極限求解的若干方法-應(yīng)用數(shù)學(xué)畢業(yè)論文-免費閱讀
【正文】 在實際學(xué)習(xí)中很多題是多種方法綜合運用求解的 , 從上述的介紹中可以看出求極限的方法不拘一格， 我們應(yīng)具體問題具體分析，不能機械地用某種方法，對具體題目要注意觀察，有時解題可多種方法混合使用，要學(xué)會靈活運用。 例 18：求)1ln( )21( 2210lim xxe xx ???? 解：利用 )1ln( 2x? 2~x （ 0?x ），則得 原式 =lim0?x 221)21(x xex ?? =lim0?x xxex 2 )21( 21??? =lim0?x1222 )21( 23???? ?xe x 在利用洛比達法則求極限時，為使計算更加快捷減少運算中的諸多不便，可用適當(dāng)?shù)拇鷵Q，如下例， 例 19：求 lim0??x xex?1 解：這是00型不定式極限，可直接運用洛比達法則求解，但是比較麻煩。 xgxf =21 在此類題目中，如果 lim0xx? )(39。 要及時化簡極限符號 后面的分式，在化簡以后檢查是否認(rèn)為未定式，若遇到不是未定式，應(yīng)立即停止使用洛必達法則，否則會引起錯誤。 定理：若 AxgxfxgxfAAxgxfiiixgxuxgfiixgxfixxxxxxxxxx??????????????)()(l i m)()(l i m()()(l i m)(0)()()(0)(l i m,0)(l i m)(39。但是，不是乘除的情況，不一定能這樣做。即000lim ( ( ) ) ( ( ) ( lim ( ) )x x x xf g x f g x f g x????也就是說，極限號0limxx?可以與符號 f互換順序。??????xexBxx xAx ???? ?? 在這一類型題中，一般也不能直接運用公式，需要恒等變形進行化簡后才可以利用公式。首先對函數(shù)施行各種恒等變形。 令 limnx yl?? ? 則 21lim lim ( )nnnny y a?? ? ? ??? 則 2l l a?? 。 例 1 2 2 21 1 112nx n n n n? ? ?? ? ? 求 nx 的極限 解 ：因為 nx 單調(diào)遞減，所以存在最大項和最小項 2 2 2 21 1 1.......n nx n n n n n n n n? ? ? ? ?? ? ? ? 2 2 2 21 1 1.......1 1 1 1n nx n n n n? ? ? ? ?? ? ? ? 則221nnnxn n n???? 又因為 22lim lim 11xxnnn n n? ? ? ????? lim 1nx x?? ? （ 2） 單調(diào)有界準(zhǔn)則：單調(diào)有界數(shù)列必有極限，而且極限唯一。如函數(shù) )(xfy? 在處導(dǎo)數(shù)的定義，定積分的定義，偏導(dǎo)數(shù)的定義，二重積分，三重積分的定義，無窮級數(shù)收斂的定義，都是用極限來定義的。 關(guān)鍵詞： 夾逼準(zhǔn)則 , 單調(diào)有界準(zhǔn)則 , 無窮小量的性質(zhì) , 洛必達法則 , 中值定理 , 定積分 , 泰勒展開式 , 級數(shù)收斂的必要條件 . 目 錄 摘 要 .......................................... 錯誤 !未定義書簽。極限理論所研究的是變量在其變化過程中的趨勢問題，在數(shù)學(xué)分析課程教學(xué)中所討論的極限問題大體上分為兩類：一類是數(shù)列的極限 ，它 是微積分的基礎(chǔ) ,貫穿于微積分學(xué)的始終 ,是微積分學(xué)的重要研究方法。數(shù)列極限是極限理論的重要組成部分 ,而數(shù)列極限的求法可以通過定義法 ,兩邊夾法 ,單調(diào)有界法 ,施篤茲公式法等方法進行求解。 1 引言 ......................................................... 2 2 極限的求法 ................................................... 2 利用兩個準(zhǔn)則求 極限 ......................................... 2 利用極限的四則運算性質(zhì)求極限 ................................ 4 利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限 ....................................... 5 利用兩個重要極限公式求極限 .................................. 6 利用級數(shù)收斂的必要條件求極限 ................................ 6 利用單側(cè)極限求極限 ......................................... 8 利用函數(shù)的連續(xù)性求極限 ..................................... 8 利用無窮小量的性質(zhì)求極限 ................................... 9 利用等價無窮小量代換求極限 .................................. 9 利用中值定理求極限 ....................................... 10 洛必達法則求極限 ......................................... 12 利用定積分求和式的極限 ................................... 14 利用泰勒展開式求極限 ..................................... 15 換元法求極限 ............................................. 15 3 結(jié) 論 ....................................................... 16 參考文獻 ...................................................... 16 致 謝 ......................................................... 16 1 引言 極限是分析數(shù)學(xué)中最基本的概念之一，用以描述變量在一定的變化過程中的終極狀態(tài)。極限是研究數(shù)學(xué)分析的基本公具。 利用單調(diào)有界準(zhǔn)則求極限，關(guān)鍵先要證明數(shù)列的存在，然后根據(jù)數(shù)列的通項遞 推公式求極限。 因為 0ny? 解方程得 1 4 12al ??? 所以 1 4 1lim 2nx ayl?? ???? 利用極限的四則運算性質(zhì)求極限 極限的四則運算法則敘述如下： 若 0lim ( )xxf x A?
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