【正文】 10．設(shè) X 服從區(qū)間（ 0， 4）上的均勻分布，隨機(jī)變量 2 23Y X X? ? ?，試求 Y 的密度函數(shù)。 2．假設(shè)隨機(jī)變量 X 的概率密度為 1 c o s , 0 ,22()0 , .x xfx ?? ???? ??? 其 他 對(duì) X 獨(dú)立地重復(fù) 觀察 4 次，用 Y 表示觀察值大于 3? 的次數(shù)，試求 Y 的分布律。 （ B）連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù) ()fx滿足 0 ( ) 1fx??。 4． 設(shè) X 服從 [0， 1]上的均勻分布，則概率 2 31( 0 )48P X X? ? ?=________。 8 1x F x x F x? ? ? ? ? ? 當(dāng) 18x??時(shí) ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ?33 2133 3 331131 0 , 8 1 0 , 10 0 , 1 10 , 1 1 1 1 1 1xF x dt xtF F yy G y y G yy G y P Y y P F X y P X yP X y F y y y? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ????又 ，顯 然 ， 當(dāng) 當(dāng) ， ? ? 0 , 0 0 , 0 , 0 0 , 0 01 , 1 1 , 1yyG y y y y yyy??????? ? ? ? ? ???????于 是 ， 【 例 21】 向平面區(qū)域 2: 0 2 。 解 ： ??1 ? ? 221~ 0 , 1 ( )2xX N f x e? ??? x??? ??? 一般解法： 由 0 恒 成 立XYe?? ，故， 當(dāng) 0y? ? ? ? ( ) 0YF y P Y y? ? ? 當(dāng) 0y? 時(shí) ? ? ()YF y P Y y?? ( ) ( ln )XP e y P X y? ? ? ?= 2212 xlny e dx? ???? 故 Y 的概率 密度 ( ) ( )YYf y F y???2()21 e , 0200lyyyy??? ?????? ， 公式 解法： 2020 智軒考研數(shù)學(xué)創(chuàng)高分紅寶書(shū)系列 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 43 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2( l n )11 21, , l n l n , 0 , 020 , 00 , 00yXYYf g y g y y a b f y y y eyfx yyo th e r y???? ?? ?? ?? ? ? ? ?? ????? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ??? ?? ? ， ??2 由 221YX??知 12YX ??? ，當(dāng) 1y? 時(shí)， ? ? ( ) 0YF y P Y y? ? ?； 當(dāng) 1y? 時(shí) ， 因?yàn)椴淮嬖诜春瘮?shù)，故 使用一般解法 ? ? ? ? ? ? ? ?? ?2212 212 2 1 ( 1 ) / 2 ( 1 ) / 2 ( 1 ) / 21 2Yy xyF y P Y y P X y P X yP y X ye d x?? ???? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?YYf y F y???22( 1 ) / 2 ) ( ( 1 ) / 2 )221 1 1 , 12 4 ( 1 ) / 2 4 ( 1 ) / 20 , 1yye e yyyy?????? ?? ?? ??? ? ? ?? ??? ?????? =141 , 12 ( 1)0 , 1yeyyy??????? ?????? ??3 由 YX? 知，當(dāng) 0y? 時(shí)， ? ? ( ) 0YF y P Y y? ? ?, 當(dāng) 0y? 時(shí) ? ? ? ? ? ? ? ? 221 2 xyY yF y P Y y P X y P y X y e d x? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?YYf y F y???22()221 ( 1 ) 0200,yyee yy????? ??? ? ? ?? ???? ?? ???? 222 , 00 , 0yeyy??? ??? ???? 【 例 17】 設(shè) ? ? ? ?12,F x F x 都是分布函數(shù)，常數(shù) 0, 0, 1a b a b? ? ? ?，證明 ? ? ? ? ? ?12F x aF x bF x??也是分布函數(shù)，并舉例說(shuō)明分布函數(shù)不只是離散與連續(xù)兩種。 解 :： 分布函數(shù)定義 法 X 的概率 密度為： ? ? ? ?1 , 0 ,0 , Xxfxoth er??? ??? ??? 先確定 Y 的值域?yàn)?? ?0, 1Y? 。 1 1 。 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?2 1 1 1 2 3 0 1 0 0P X P X P X P X P XP X P X P XPX? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?222221 , 0 , 1 , 2 , 3 1 1 , 0 , 3 , 81 1 1 0 0 . 1 50 1 0 1 1 0 . 4 53 1 3 2 2 0 . 3 58 1 8 3 3 0 . 0 5X Y XP Y P X P XP Y P X P X P XP Y P X P X P XP Y P X P X P X? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 1YX?? 1 0 3 8 p 【例 11】 已知隨機(jī)變量 X 的分布律為 X 4? 2? 34? P 0 求 Y SinX? 的分布律 ?！?直 角分割法〗 也適應(yīng)二維分布， 由 x 點(diǎn)向平面左下方畫(huà)一個(gè)直角區(qū)域即可。 