【正文】 ①求 ；②求證：數(shù)列{a n}是等比數(shù)列；③是否存在常數(shù)a，使得對都成立？ 若存在，求出a，若不存在，說明理由。4. 設(shè)f(x)是定義在[0, 1]上的函數(shù)，若存在x*∈(0，1)，使得f(x)在[0, x*]上單調(diào)遞增，在[x*，1]上單調(diào)遞減，則稱f(x)為[0, 1]上的單峰函數(shù)，x*為峰點，包含峰點的區(qū)間為含峰區(qū)間． 對任意的[0，l]上的單峰函數(shù)f(x)，下面研究縮短其含峰區(qū)間長度的方法．（I）證明：對任意的x1，x2∈(0，1)，x1＜x2，若f(x1)≥f(x2)，則(0，x2)為含峰區(qū)間；若f(x1)≤f(x2)，則(x*，1)為含峰區(qū)間；（II）對給定的r（0＜r＜），證明：存在x1，x2∈(0，1)，滿足x2－x1≥2r，使得由（I）所確定的含峰區(qū)間的長度不大于 ＋r；（III）選取x1，x2∈(0, 1)，x1＜x2，由（I）可確定含峰區(qū)間為(0，x2)或(x1，1)，在所得的含峰區(qū)間內(nèi)選取x3，由x3與x1或x3與x2類似地可確定一個新的含峰區(qū)間．在第一次確定的含峰區(qū)間為(0，x2)的情況下，試確定x1，x2，x3的值，.（區(qū)間長度等于區(qū)間的右端點與左端點之差）分析：本題考查函數(shù)的定義、單調(diào)性及不等式等基礎(chǔ)知識，及理解分析問題、解決問題的探索創(chuàng)新的能力 分類討論思想方法答案：（I）證明：設(shè)x*為f(x) 的峰點，則由單峰函數(shù)定義可知，f(x)在[0, x*]上單調(diào)遞增，在[x*, 1]上單調(diào)遞減． 當f(x1)≥f(x2)時，假設(shè)x*(0, x2)，則x1x2x*，從而f(x*)≥f(x2)f(x1)， 這與f(x1)≥f(x2)矛盾，所以x*∈(0, x2)，即(0, x2)是含峰區(qū)間. 當f(x1)≤f(x2)時，假設(shè)x*( x2, 1)，則x*≤x1x2，從而f(x*)≥f(x1)f(x2)， 這與f(x1)≤f(x2)矛盾，所以x*∈(x1, 1)，即(x1, 1)是含峰區(qū)間.（II）證明：由（I）的結(jié)論可知： 當f(x1)≥f(x2)時，含峰區(qū)間的長度為l1＝x2； 當f(x1)≤f(x2)時，含峰區(qū)間的長度為l2=1－x1； 對于上述兩種情況，由題意得 ① 由①得 1＋x2－x1≤1+2r，即x1－x1≤2r. 又因為x2－x1≥2r，所以x2－x1=2r, ② 將②代入①得 x1≤－r, x2≥－r， ③ 由①和③解得 x1＝－r， x2＝＋r． 所以這時含峰區(qū)間的長度l1＝l1＝＋r，即存在x1，＋r．（III）解：對先選擇的x1；x2，x1x2，由（II）可知 x1＋x2＝l， ④ 在第一次確定的含峰區(qū)間為(0, x2)的情況下，x3的取值應(yīng)滿足 x3＋x1＝x2， ⑤ 由④與⑤可得, 當x1x3時，含峰區(qū)間的長度為x1． 由條件x1－x3≥，得x1－(1－2x1)≥，從而x1≥． 因此，只要取x1＝，x2＝，x3=．1．設(shè)函數(shù)，其中，記函數(shù)的最大值與最小值的差為。函數(shù)與方程思想，以方程的意識解決平面解析幾何問題解：（Ⅰ）解法一：易知所以，設(shè)，則因為，故當，即點為橢圓短軸端點時，有最小值當，即點為橢圓長軸端點時，有最大值解法二：易知，所以，設(shè)，則（以下同解法一）（Ⅱ）顯然直線不滿足題設(shè)條件，可設(shè)直線，聯(lián)立，消去，整理得：∴由得：或又∴又∵，即 ∴PBQMFOAxy故由①、②得或2．Oyx1lF（07福建）如圖，已知點，直線，為平面上的動點，過作直線的垂線，垂足為點，且．（Ⅰ）求動點的軌跡的方程；（Ⅱ）過點的直線交軌跡于兩點，交直線于點，已知，求的值；分析：本小題主要考查直線、拋物線、向量等基礎(chǔ)知識，考查軌跡方程的求法以及研究曲線幾何特征的基本方法，考查運算能力和綜合解題能力． 函數(shù)與方程的思想， 等價轉(zhuǎn)化思想方法解法一：（Ⅰ）設(shè)點，則，由得：，化簡得．（Ⅱ）設(shè)直線的方程為：．設(shè)，又，聯(lián)立方程組，消去得：，故由，得：，整理得：，．解法二：（Ⅰ）由得：，，．所以點的軌跡是拋物線，由題意，軌跡的方程為：．（Ⅱ）由已知，得．則：．…………①過點分別作準線的垂線，垂足分別為，則有：．…………②由①②得：，即．3．如圖所示，已知圓為圓上一動點，點P在AM上，點N在CM上，且滿足的軌跡為 曲線E. （I）求曲線E的方程； （II）若過定點F（0，2）的直線交曲線E于不同的兩點G、H（點G在點F、H之間）， 且滿足，求的取值范圍. 分析：本小題主要考查直線、圓、橢圓、向量等基礎(chǔ)知識，考查軌跡方程的求法以及研究曲線幾何特征的基本方法，考查運算能力和綜合解題能力． 函數(shù)與方程的思想， 等價轉(zhuǎn)化思想方法解：（I） ∴NP為AM的垂直平分線，∴|NA|=|NM|.又∴動點N的軌跡是以點C（－1，0），A（1，0）為焦點的橢圓.且橢圓長軸長為焦距2c=2. ∴曲線E的方程為（II）當直線GH斜率存在時，設(shè)直線GH方程為得設(shè)，又當直線GH斜率不存在，方程為4. 已知方向向量為v=(1,)的直線l過點（0，－2）和橢圓C：的焦點，且橢圓C的中心關(guān)于直線l的對稱點在橢圓C的右準線上.