【正文】 【考點】 新定義，反比例函數(shù)綜合題，曲線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，勾股定理。 17. （ 2020甘肅蘭州 10分） 如圖，定義：若雙曲線 ky=x (k＞ 0)與它的其中一條對稱軸 y＝ x相交于 A、B兩點，則線段 AB的長度為雙曲線 ky=x (k＞ 0)的對徑． (1)求雙曲線 1y=x 的對徑． (2)若雙曲線 ky=x (k＞ 0)的對徑是 102 ，求 k的值． (3)仿照上述定義，定義雙曲線 ky=x (k＜ 0)的對徑． 【答案】 解：如圖，過 A點作 AC⊥x 軸于 C， （ 1）解方程組 ky=xy=x?????，得 12x =1 x = 1y =1 y = 1???????? ， ∴A 點坐標(biāo)為 (1， 1)， B點坐標(biāo)為 (－ 1，－ 1)。3 ABAC 2 31BC AB2? ? ?。 ∴ x+1 2x 3 4=x 1 2x 3 1 1?? =31 ﹣ 41= ﹣ 1。 ∴A （－ 3， 0）。 （ 2）存在。 13. （ 2020湖南張家界 8分） 閱讀材料：對于任何實數(shù)，我們規(guī)定符號 abcd 的意義是 abcd =ad﹣ bc．例如：1 234 =14 ﹣ 23= ﹣ 2， 1 43 5? =（﹣ 2） 5 ﹣ 43= ﹣ 22． （ 1）按照這個規(guī)定，請你計算 5678 的值； （ 2）按照這個規(guī)定，請你計算：當(dāng) x2﹣ 4x+4=0時， x+1 2xx 1 2x 3?? 的值． 【答案】 解：（ 1） 5678 =58 ﹣ 76= ﹣ 2。 （ 2） ① 如圖所示： ② 每條對角線處可作 4個三角形與原三角形相似，那么共有 8個。 【考點】 跨學(xué)科問題，反比例函數(shù)的應(yīng)用，曲線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系。 綜上所述， 3＜ m＜ 5。 ① 當(dāng) m≥4 時， n＝ m－ 1≥3 。 【應(yīng)用 2】根據(jù)條件，作出矩形，求出各點坐標(biāo)，根據(jù)新定義求出 t的值。 當(dāng)拋物線經(jīng)過 A、 B、 C1時，將 C1（ 0， 132 ）代入 ? ? ? ?? ?2y = t x 3 x + 2 + 1 t 2 x + 4? ? ?得1 5t=4?； 當(dāng)拋物線經(jīng)過 A、 B、 D1時，將 D1（ 3， 12 ）代入 ? ? ? ?? ?2y = t x 3 x + 2 + 1 t 2 x + 4? ? ?得2 5t=8； 當(dāng)拋物線經(jīng)過 A、 B、 C2時，將 C2（－ 3， 5）代入 ? ? ? ?? ?2y = t x 3 x + 2 + 1 t 2 x + 4? ? ?得1 1t=2?； 當(dāng)拋物線經(jīng)過 A、 B、 D2時，將 D2（ 0，－ 1）代入 ? ? ? ?? ?2y = t x 3 x + 2 + 1 t 2 x + 4? ? ?得2 5t=2。 ∴C 1（ 0， 132 ）。 ∴ 點 A在拋物線 E上。 （ 2）根據(jù)新定義知 d（ M， Q） =|x﹣ 2|+|y﹣ 1|=|x﹣ 2|+|x+2﹣ 1|=|x﹣ 2|+|x+1|，然后由絕對值與數(shù)軸的關(guān)系可知， |x﹣ 2|+|x+1|表示數(shù)軸上實數(shù) x所對應(yīng)的點到數(shù) 2和﹣ 1所對應(yīng)的點的距離之和，其最小值為 3。同理， F2的證明。 （ 2）如圖 3，過點 M作 MH⊥AB 于點 H。 5. （ 2020浙江紹興 10分） 聯(lián)想三角形外心的概念，我們可引入如下概念。 此時1 2 4 6x 6 = 6 = 055? ? ?,點 M4在圓弧的另一半上，不合題意，舍去。 ∵ 點 M為線段 BC的中點 , BC=4， ∴OH 1=5時， m=3； OH2=3時， m=1。 ∵A(4 ， 0)， B(m， n)， AB=2， ∴EA=4 － m。 角的直角三角形的性質(zhì)，即可求得 n的值。 而 CB′=AC=AB=B′C′ ， BC=1， ∴AB 2=1（ 1+AB），解得， 15AB 2?? 。 又 ∵∠BAC=36176。 ． 在 Rt△AB B39。 ， BC=l，對 △ABC 作變換得 △AB′C′ ，使點 B、 C、 B′ 在同一直線上，且四邊形 ABB39。 （ 3）由于矩形的對角線相等且互相平分，所以若存在以原點 O為對稱中心的矩形 ABCD，那么必須滿足 OA=OB，結(jié)合（ 1）的結(jié)論，這個 “ 拋物線三角形 ” 必須是等邊三角形，首先用 b′ 表示出 AE、 OE的長，通過 △OAB 這個等邊三角形來列等量關(guān)系求出 b′ 的值，進而確定 A、 B 的坐標(biāo)，即可確定 C、 D 的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)即可求出過 O、 C、 D的拋物線的解析式。= 3 b39。 （ 2） ∵ 拋物線 2y= x +b x(b 0)? 的 “ 拋物線三角形 ” 是等腰直角三角形， ∴ 該拋物線的頂點 2bb24??????