【 例 7】 設(shè) ? ?2~, XN??， 證明 ? ?~ 0 , 1X N?????? ????（重要結(jié)論，務(wù)必記?。? 證明： 根據(jù)概率定義來(lái)證明。 證明： ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ?? ?? ? ? ?? ?? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?0 000 0 0 0 0 00 0 0000 0 0 000, |11111 11xx xxxP x X x x X x P x X x x P X xP x X x x X xP X x P X xeeP x X x x F x x F xe F x P X xP X x F x e? ????? ???? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ??（ 8） 正態(tài) 分布 ? ?2, N ?? ● 模 型 ： 在實(shí)踐中，如果隨機(jī)變量 X 表示許許多多 均勻 微小隨機(jī)因素的總效應(yīng) ，則它通常將近似地服從正態(tài)分布 。 （ 6）均勻 分布 ? ?, Ua b 模型：設(shè)隨即變量 X 的值落在 ? ?, ab 內(nèi)， 其內(nèi)取值具有“等可能”性，即 其密度 分布 ??fx在? ?, ab上為常數(shù) 1ba? ，即 ? ? ? ?1 , ~ , 0 , a x bf x U a bbao th e r? ???? ????注 意 區(qū) 間 為 開(kāi) 區(qū) 間 ， 端 點(diǎn) 的 分 布 密 度 值 取 零 2020 智軒考研數(shù)學(xué)創(chuàng)高分紅寶書(shū)系列 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 35 ? ? ? ? ? ?0 , , 1 , xxaxaxaF x f x dx f x dx a x bbaxb????? ??? ? ? ? ?? ??????? ? ? ? ? ? ? 211 2 2 1 xxP a x X x b F x F x ba?? ? ? ? ? ? ? ? 【 例 5】 若 X 服從 ? ?1, 6 上的均勻分布，求方程 2 10x Xx? ? ? 有實(shí)根的概率。 ? ? ? ?~ , 0 , 1 , 2 ,!kP X k e P kk ?? ??? ? ? 當(dāng) p 很小 時(shí)，有 ? ? ? ?l i m , , nP B n p n p??????其 中。P X x X x P X x P X x F x F x D? ? ? ? ? ? ? ? 離散型與連續(xù)型隨機(jī)變量的關(guān)系 ? ? ? ? ? ?P X x P x X x d x f x d x? ? ? ? ? ? 可見(jiàn)，積分元 ? ?f xdx 在 在連續(xù)型隨機(jī)變量理論中與 ? ?kkP X x p??在離散型隨機(jī)變量理論中所起的作用 地位相同 ，這與微分的幾何意義完全一致 。 必 為 某 一 的 概 率 密 度 。 陳氏第 3 技 常年考點(diǎn)用到的 5 個(gè) 分布函數(shù)組合的 重要結(jié)論 。 設(shè) 離散型隨機(jī)變量 X 的可能取值為 ? ?1,2,kxk? ，事件 ? ?kXx? 的概率為 ? ?kkP X x p?? ， 離散型分布函數(shù) 稱為 離散分布律 ，一般使用列表表示 。 當(dāng)然， 由于連續(xù)型在一點(diǎn)的概率恒為零，所以， 連續(xù)型分布函數(shù) 左連續(xù)和右連續(xù)同時(shí)成立。 ● 分布函數(shù) 定義形式的淵源 一般情況下，人們 只對(duì)某個(gè)區(qū)間內(nèi)的概率感興趣，即研究 下列四種可能的區(qū)間的概率 ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 1 2 1 2 1 2 P x X x P x X x P x X x P x X x? ? ? ? ? ? ? ? 或 或 或 讀者只要利用一維坐標(biāo)軸就分容易得出下列結(jié)論 當(dāng) 0??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?1 2 2 11 2 2 11 2 2 11 2 2 1 P x X x P X x P X xP x X x P X x P X xP x X x P X x P X xP x X x P X x P X x????? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?? ??? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?? 所以，我們只須 定義一個(gè) ? ?P X x? 形式 就可以了， 其他區(qū)間 形式 都可以用它表示出來(lái)。 4． 理解連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度的概念，掌握均勻分布 U（ a,b）、正態(tài)分布 N（ 2,?? ）、指數(shù)分布及其應(yīng)用，其中參數(shù)為 ( 0)??? 的指數(shù)分布 E（ ? ）的概率密度為 , 0 ,() 0 , 0 .xefx x?? ???? ?????若 x若 5． 會(huì)求隨機(jī)變量函數(shù)的 分布。 本章 導(dǎo)讀 本章的核心內(nèi)容是 8 大 分布 函數(shù) 及其對(duì)應(yīng)的 模型 ；如何根據(jù)定義 求的函數(shù)分布一般方法 。 于是定義： ? ? ? ?F x P X x??為 X 的分布函數(shù) 。 正是要求 ??Fx右連續(xù)，才使 ??Fx成為分布函數(shù)的 普適定義 。注意 : 1 1kk p?? ??。 ??1 只有存在 概率密度 （不恒為零） 的隨機(jī)變量才稱為連續(xù)型，但不能錯(cuò)誤認(rèn)為分布函數(shù)連續(xù)的隨機(jī)變量為連續(xù)型。 必 為 某 一 的 分 布 函 數(shù) 。 一維隨機(jī)變量的 8 大分布（ 3 個(gè)離散分布 +5