【正文】 ①求 ；②求證：數(shù)列{a n}是等比數(shù)列；③是否存在常數(shù)a，使得對(duì)都成立？ 若存在，求出a，若不存在，說(shuō)明理由。4. 設(shè)f(x)是定義在[0, 1]上的函數(shù)，若存在x*∈(0，1)，使得f(x)在[0, x*]上單調(diào)遞增，在[x*，1]上單調(diào)遞減，則稱f(x)為[0, 1]上的單峰函數(shù)，x*為峰點(diǎn)，包含峰點(diǎn)的區(qū)間為含峰區(qū)間． 對(duì)任意的[0，l]上的單峰函數(shù)f(x)，下面研究縮短其含峰區(qū)間長(zhǎng)度的方法．（I）證明：對(duì)任意的x1，x2∈(0，1)，x1＜x2，若f(x1)≥f(x2)，則(0，x2)為含峰區(qū)間；若f(x1)≤f(x2)，則(x*，1)為含峰區(qū)間；（II）對(duì)給定的r（0＜r＜），證明：存在x1，x2∈(0，1)，滿足x2－x1≥2r，使得由（I）所確定的含峰區(qū)間的長(zhǎng)度不大于 ＋r；（III）選取x1，x2∈(0, 1)，x1＜x2，由（I）可確定含峰區(qū)間為(0，x2)或(x1，1)，在所得的含峰區(qū)間內(nèi)選取x3，由x3與x1或x3與x2類似地可確定一個(gè)新的含峰區(qū)間．在第一次確定的含峰區(qū)間為(0，x2)的情況下，試確定x1，x2，x3的值，.（區(qū)間長(zhǎng)度等于區(qū)間的右端點(diǎn)與左端點(diǎn)之差）分析：本題考查函數(shù)的定義、單調(diào)性及不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，及理解分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的探索創(chuàng)新的能力 分類討論思想方法答案：（I）證明：設(shè)x*為f(x) 的峰點(diǎn)，則由單峰函數(shù)定義可知，f(x)在[0, x*]上單調(diào)遞增，在[x*, 1]上單調(diào)遞減． 當(dāng)f(x1)≥f(x2)時(shí)，假設(shè)x*(0, x2)，則x1x2x*，從而f(x*)≥f(x2)f(x1)， 這與f(x1)≥f(x2)矛盾，所以x*∈(0, x2)，即(0, x2)是含峰區(qū)間. 當(dāng)f(x1)≤f(x2)時(shí)，假設(shè)x*( x2, 1)，則x*≤x1x2，從而f(x*)≥f(x1)f(x2)， 這與f(x1)≤f(x2)矛盾，所以x*∈(x1, 1)，即(x1, 1)是含峰區(qū)間.（II）證明：由（I）的結(jié)論可知： 當(dāng)f(x1)≥f(x2)時(shí)，含峰區(qū)間的長(zhǎng)度為l1＝x2； 當(dāng)f(x1)≤f(x2)時(shí)，含峰區(qū)間的長(zhǎng)度為l2=1－x1； 對(duì)于上述兩種情況，由題意得 ① 由①得 1＋x2－x1≤1+2r，即x1－x1≤2r. 又因?yàn)閤2－x1≥2r，所以x2－x1=2r, ② 將②代入①得 x1≤－r, x2≥－r， ③ 由①和③解得 x1＝－r， x2＝＋r． 所以這時(shí)含峰區(qū)間的長(zhǎng)度l1＝l1＝＋r，即存在x1，＋r．（III）解：對(duì)先選擇的x1；x2，x1x2，由（II）可知 x1＋x2＝l， ④ 在第一次確定的含峰區(qū)間為(0, x2)的情況下，x3的取值應(yīng)滿足 x3＋x1＝x2， ⑤ 由④與⑤可得, 當(dāng)x1x3時(shí)，含峰區(qū)間的長(zhǎng)度為x1． 由條件x1－x3≥，得x1－(1－2x1)≥，從而x1≥． 因此，只要取x1＝，x2＝，x3=．1．設(shè)函數(shù)，其中，記函數(shù)的最大值與最小值的差為。函數(shù)與方程思想，以方程的意識(shí)解決平面解析幾何問(wèn)題解：（Ⅰ）解法一：易知所以，設(shè)，則因?yàn)椋十?dāng)，即點(diǎn)為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)，有最小值當(dāng)，即點(diǎn)為橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí)，有最大值解法二：易知，所以，設(shè)，則（以下同解法一）（Ⅱ）顯然直線不滿足題設(shè)條件，可設(shè)直線，聯(lián)立，消去，整理得：∴由得：或又∴又∵，即 ∴PBQMFOAxy故由①、②得或2．Oyx1lF（07福建）如圖，已知點(diǎn)，直線，為平面上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作直線的垂線，垂足為點(diǎn)，且．