（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）是否存在過點E（－2，0）的直線m交橢圓C于點M、N，滿足，cot∠MON≠0（O為原點）.若存在，求直線m的方程；若不存在，請說明理由.點評：本小題主要考查直線、橢圓及平面向量的基本知識，平面解析幾何的基本方和綜合解題能力。（2）當時，直線L與軌跡C的兩個交點 分別在上，不妨設(shè)點在上，點上，則④⑤知， 設(shè)直線AF與橢圓的另一交點為E 所以。函數(shù)與方程思想，以方程的意識解決平面解析幾何問題分類討論思想方法 數(shù)形結(jié)合思想方法解：（1）設(shè)，則由，且是原點，得，從而，根據(jù)得，即為所求軌跡方程。函數(shù)與方程思想，以方程的意識解決平面解析幾何問題等價轉(zhuǎn)化的思想方法解：⑴過P作直線x=，x=1為準線的拋物線,；依題意知圓錐曲線為橢圓，.又其焦點在y軸上，圓錐曲線： （2）設(shè)直線AB：,.由拋物線定義得：，又由得，其時。證明：點Q總在某定直線上。⑶設(shè)，等差數(shù)列的任一項，其中是中的最大數(shù)，求的通項公式。（2）命題1：若數(shù)列是B數(shù)列，則數(shù)列是B數(shù)列 次命題為假命題。即存在最大整數(shù)使對任意，均有9. Sn與an的關(guān)系1 .數(shù)列的各項均為正數(shù)，為其前項和，對于任意，總有成等差數(shù)列.(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式；(Ⅱ)設(shè)數(shù)列的前項和為 ，且，求證:對任意實數(shù)（是常數(shù)，＝）和任意正整數(shù)，總有 2；(Ⅲ) 正數(shù)數(shù)列中，.求數(shù)列中的最大項. 分析：本題主要考查求數(shù)列的通項、等差等比數(shù)列的概念和性質(zhì)、不等式、函數(shù)的單調(diào)性，綜合運送知識分析問題和解決問題的能力。（Ⅱ）， 。 （Ⅰ）求f（x）的定義域； （Ⅱ）設(shè)f（x）的圖像與坐標軸及直線l：（n＝1，2，…）圍成的圖形面積為， 求及； （Ⅲ）若存在正整數(shù)n，使得，求a的取值范圍。A B C x 解:（1）如圖,由題意知AC⊥BC,其中當時，y=,所以k=9所以y表示成x的函數(shù)為設(shè),則,所以當且僅當即時取”=”.下面證明函數(shù)在(0,160)上為減函數(shù), 在(160,400)上為增函數(shù).設(shè)0m1m2160,則 ,因為0m1m2160,所以442402409 m1m29160160所以,所以即函數(shù)在(0,160)上為減函數(shù).同理,函數(shù)在(160,400)上為增函數(shù),設(shè)160m1m2400,則因為1600m1m2400,所以44240240, 9 m1m29160160所以,所以即函數(shù)在(160,400)上為增函數(shù).所以當m=160即時取”=”,函數(shù)y有最小值,所以弧上存在一點，當時使建在此處的垃圾處理廠對城A和城B的總影響度最小.7. 函數(shù)與數(shù)列綜合1. 已知函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱．（1）試用含的代數(shù)式表示函數(shù)的解析式，并指出它的定義域；（2）數(shù)列中，當時，．數(shù)列中，．點在函數(shù)的圖像上，求的值；（3）在（2）的條件下，過點作傾斜角為的直線，則在ｙ軸上的截距為，求數(shù)列的通項公式．分析：本小題主要考查反函數(shù)的概念、性質(zhì)、直線、數(shù)列等基本知識，考查運用數(shù)學(xué)歸納法證明問題的方法，考查分析問題和解決問題的能力。分析：本題主要考查反函數(shù)的概念及基本性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用及不等式的證明等基礎(chǔ)知識，以及綜合運用所學(xué)知識分析和解決問題的能力．化歸（轉(zhuǎn)化）思想方法解：（1） ∴ ∵ ∴ （2）∵ ，成立∴ ∴ 設(shè)，∴ 恒有成立 ∵ ∴ ∴ ∴ ，∴ ，在上∴ 即 ∵ ∴ 在上∴ ∴ 的取值范圍是.(Ⅰ)當x=6時,求的展開式中二項式系數(shù)最大的項。(x)＝0, 得x＝－1或x＝－ ，　∴當x∈(―2，―1)，h39?！坏仁?. 已知函數(shù)（Ⅰ）若，試確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若，且對于任意，恒成立，試確定實數(shù)的取值范圍；（Ⅲ）設(shè)函數(shù)，求證：．分析：本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值、導(dǎo)數(shù)、不等式等基本知識，考查運用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法，考查分類討論、化歸以及數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法，考查分析問題、解決問題的能力。……(2)證明f(x)是周期函數(shù)；(3)記an=f(n+),求解：(1)因為對x1,x2∈［0,］,都有f(x1+x2)=f(x1)1.
