【正文】 11+ =1x 1 m? 的解為 ▲ ． 【答案】 x=3。 檢驗：把 x=3代入最簡公分母 2（ x﹣ 1） =4≠0 ，故 x=3是原分式方程的解。 【考點】 新定義，估計無理數(shù)的大小。 【考點】 新定義，代數(shù)式求值。 【分析】 弧 CD是以點 A為圓心， AB=1為半徑， ∠CAD=120 0為圓心角的圓弧，長是 120 1 2=180 3???? ； 弧 DE是以點 B為圓心， BD=2為半徑， ∠DBE=120 0為圓心角的圓弧，長是： 120 2 4=180 3???? ； 弧 EF是以點 C為圓心， CE=3為半徑， ∠ECF=120 0為圓心角的圓弧，長是： 120 3=2180? ??? 。 【分析】 根據(jù) 定義 化簡 +1 1 =81 +1xxxx?? ，得： ? ? ? ?22+1 1 =8xx?? ， 整理得： ? ? ? ?22+ 2 + 1 1 2 + = 8x x x x??，即 4=8x ，解得： =2x 。 ②21。 ∴ 點 C與點 D的 “ 非常距離 ” 的最小值 距離為 87， 此時 8 15C77???????。 ∴ 34E55???????。 【考點】 新定義，直線上點的坐標與方程的關 系，直線和圓的性質，解一元二次方程，勾股定理，相似三角形的和性質。 ② 同 ① ，同時理解當 OC 垂直于直線 3y x 34??時，點 C與點 E的 “ 非常距離 ” 最小。 （ 2） ∵ 拋物線 2y= x +b x(b 0)? 的 “ 拋物線三角形 ” 是等腰直角三角形， ∴ 該拋物線的頂點 2bb24??????，滿足 2bb=24（ b＞ 0）。 當 OA=OB時，平行四邊形 ABCD為矩形。= 3 b39。 ∴ 所求拋物線的表達式為 2y=x +2 3x 。 （ 3）由于矩形的對角線相等且互相平分，所以若存在以原點 O為對稱中心的矩形 ABCD，那么必須滿足 OA=OB，結合（ 1）的結論，這個 “ 拋物線三角形 ” 必須是等邊三角形，首先用 b′ 表示出 AE、 OE的長，通過 △OAB 這個等邊三角形來列等量關系求出 b′ 的值，進而確定 A、 B 的坐標，即可確定 C、 D 的坐標，利用待定系數(shù)即可求出過 O、 C、 D的拋物線的解析式。C39。 ， BC=l，對 △ABC 作變換得 △AB′C′ ，使點 B、 C、 B′ 在同一直線上，且四邊形 ABB39。 。 ． 在 Rt△AB B39。 ， ∴∠AB′B=30176。 又 ∵∠BAC=36176。 。 而 CB′=AC=AB=B′C′ ， BC=1， ∴AB 2=1（ 1+AB），解得， 15AB 2?? 。 ∵∠ANB=∠B′NM ， ∴∠BMB′=∠BAB′=60176。 角的直角三角形的性質，即可求得 n的值。 ② 點 D的坐標為 (0， 2)， m≥0 ， n≥0 ，作 MH⊥x 軸 ,垂足為 H，是否存在 m的值，使以 A、 M、 H為頂點的三角形與 △AOD 相似，若存在，求出 m的值；若不存在，請說明理由 . 【答案】解：（ 1） 2； 5 。 ∵A(4 ， 0)， B(m， n)， AB=2， ∴EA=4 － m。 ∴ 點 M隨線段 BC運動所圍成的封閉圖形的周長為 16+4π 。 ∵ 點 M為線段 BC的中點 , BC=4， ∴OH 1=5時， m=3； OH2=3時， m=1。 又 FM4=2， ∴ ? ? 22 2 24 4 4 4M H F M F H 4 x 6 = x + 1 2 x 3 2? ? ? ? ? ? ?。 此時1 2 4 6x 6 = 6 = 055? ? ?,點 M4在圓弧的另一半上，不合題意，舍去。當 m=5， n=2時，線段 BC與線段 OA的距離 (即線段 AB的長 ) 可由勾股定理求出： ? ?2 25 4 + 2 5??。 5. （ 2020浙江紹興 10分） 聯(lián)想三角形外心的概念，我們可引入如下概念。 探究：已知 △ABC 為直角三角形，斜邊 BC=5， AB=3，準外心 P在 AC邊上，試探究 PA的長。 （ 2）如圖 3，過點 M作 MH⊥AB 于點 H。 ∴ m 與 n所滿足的關系式為 2m 3n? 。同理， F2的證明。 所有符合條件的點 P組成的圖形如圖所示： （ 2） ∵d （ M， Q） =|x﹣ 2|+|y﹣ 1|=|x﹣ 2|+|x+2﹣ 1|=|x﹣ 2|+|x+1|， 又 ∵x 可取一切實數(shù)， |x﹣ 2|+|x+1|表示數(shù)軸上實數(shù) x所對應的點到數(shù) 2和﹣ 1所對應的點的距離之和，其最小值為 3。 （ 2）根據(jù)新定義知 d（ M， Q） =|x﹣ 2|+|y﹣ 1|=|x﹣ 2|+|x+2﹣ 1|=|x﹣ 2|+|x+1|，然后由絕對值與數(shù)軸的關系可知， |x﹣ 2|+|x+1|表示數(shù)軸上實數(shù) x所對應的點到數(shù) 2和﹣ 1所對應的點的距離之和，其最小值為 3。 