（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)的直線交軌跡于兩點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，已知，求的值；分析：本小題主要考查直線、拋物線、向量等基礎(chǔ)知識(shí)，考查軌跡方程的求法以及研究曲線幾何特征的基本方法，考查運(yùn)算能力和綜合解題能力． 函數(shù)與方程的思想， 等價(jià)轉(zhuǎn)化思想方法解法一：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)，則，由得：，化簡(jiǎn)得．（Ⅱ）設(shè)直線的方程為：．設(shè)，又，聯(lián)立方程組，消去得：，故由，得：，整理得：，．解法二：（Ⅰ）由得：，，．所以點(diǎn)的軌跡是拋物線，由題意，軌跡的方程為：．（Ⅱ）由已知，得．則：．…………①過(guò)點(diǎn)分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，則有：．…………②由①②得：，即．3．如圖所示，已知圓為圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在AM上，點(diǎn)N在CM上，且滿足的軌跡為 曲線E. （I）求曲線E的方程； （II）若過(guò)定點(diǎn)F（0，2）的直線交曲線E于不同的兩點(diǎn)G、H（點(diǎn)G在點(diǎn)F、H之間）， 且滿足，求的取值范圍. 分析：本小題主要考查直線、圓、橢圓、向量等基礎(chǔ)知識(shí)，考查軌跡方程的求法以及研究曲線幾何特征的基本方法，考查運(yùn)算能力和綜合解題能力． 函數(shù)與方程的思想， 等價(jià)轉(zhuǎn)化思想方法解：（I） ∴NP為AM的垂直平分線，∴|NA|=|NM|.又∴動(dòng)點(diǎn)N的軌跡是以點(diǎn)C（－1，0），A（1，0）為焦點(diǎn)的橢圓.且橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為焦距2c=2. ∴曲線E的方程為（II）當(dāng)直線GH斜率存在時(shí)，設(shè)直線GH方程為得設(shè)，又當(dāng)直線GH斜率不存在，方程為4. 已知方向向量為v=(1,)的直線l過(guò)點(diǎn)（0，－2）和橢圓C：的焦點(diǎn)，且橢圓C的中心關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)在橢圓C的右準(zhǔn)線上.（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）是否存在過(guò)點(diǎn)E（－2，0）的直線m交橢圓C于點(diǎn)M、N，滿足，cot∠MON≠0（O為原點(diǎn)）.若存在，求直線m的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查直線、橢圓及平面向量的基本知識(shí)，平面解析幾何的基本方和綜合解題能力。（2）當(dāng)時(shí)，直線L與軌跡C的兩個(gè)交點(diǎn) 分別在上，不妨設(shè)點(diǎn)在上，點(diǎn)上，則④⑤知， 設(shè)直線AF與橢圓的另一交點(diǎn)為E 所以。函數(shù)與方程思想，以方程的意識(shí)解決平面解析幾何問(wèn)題分類討論思想方法 數(shù)形結(jié)合思想方法解：（1）設(shè)，則由，且是原點(diǎn)，得，從而，根據(jù)得，即為所求軌跡方程。函數(shù)與方程思想，以方程的意識(shí)解決平面解析幾何問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想方法解：⑴過(guò)P作直線x=，x=1為準(zhǔn)線的拋物線,；依題意知圓錐曲線為橢圓，.又其焦點(diǎn)在y軸上，圓錐曲線： （2）設(shè)直線AB：,.由拋物線定義得：，又由得，其時(shí)。證明：點(diǎn)Q總在某定直線上。⑶設(shè)，等差數(shù)列的任一項(xiàng)，其中是中的最大數(shù)，求的通項(xiàng)公式。（2）命題1：若數(shù)列是B數(shù)列，則數(shù)列是B數(shù)列 次命題為假命題。即存在最大整數(shù)使對(duì)任意，均有9. Sn與an的關(guān)系1 .數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，為其前項(xiàng)和，對(duì)于任意，總有成等差數(shù)列.(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(Ⅱ)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為 ，且，求證:對(duì)任意實(shí)數(shù)（是常數(shù)，＝）和任意正整數(shù)，總有 2；(Ⅲ) 正數(shù)數(shù)列中，.