，滿足 2bb=24（ b＞ 0）。 【考點】 新定義，直線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān) 系，直線和圓的性質(zhì)，解一元二次方程，勾股定理，相似三角形的和性質(zhì)。 ∴ 點 C與點 D的 “ 非常距離 ” 的最小值 距離為 87， 此時 8 15C77???????。 【分析】 根據(jù) 定義 化簡 +1 1 =81 +1xxxx?? ，得： ? ? ? ?22+1 1 =8xx?? ， 整理得： ? ? ? ?22+ 2 + 1 1 2 + = 8x x x x??，即 4=8x ，解得： =2x 。 【考點】 新定義，代數(shù)式求值。 檢驗：把 x=3代入最簡公分母 2（ x﹣ 1） =4≠0 ，故 x=3是原分式方程的解。 【考點】 新定義，一次函數(shù)和 正比例函數(shù)的定義，解分式方程。 【分析】 由題意應(yīng)先進行 f方式的變換，再進行 g方式的變換，注意運算順序 及坐標(biāo)的符號變化： ∵f （﹣ 6， 7） =（ 7，﹣ 6）， ∴g （ f（﹣ 6， 7）） =g（ 7，﹣ 6） =（﹣ 7， 6）。 8. （ 2020山東萊蕪 3分） 對于非零的實數(shù) a、 b，規(guī)定 a⊕b ＝ 1 b － 1 a ．若 2⊕(2x － 1)＝ 1，則 x＝【 】 A． 5 6 B． 5 4 C． 3 2 D．－ 1 6 【答案】 A。 6. （ 2020貴州六盤水 3分） 定義： f（ a， b） =（ b， a）， g（ m， n） =（﹣ m，﹣ n）．例如 f（ 2， 3） =（ 3，2）， g（﹣ 1，﹣ 4） =（ 1， 4）．則 g等于【 】 A． （﹣ 6， 5） B． （﹣ 5，﹣ 6） C． （ 6，﹣ 5） D． （﹣ 5， 6） 【答案】 A。 【考點】 跨學(xué)科問題，待定系數(shù)法，曲線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系。 【考點】 跨學(xué)科問題， 反比例函數(shù)的圖象。 【分析】 如圖，根據(jù)入射線與水平線的夾角等于反射線與水平線的夾角，可求最后落入 ① 球洞。 【分析】 畫出兩條相交直線，到 l1的距離為 2的直線有 2條，到 l2的距離為 3的直線有 2條，看所畫的這些直線的交點有幾個即為所求的點的個數(shù)： 如圖所示，所求的點有 4個。 【考點】 跨學(xué)科問題，函數(shù)的圖象。 【考點】 新定義，求函數(shù)值。故選 A。 因為小明用彈簧稱將鐵塊 A懸于盛有水的水槽中，然后勻速向上提起，直至鐵塊完全露出水面一定高度。 【考點】 新定義，一次函數(shù)和正比例函數(shù)的定義，解分式方程。 【分析】 ∵9 ＜ 10＜ 16， ∴ 3 10 4 4 10 +1 5 ， 。 則曲線 CDEF的長是： 24+ +2 433?? ??? 。 （ 2） ① 設(shè) C坐標(biāo)為003x x 34???????，如圖，過點 C作 CP⊥x軸于點 P，作 CQ⊥y 軸于點 Q。 設(shè) C坐標(biāo)為003x x 34???????， 由 “ 非常距離 ” 的定義知，當(dāng) MP=NQ時，點 C與點 E的 “ 非常距離 ” 最小， ∴003 3 4x + x 35 4 5? ? ?。 2. （ 2020 陜西省 10 分） 如果一條拋物 線 ? ?2y= ax + bx+ c a 0?與 x 軸有兩個交點，那么以該拋物線的頂點和這兩個交點為頂點的三角形稱為這條拋物線的 “ 拋物線三角形 ” ． （ 1） “ 拋物線三角形 ” 一定是 三角形； （ 2）若拋物線 2y= x +b x(b 0)? 的 “ 拋物線三角形 ” 是等腰直角三角形，求 b的值； （ 3）如圖， △OAB 是拋物線 2y= x +b 39。 又 ∵AO=AB ， ∴△OAB 為等邊三角形。 【考點】 二次函數(shù)綜合題，新定義，待定系數(shù)法，曲線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，中心對稱的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)。 ，使點 B、 C、 C′ 在同一直線上，且四邊形 ABB39。 ∴θ=∠CAC′=∠BAC′ ﹣ ∠BAC=90176。 。 而 ∠B=∠B ， ∴△ABC∽△B′BA 。 。 （ 2） ∵ 點 B落在圓心為 A，半徑為 2的圓上， ∴2≤m≤6 。 ② 存在。 若 △AOD∽△A H 2M2，則 4244AH x 4 2=M H 1x + 1 2 x 3 2?? ??,即 23x 32x+80=0? , 解得1220x = x =43 ，（不合題意，舍去）。 （ 2）分 2≤m ＜ 4和 4≤m≤6 兩種情況討論即 可。 6. 1. （ 2020 江蘇常州 7分） 平面上兩條直線 AB、 CD相交于點 O，且 ∠BOD=150 0（如圖），現(xiàn)按如下要求規(guī)定此平面上點的 “ 距離坐標(biāo) ” ： （ 1）點 O的 “ 距離坐標(biāo) ” 為（ 0， 0）； （ 2）在直線 CD上，且到直線 AB的距離為 p（ p＞ 0）的點的 “ 距離坐標(biāo) ”