當x=1時,=1,則。若，則，得切點為，切線方程為；若，則，得切點為，切線方程為。解：（1） ∴ ∵ 的圖象與的圖象關(guān)于直線成軸對稱圖形∴ 的圖象與的 圖象關(guān)于直線對稱即：是的反函數(shù) ∴ ∴ ∴ （2）假設(shè)在的圖象上存在不同 的兩點A、B使得軸，即使得方程有兩不等實根設(shè)，則在（，1）上且∴ ， ∴ 使得方程有兩不等正根設(shè)，由函數(shù)圖象可知：，方程僅 有唯一正根∴ 不存在點A、B符合題意。（1）對于函數(shù)，當時，求實數(shù)m的取值范圍；（2）當時，的取值范圍恰為，求的取值范圍。當變化時，、的變化情況如下表： 0+單調(diào)遞減極小值12單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減∴當是，有極大值，故即為所求。例2．設(shè)函數(shù),其中表示不超過的最大整數(shù),如. (Ⅰ)求的值。2時,a2= a3 a4… an…
又bn單調(diào)遞減,\ b2 b3… bn… \[ a2,b2)= I2I3I4…In
\ I1∪I2∪…∪In∪…=I1∪I2 =.
綜上所述,的值域為.（1）設(shè)，函數(shù)的值域為，函數(shù)的值域為，求；（2）提出下面的問題：設(shè)，…，為實數(shù)，求函數(shù)（）的最小值或最大值．為了方便探究，遵循從特殊到一般的原則，先解決兩個特例：求函數(shù)和的最值。f((n－1)設(shè)，則所以所以在R上為減函數(shù)。( x )＞0，∴g( x )在x＝0處取得極小值g( 0 )＝0，同時g( x )是單峰函數(shù)，則g( 0 )也是最小值.∴g( x )≥0,　即f n ( x )≥nx　(當且僅當x＝0時取等號). 注：亦可用數(shù)學(xué)歸納法證明.(2)∵h( x )＝f 3( x )－f 2( x )＝x( 1＋x )2　∴h39。試問：是否，使得不等式對及恒成立？若存在，求的取值范圍；若不存在，請說明理由。（Ⅲ）對，且有又因，故∵，從而有成立，即存在，使得恒成立。 分類討論的思想方法解析：第（1）問是和自然數(shù)有關(guān)的命題，可考慮用數(shù)學(xué)歸納法證明；第（2）問可利用函數(shù)的單調(diào)性；第（3）問進行放縮。 分類討論思想解：（1）據(jù)條件得 ①當時，由，即有，解得．因為為正整數(shù)，故．當時，由，解得，所以．（2）方法一：由，猜想：．下面用數(shù)學(xué)歸納法證明．1當，時，由（1）知均成立；2假設(shè)成立，則，則時由①得因為時，所以．，所以．又，所以．故，即時，成立．由1，2知，對任意，．（2）方法二：由，猜想：．下面用數(shù)學(xué)歸納法證明．1當，時，由（1）知均成立；2假設(shè)成立，則，則時由①得即　　　　　?、谟散谧笫?，得，即，因為兩端為整數(shù)，則．于是　　　　③又由②右式，．則．因為兩端為正整數(shù)，則，所以．又因時，為正整數(shù)，則　　　?、軗?jù)③④，即時，成立．由1，2知，對任意，．3. 已知數(shù)列，其中，（），記數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前項和為?！唷?……+設(shè)……+，∴……，∴∴判斷所給命題的真假，并證明你的結(jié)論；（3） 若數(shù)列都是數(shù)列，