求數(shù)列中的最大項(xiàng). 分析：本題主要考查求數(shù)列的通項(xiàng)、等差等比數(shù)列的概念和性質(zhì)、不等式、函數(shù)的單調(diào)性，綜合運(yùn)送知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。（Ⅱ）， 。 （Ⅰ）求f（x）的定義域； （Ⅱ）設(shè)f（x）的圖像與坐標(biāo)軸及直線l：（n＝1，2，…）圍成的圖形面積為， 求及； （Ⅲ）若存在正整數(shù)n，使得，求a的取值范圍。A B C x 解:（1）如圖,由題意知AC⊥BC,其中當(dāng)時(shí)，y=,所以k=9所以y表示成x的函數(shù)為設(shè),則,所以當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取”=”.下面證明函數(shù)在(0,160)上為減函數(shù), 在(160,400)上為增函數(shù).設(shè)0m1m2160,則 ,因?yàn)?m1m2160,所以442402409 m1m29160160所以,所以即函數(shù)在(0,160)上為減函數(shù).同理,函數(shù)在(160,400)上為增函數(shù),設(shè)160m1m2400,則因?yàn)?600m1m2400,所以44240240, 9 m1m29160160所以,所以即函數(shù)在(160,400)上為增函數(shù).所以當(dāng)m=160即時(shí)取”=”,函數(shù)y有最小值,所以弧上存在一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)使建在此處的垃圾處理廠對(duì)城A和城B的總影響度最小.7. 函數(shù)與數(shù)列綜合1. 已知函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱．（1）試用含的代數(shù)式表示函數(shù)的解析式，并指出它的定義域；（2）數(shù)列中，當(dāng)時(shí)，．?dāng)?shù)列中，．點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，求的值；（3）在（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)作傾斜角為的直線，則在ｙ軸上的截距為，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．分析：本小題主要考查反函數(shù)的概念、性質(zhì)、直線、數(shù)列等基本知識(shí)，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題的方法，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。分析：本題主要考查反函數(shù)的概念及基本性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用及不等式的證明等基礎(chǔ)知識(shí)，以及綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析和解決問(wèn)題的能力．化歸（轉(zhuǎn)化）思想方法解：（1） ∴ ∵ ∴ （2）∵ ，成立∴ ∴ 設(shè)，∴ 恒有成立 ∵ ∴ ∴ ∴ ，∴ ，在上∴ 即 ∵ ∴ 在上∴ ∴ 的取值范圍是.(Ⅰ)當(dāng)x=6時(shí),求的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)。(x)＝0, 得x＝－1或x＝－ ，　∴當(dāng)x∈(―2，―1)，h39?！坏仁?. 已知函數(shù)（Ⅰ）若，試確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若，且對(duì)于任意，恒成立，試確定實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅲ）設(shè)函數(shù)，求證：．分析：本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值、導(dǎo)數(shù)、不等式等基本知識(shí)，考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法，考查分類討論、化歸以及數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法，考查分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力?！?2)證明f(x)是周期函數(shù)；(3)記an=f(n+),求解：(1)因?yàn)閷?duì)x1,x2∈［0,］,都有f(x1+x2)=f(x1)1.