【發(fā)現(xiàn)】通過（ 2）和（ 3）的演算可知，對于 t取任何不為零的實數(shù)，拋物線 E總過定點，坐標為 ▲ 。 ∴ 點 A在拋物線 E上。 ∵ 將 x=－ 1代入 2y= 3x +5x+2? ，得 y= 6 6?? ， ∴ 二次函數(shù) 2y= 3x +5x+2? 的圖象不經(jīng)過點 B。 ∴C 1（ 0， 132 ）。 ∴D 2（ 0，－ 1）。 當拋物線經(jīng)過 A、 B、 C1時，將 C1（ 0， 132 ）代入 ? ? ? ?? ?2y = t x 3 x + 2 + 1 t 2 x + 4? ? ?得1 5t=4?； 當拋物線經(jīng)過 A、 B、 D1時，將 D1（ 3， 12 ）代入 ? ? ? ?? ?2y = t x 3 x + 2 + 1 t 2 x + 4? ? ?得2 5t=8； 當拋物線經(jīng)過 A、 B、 C2時，將 C2（－ 3， 5）代入 ? ? ? ?? ?2y = t x 3 x + 2 + 1 t 2 x + 4? ? ?得1 1t=2?； 當拋物線經(jīng)過 A、 B、 D2時，將 D2（ 0，－ 1）代入 ? ? ? ?? ?2y = t x 3 x + 2 + 1 t 2 x + 4? ? ?得2 5t=2。 （ 2）根據(jù)點 在曲線上，點的坐標滿足方程的關系驗證即可。 【應用 2】根據(jù)條件，作出矩形，求出各點坐標，根據(jù)新定義求出 t的值。 ∴ Ｃ (72， 52) 到線段 AB的距離是 3－ 52＝ 12。 ① 當 m≥4 時， n＝ m－ 1≥3 。 ② 當 m＜ 4時， n＝ m－ 1＜ 3。 綜上所述， 3＜ m＜ 5。 10. （ 2020湖北宜昌 7分） 蓄電池的電壓為定值，使用此電源時，電流 I（ A）是電阻 R（ Ω ）的反比例函數(shù)，其圖象如圖所示． （ 1）求這個反比 例函數(shù)的表達式； （ 2）當 R=10Ω 時，電流能是 4A嗎？為什么？ 【答案】 解：（ 1） ∵ 電流 I（ A）是電阻 R（ Ω ）的反比例函數(shù)， ∴ 設 I=kR （ k≠0 ）。 【考點】 跨學科問題，反比例函數(shù)的應用，曲線上點的坐標與方程的關系。 ∵BC ＝ 6， ∴MN=3 。 （ 2） ① 如圖所示： ② 每條對角線處可作 4個三角形與原三角形相似，那么共有 8個。 ∴ 四邊形 EFGH是平行四邊形。 13. （ 2020湖南張家界 8分） 閱讀材料：對于任何實數(shù)，我們規(guī)定符號 abcd 的意義是 abcd =ad﹣ bc．例如：1 234 =14 ﹣ 23= ﹣ 2， 1 43 5? =（﹣ 2） 5 ﹣ 43= ﹣ 22． （ 1）按照這個規(guī)定，請你計算 5678 的值； （ 2）按照這個規(guī)定，請你計算：當 x2﹣ 4x+4=0時， x+1 2xx 1 2x 3?? 的值． 【答案】 解：（ 1） 5678 =58 ﹣ 76= ﹣ 2。 【分析】 （ 1）根據(jù)符號 abcd 的意義得到 58 ﹣ 76 ，再進行實數(shù)的運算即可。 （ 2）存在。 當 4x=3 時， 22 4 4 1 3x 4 x 5 = 4 5 =3 3 9??? ? ? ? ?????， ∴P （ 43 ， 139 ）。 ∴A （－ 3， 0）。 【分析】 （ 1）按例求解即可。 ∴ x+1 2x 3 4=x 1 2x 3 1 1?? =31 ﹣ 41= ﹣ 1。 16. （ 2020貴州銅仁 10分） 如圖，定義：在直角三角形 ABC中，銳角 α 的鄰邊與對邊的比叫做角 α 的余切，記作 ctanα ，即 ctanα= ACBC?? ?角 的角 的 鄰 邊對 邊，根據(jù)上述角的余切定義，解下列問題： （ 1） ctan30176。3 ABAC 2 31BC AB2? ? ?。 角的直角三角形的性質，銳角三角函數(shù)的定義，勾股定理。 17. （ 2020甘肅蘭州 10分） 如圖，定義：若雙曲線 ky=x (k＞ 0)與它的其中一條對稱軸 y＝ x相交于 A、B兩點，則線段 AB的長度為雙曲線 ky=x (k＞ 0)的對徑． (1)求雙曲線 1y=x 的對徑． (2)若雙曲線 ky=x (k＞ 0)的對徑是 102 ，求 k的值． (3)仿照上述定義，定義雙曲線 ky=x (k＜ 0)的對徑． 【答案】 解：如圖，過 A點作 AC⊥x 軸于 C， （ 1）解方程組 ky=xy=x?????，得 12x =1 x = 1y =1 y = 1???????? ， ∴A 點坐標為 (1， 1)， B點坐標為 (－ 1，－ 1)。 ∴OA ＝ 2 OC＝ 2 AC， ∴OC ＝ AC＝ 5。 【考點】 新定義，反比例函數(shù)綜合題，曲線上點的坐標與方程的關系，