【正文】 為（ p， 0）；在直線 AB上，且到直線 CD的距離為 q（ q＞ 0）的點(diǎn)的 “ 距離坐標(biāo) ” 為（ 0， q）； （ 3）到直線 AB、 CD 的距離分別為 p、 q（ p＞ 0， q＞ 0）的點(diǎn)的 “ 距離坐標(biāo) ” 為（ p， q）。 【考點(diǎn)】 新定義，作圖（復(fù)雜作圖），含 300角直角三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值。 ∴ 點(diǎn) M（ 2， 1）到直線 y=x+2的直角距離為 3。 【應(yīng)用 1】二次函數(shù) 2y= 3x +5x+2? 是二次函數(shù) 2y=x 3x+2? 和一次函數(shù) y= 2x+4? 的一個(gè) “ 再生二次函數(shù) ” 嗎？如果是，求出 t的值；如果不是，說(shuō)明理由； 【應(yīng)用 2】以 AB為邊作矩形 ABCD，使得其中一個(gè)頂點(diǎn)落在 y軸上，或拋物線 E經(jīng)過 A、 B、 C、 D其中的一點(diǎn)，求出所有符合條件的 t的值。 ∴ 二次函數(shù) 2y= 3x +5x+2? 不是二次函數(shù) 2y=x 3x+2? 和一次函數(shù) y= 2x+4? 的一個(gè) “ 再生二次函數(shù) ” 。 易得 △TBC 2≌△OD 2A，得 TC2=AO=2， BT==OD2=1。 （ 3）根據(jù)點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程的關(guān)系，將（－ 1， n）代入函數(shù)關(guān)系式? ? ? ?? ?2y = t x 3 x + 2 + 1 t 2 x + 4? ? ?即可求得 n的值。 ∵ 12＜ 1， ∴ Ｃ (72， 52)是線段 AB的 “ 鄰近點(diǎn) ” 。 又 AB∥x 軸， ∴ 此時(shí)點(diǎn) Q(m， n)到線段 AB的距離是 3－ n。 把（ 4， 9）代入得： k=49=36 。 ② 如圖 B，過點(diǎn) M作 ∠AMN=∠ACB 交 AC 于點(diǎn) N， 則 △AMN∽△ACB ， ∴ MN AMBC AC? 。 【考點(diǎn)】 新定義，三角形中位線定理，平行四邊形的 判定。 （ 2）解方程 x2﹣ 4x+4=0得 x=2，代入 x+1 2xx 1 2x 3?? ，然后根據(jù)符號(hào) abcd 的意義得到 31 ﹣ 41 ，再進(jìn)行實(shí)數(shù)的運(yùn)算。 又在 4y x 43?? ? 中，令 x=0，則 y=－ 4。 （ 2）用二次函數(shù)的最值，求出點(diǎn) P到直線 AB的距離最小值，即可求出答案。= ； （ 2）如圖，已知 tanA=43 ，其中 ∠A 為銳角，試求 ctanA的值． 【答案】 解：（ 1） ∵Rt△ABC 中， α=30176。 【分析】 （ 1）根據(jù) 30176。 ∴ 點(diǎn) A坐標(biāo)為 (5， 5)。 。 （ 2） ∵ 雙曲線的對(duì)徑為 102 ，即 AB＝ 102 ， OA＝ 5 2 。 【考點(diǎn)】 新定義，含 30176。 （ 2）解方程 x2﹣ 4x+4=0得 x=2，代入 x+1 2xx 1 2x 3?? ，然后根據(jù)符號(hào) abcd 的意義得到 31 ﹣ 41 ，再進(jìn)行實(shí)數(shù)的運(yùn)算。 【考點(diǎn)】 新定義，二次函數(shù)的性質(zhì)，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，勾股定理。 ∴ 當(dāng) 4x=3 時(shí)， d最小，為 133 。 【考點(diǎn)】 新定義，實(shí)數(shù)的運(yùn)算，解一元二次方程。 ∴EF∥HG ， EF=HG。 11. （ 2020湖北武漢 10分） 已知 △ABC 中， AB＝ 25， AC＝ 45， BC＝ 6． (1)如圖 1，點(diǎn) M為 AB的中點(diǎn)，在線段 AC上取點(diǎn) N，使 △AMN 與 △ABC 相似，求線段 MN的長(zhǎng)； (2)如圖 2，是由 100個(gè)邊長(zhǎng)為 1 的小正方形組成的 1010 的正方形網(wǎng)格，設(shè)頂點(diǎn)在這些小正方形頂點(diǎn) 的三角形為格點(diǎn)三角形． ① 請(qǐng)你在所給的網(wǎng)格中畫出格點(diǎn) △A 1B1C1與 △ABC 全等 (畫出一個(gè)即可，不需證明 )； ② 試直接寫出所給的網(wǎng)格中與 △ABC 相似且面積最大的格點(diǎn)三角形的個(gè)數(shù)，并畫 出其中一個(gè) (不需 證明 )． 