當(dāng)x=1時(shí),=1,則。若，則，得切點(diǎn)為，切線方程為；若，則，得切點(diǎn)為，切線方程為。解：（1） ∴ ∵ 的圖象與的圖象關(guān)于直線成軸對(duì)稱圖形∴ 的圖象與的 圖象關(guān)于直線對(duì)稱即：是的反函數(shù) ∴ ∴ ∴ （2）假設(shè)在的圖象上存在不同 的兩點(diǎn)A、B使得軸，即使得方程有兩不等實(shí)根設(shè)，則在（，1）上且∴ ， ∴ 使得方程有兩不等正根設(shè)，由函數(shù)圖象可知：，方程僅 有唯一正根∴ 不存在點(diǎn)A、B符合題意。（1）對(duì)于函數(shù)，當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，的取值范圍恰為，求的取值范圍。當(dāng)變化時(shí)，、的變化情況如下表： 0+單調(diào)遞減極小值12單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減∴當(dāng)是，有極大值，故即為所求。例2．設(shè)函數(shù),其中表示不超過(guò)的最大整數(shù),如. (Ⅰ)求的值。2時(shí),a2= a3 a4… an…
又bn單調(diào)遞減,\ b2 b3… bn… \[ a2,b2)= I2I3I4…In
\ I1∪I2∪…∪In∪…=I1∪I2 =.
綜上所述,的值域?yàn)?（1）設(shè)，函數(shù)的值域?yàn)?，函?shù)的值域?yàn)椋?；?）提出下面的問(wèn)題：設(shè)，…，為實(shí)數(shù)，求函數(shù)（）的最小值或最大值．為了方便探究，遵循從特殊到一般的原則，先解決兩個(gè)特例：求函數(shù)和的最值。f((n－1)設(shè)，則所以所以在R上為減函數(shù)。( x )＞0，∴g( x )在x＝0處取得極小值g( 0 )＝0，同時(shí)g( x )是單峰函數(shù)，則g( 0 )也是最小值.∴g( x )≥0,　即f n ( x )≥nx　(當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)取等號(hào)). 注：亦可用數(shù)學(xué)歸納法證明.(2)∵h(yuǎn)( x )＝f 3( x )－f 2( x )＝x( 1＋x )2　∴h39。試問(wèn)：是否，使得不等式對(duì)及恒成立？若存在，求的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。（Ⅲ）對(duì)，且有又因，故∵，從而有成立，即存在，使得恒成立。 分類討論的思想方法解析：第（1）問(wèn)是和自然數(shù)有關(guān)的命題，可考慮用數(shù)學(xué)歸納法證明；第（2）問(wèn)可利用函數(shù)的單調(diào)性；第（3）問(wèn)進(jìn)行放縮。 分類討論思想解：（1）據(jù)條件得 ①當(dāng)時(shí)，由，即有，解得．因?yàn)闉檎麛?shù)，故．當(dāng)時(shí)，由，解得，所以．（2）方法一：由，猜想：．下面用數(shù)學(xué)歸納法證明．1當(dāng)，時(shí)，由（1）知均成立；2假設(shè)成立，則，則時(shí)由①得因?yàn)闀r(shí)，所以．，所以．又，所以．故，即時(shí)，成立．由1，2知，對(duì)任意，．（2）方法二：由，猜想：．下面用數(shù)學(xué)歸納法證明．1當(dāng)，時(shí)，由（1）知均成立；2假設(shè)成立，則，則時(shí)由①得即　　　　　?、谟散谧笫?，得，即，因?yàn)閮啥藶檎麛?shù)，則．于是　　　　③又由②右式，．則．因?yàn)閮啥藶檎麛?shù)，則，所以．又因時(shí)，為正整數(shù)，則　　　?、軗?jù)③④，即時(shí)，成立．由1，2知，對(duì)任意，．3. 已知數(shù)列，其中，（），記數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為?！唷?……+設(shè)……+，∴……，∴∴判斷所給命題的真假，并證明你的結(jié)論；（3） 若數(shù)列都是數(shù)列，