c??即② 當(dāng) ikl?同理可得 1db??，因此 12c? 綜上， 12c?28.（2022 四川） （本小題滿分 14分）設(shè)數(shù)列 ??na的前 項(xiàng)和為 nS，對(duì)任意的正整數(shù) n，都有 51naS??成立，記 *4()1nnabN????。于是 ?? 12nxxMx????所以數(shù)列 ??是 B數(shù)列。解（1）設(shè)滿足題設(shè)的等比數(shù)列為 n,則 1q??，于是 212,nnq????因此｜ 1a? n｜+｜ na 1?｜+…+｜ 2a 1｜= 21(.).nqq??因?yàn)?,q?所以 2. ,nqq??即 ? ??? 故首項(xiàng)為 1，公比為 q()?的等比數(shù)列是 B數(shù)列。 …………………………………8 分（III）由 54()1nnb???得 21221 22516156156()4()34()nnnnnnnnc???????????又12234,bc???， 當(dāng) n時(shí)， 1T?，當(dāng) ?時(shí)，. .. . ..學(xué)習(xí)參考2223 21[()]411465()53663931486nn nT ????????????? …………………………………14分25.（2022 湖北） （本小題滿分 12分） 已知{a n}是一個(gè)公差大于 0的等差數(shù)列，且滿足 a3a6＝55, a 2+a7＝16.(Ⅰ)求數(shù)列{a n}的通項(xiàng)公式：（Ⅱ）若數(shù)列{a n}和數(shù)列{b n}滿足等式：a n＝ ＝ )( 正 整 數(shù)bb?，求數(shù)列{b n}的前 n項(xiàng)和 Sn 解（1）解：設(shè)等差數(shù)列 ??n的公差為 d，則依題設(shè) d0 由 a2+a7＝ 176ad?? ①由 365,??得 1(2)5 ②由①得 1?將其代入②得 (3)1620d???。23.(2022陜西)（本小題滿分 12分） 已知數(shù)列 ?}nx滿足， *11,2nnxN??＋’＝ ＝ .???猜想數(shù)列 {n的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；(Ⅱ)證明： 11|()65nx??|≤ 。（注：按題中要求組成其它命題解答時(shí)，仿上述解法） (Ⅲ)若數(shù)列 ??na是 B數(shù)列，則存在正數(shù) M，對(duì)任意的 ,nN??有 1121na????? .因?yàn)?21nna???? 12 1na a????? .記 KM?，則有 11()()nnna????? 1()2K.因此 2221 ???.故數(shù)列 ??是 B數(shù)列. 21.（2022 遼寧） （本小題滿分 10分）等比數(shù)列{ na}的前 n 項(xiàng)和為 ns，已知 1S, 3, 2成等差數(shù)列 （1）求{ }的公比 q； （2）求 1－ 3＝3，求 ns 解：（Ⅰ）依題意有 )(2)( 21111 qaqa??? 由于 0?，故 2 又 q，從而 21－? 5分 （Ⅱ）由已知可得 31?）（a 故 41 從而 ））（（）（ ））（（ nnn 213821????S 10分. .. . ..學(xué)習(xí)參考22.（2022 陜西） （本小題滿分 12分）已知數(shù)列 ?}na滿足， *112,2naaN???’＋＝ ＝ .???令 1b???，證明： {}nb是等比數(shù)列； (Ⅱ)求 }n的通項(xiàng)公式。解: （Ⅰ）設(shè)滿足題設(shè)的等比數(shù)列為 ,則 1()n??.于是1221 3()(),.2nnnna?????? 1121|||||nnaa???? = 2n32???????? （ ） （ ） = n33.?????????（ ）所以首項(xiàng)為 1，公比為 ?的等比數(shù)列是 B數(shù)列 .（Ⅱ）命題 1：若數(shù)列 {}nx是 B數(shù)列，則數(shù)列 {}nS是 .事實(shí)上設(shè) n=1， *N?，易知數(shù)列 x是 B數(shù)列，但 n=n， 1121|||||nnSS?????? .由 n的任意性知，數(shù)列 {}不是 B數(shù)列。也可看出命題人在有意識(shí)降低難度和求變的良苦用心。證明：由（I）知14()5(4)1????n nnb 21212520226408888.(4)()64()?? ?????????? kkkkkkb∴當(dāng) n為偶數(shù)時(shí)，設(shè) nmN??? ∴ 123421()()()8mRbbbn?????