同濟大學第六版工程數(shù)學線性代數(shù)-免費閱讀
【正文】 由 易得如下主要推論： n 元齊次線性方程組 0???xA有非零解 ? R（ A） n 線性方程組 bxA ???有解 )()( ARbAR ?? 可推廣到更一般的矩陣方程 矩陣方程 BxA ???有解 )()( ARBAR ?? 證：參見 注： 中的 ??x非列向量，若 mxnmxnBA , ，則 ??x是 mxn 矩陣。 令 2413 , cxcx ?? , 可得方程組的通解： ?????????????????2413212211414723454323cxcxccxccx 或?????????????????????????????????????? ???????????????????????????????????004145104743012323214321ccxxxx 注意，對齊次方程組 0???xA（必有解）只需將 A 化成行最簡陣，與上述解法類似。11??????????????? )(*39。 (ii) 若 R（ B） =R(A) =n，則 ~B 中的 01??rd ，且 ija39。 問題：對于（ *）有沒有解？有多少解 ?如何求解？ 下述定理將給出完整的回答。 解：?????????????? ??????????????????????????????????????????00000100000120011221~13600512000240011221~43216063324208421221rrB ，由此知 R（ A） =2， R（ B） =3 上述表明 B 的最高階非零子式為 3 階，而 3 階子式共有 403534 ?CC 個，可從 B 的行階梯矩陣對應 3 列中尋找，例如 010510020111332202111?????? 即為所求 例 13（ P69 例 7）設???????????????3651231121A ，已知 R（ A） =2，求λ，μ 解 : ????????????????150043401121~???rA? ,而 R(A)=2， ??? ?? ??? 01 05? ? 1,5 ??? ?? 下面再介紹矩陣秩的其他一些性質(zhì) 性質(zhì)（ 1） max? ? )()(),()(),( BRARBARBRAR ??? 。 例 4 （ P65 例 3） 設??????????????231221312A , ?????????????520211B ,求 ??x 使 A??x =B。 證：充分性，設 ? ?均為初等矩陣表示 ii PPPPA ?21? 均為可逆，iP? .可逆A? 必要性：設 A 的標準形為 F，則 F~A,據(jù) ， ? 有限個初等矩陣 P：設 i11 PFPPPA Ss ?? ?? . 可逆，可逆且 PAA ?? nEFF ??? 也可逆 故 i11 PPPPA Ss ?? ??表示 n 階方陣 A 可逆 ? .nEFA ?的標準形 證：此由 必要性證明即知 設 A,B 均為 mxn 矩陣，則 （ i） ??BAr~ m 階可逆陣 P， 使 PA=B； （ ii） ??BAc~ n 階可逆陣 A，使 AQ=B； （ iii） ??BA~ m 階 ,n 階可逆陣 P 及 A，使 PAQ=B； 證：僅證（ i），類似可證（ ii）和（ iii） ?BAr~ A 經(jīng)過有限次初等行變換化成 B? 存在有限個 m 階初等矩陣P：使 ??? BAPPP i 12? n 階方陣 P，使 PA= nE （顯然 P 可逆） ? nrEA~（由 (i)）。 (ii) E(i,j)=ijik??????????????????????????1111?? (iii) E(ij(01)(=E(i,j(0,1))=ijji ??????????????????????????11011????? 性質(zhì) 2 （ 1） 初等矩陣的轉(zhuǎn)置 均為同等初等矩陣； （ 2） 初等矩陣均為可逆陣，且它們的逆陣均為同等初等矩陣，具體是 ))(())(()。 若矩陣 A 經(jīng)過有限次初等行（列）變換化成矩陣 B，則稱 A 與B 行（列）等價，記作 )~(~ BABA cr ； 若 A 經(jīng)過有限次初等變換化成 A 與 B 等價，記作 A~B. 性質(zhì) 1：矩陣等價關系適合 （ i） 反射性： A~A。(ii)對稱性 A~B? B~A。1(())(()。 (i)表明：若 BAr~ ，則 ? 可逆陣 P，使 PA=B。 解： ? ??BA?????????????????????????????5013020
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