當(dāng) n為奇數(shù)時(shí)，設(shè) ?∴ 12342321()()()()48mmmn????????∴對(duì)于一切的正整數(shù) n，都有 nRk? ∴不存在正整數(shù) k，使得 ?成立。2。17.(2022湖北)（本小題滿分 13分） （注意：在試題卷上作答無(wú)效）已知數(shù)列 ??na的前 n項(xiàng)和 1()2nnSa???（n 為正整數(shù)） ?！窘馕觥?1)由于 14as?當(dāng) 2n?時(shí), 22()[(1)()]4nnnn??????*()maN??又當(dāng) x時(shí) 16mbTb1nb?數(shù)列 ??n項(xiàng)與等比數(shù)列,其首項(xiàng)為 1,公比為 2()? . (2)由(1)知 22116()nnCab???? 2(1)26)nC???????由21()n??得即 202?即 3n?又 3?時(shí) 2()1成立,即 1nC??由于 n恒成立. . 因此,當(dāng)且僅當(dāng) n時(shí), 1n?14.（2022 江西） （本小題滿分 12分）數(shù)列 {}na的通項(xiàng) 22(cosi)3n???，其前 n項(xiàng)和為 nS. (1) 求 S。221111 ()(),nnnnn aa?????? 因?yàn)?1130,4na???所以所有的 n均大于 0，因此 1na?與 1na?同號(hào)。（II） （方法一）由 1(1)34a????知， 1na??當(dāng)且僅當(dāng) 1na?或 3n?。?f，則函數(shù) )(f在 4,0?上單調(diào)遞減，∴. .. . ..學(xué)習(xí)參考0)(??fxf，即 xsin2?在 )4,0(?恒成立，又 43120?????n，則有 1i12??n，即 nnyxsi?. . 12.（2022 安徽） （本小題滿分 13分）首項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列 ??na滿足 21(3),.4nnaN???? （I）證明：若 1為奇數(shù)，則對(duì)一切 ?都是奇數(shù)；（II）若對(duì)一切 N??都有 1n?，求 1的取值范圍.解：本小題主要考查數(shù)列、數(shù)學(xué)歸納法和不等式的有關(guān)知識(shí)，考查推理論證、抽象概括、運(yùn)算求解和探究能力，考查學(xué)生是否具有審慎思維的習(xí)慣和一定的數(shù)學(xué)視野。kk k?????2223()4()()1()()14()k???????所以當(dāng) 1n??時(shí),不等式也成立 . . 由①、②可得不等式恒成立.【命題立意】:本題主要考查了等比數(shù)列的定義,通項(xiàng)公式,以及已知 nS求 a的基本題型,并運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的命題,以及放縮法證明不等式.9.(2022山東)（本小題滿分 12分）等比數(shù)列{ na}的前 n項(xiàng)和為 nS， 已知對(duì)任意的 nN?? ，點(diǎn) (,)nS，均在函數(shù) (0xybr???且. .. . ..學(xué)習(xí)參考1,br?均為常數(shù))的圖像上. （1）求 r的值； （11）當(dāng) b=2時(shí)，記 1()4nbNa??? 求數(shù)列 {}nb的前 項(xiàng)和 nT解:因?yàn)閷?duì)任意的 ?,點(diǎn) nS，均在函數(shù) (0xyr??且 1,br?均為常數(shù))??,當(dāng) 1時(shí), 1aSbr?, 當(dāng) 2n?時(shí), 111()()nnnnnbrb??????,又因?yàn)閧 }為等比數(shù)列 , 所以 r, 公比為 , 所以 1nnab?（2）當(dāng) b=2時(shí)， 1()2nnab??, 142nnb????則 2341n nT??? 521n??? 相減,得 234512n n?? 12()1n????1234n??所以 11332nnnT????【命題立意】:本題主要考查了等比數(shù)列的定義,通項(xiàng)公式,以及已知 nS求 a的基本題型,并運(yùn)用錯(cuò)位相減法求出一等比數(shù)列與一等差數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)乘積所得新數(shù)列的前 項(xiàng)和 T.10.（2022 全國(guó)卷Ⅱ文） （本小題滿分 1