【答案】 解：（ 1） ① 如圖 A，過點(diǎn) M作 MN∥BC 交 AC于點(diǎn) N， 則 △AMN∽△ABC ， ∵M(jìn) 為 AB中點(diǎn)， ∴MN 是 △ABC 的中位線。 （ 2）分 m≥4 和 m＜ 4討論即可。 ∴4≤m ＜ 5。 ∵ 點(diǎn) A的縱坐標(biāo)與點(diǎn) B的縱坐標(biāo)相同， ∴ AB∥x 軸 。 【分析】 【嘗試】（ 1）當(dāng) t=2時(shí)，拋物線為 ? ?22y = 2 x 4 x = 2 x 1 2? ? ?， ∴ 拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（ 1，－ 2）。 易得 △OAD 2∽GAD 1，則 12DG AGOD OA? ， 由 AG=1， OA=2， GD1=12 得21 12OD 2?，得 OD2=1。 【應(yīng)用 1】不是。 （ 2）判斷點(diǎn) A是否在拋物線 E上； （ 3）求 n的值。 7. （ 2020江蘇無(wú)錫 8分） 對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的任意兩點(diǎn) P1（ x1， y1）， P2（ x2， y2），我們把 |x1﹣ x2|+|y1﹣ y2|叫做 P P2兩點(diǎn)間的直角距離，記作 d（ P1， P2）． （ 1）已知 O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn) P（ x， y）滿足 d（ O， P） =1，請(qǐng)寫出 x與 y之間滿足的關(guān)系式，并在所給的直角坐標(biāo)系中畫出所有符合條件的點(diǎn) P所組成的圖形； （ 2）設(shè) P0（ x0， y0）是一定點(diǎn)， Q（ x， y）是直線 y=ax+b上的動(dòng)點(diǎn)，我們把 d（ P0， Q）的最小值叫做 P0到直線 y=ax+b的直角距離．試求點(diǎn) M（ 2， 1）到直線 y=x+2的 直角距離． 【答案】 解：（ 1）由題意，得 |x|+|y|=1。 在 Rt△MHO 中， MHsin HOM MO??， ∴ 0 msin60 n? ，即 3m2n? ，即 2m 3n? 。 應(yīng)用：如圖 2， CD為等邊三角形 ABC的高，準(zhǔn)外心 P在高 CD 上，且 PD=12 AB，求 ∠APB 的度數(shù)。 【分析】 （ 1）根據(jù)定義，當(dāng) m=2， n=2時(shí)，線段 BC與線段 OA的距離是點(diǎn) A到 BC的距離 2。 設(shè) OH4=x, 則 FH4= x－ 6。 （ 3） ① 如圖，由（ 2）知，當(dāng)點(diǎn) B在 ⊙O 的左半圓時(shí)， d=2 ，此時(shí)，點(diǎn) M是圓弧 M1M2，長(zhǎng) 2π ； 當(dāng)點(diǎn) B從 B1到 B3時(shí)， d=2 ，此時(shí)，點(diǎn) M是線段 M1M3，長(zhǎng)為 8； 同理，當(dāng)點(diǎn) B在 ⊙O 的左半圓時(shí)，圓弧 M3M4長(zhǎng) 2π ；點(diǎn) B從 B2到 B4時(shí)，線段 M1M3=8。 4. （ 2020浙江 臺(tái)州 14分 ） 定義： P、 Q分別是兩條線段 a和 b上任意一點(diǎn)，線段 PQ長(zhǎng)度的最小值叫做線段與線段的距離 . 已知 O(0， 0)， A(4， 0)， B(m， n)， C(m+4， n)是平面直角系中四點(diǎn) . （ 1）根據(jù)上述定義，當(dāng) m=2， n=2時(shí)，如圖 1，線段 BC與線段 OA的距離是 _____, 當(dāng) m=5， n=2時(shí)，如圖 2，線段 BC與線段 OA的距離 (即線段 AB的長(zhǎng) )為 ______ （ 2）如圖 3，若點(diǎn) B落在圓心為 A，半徑為 2的圓上，線段 BC與線段 OA的距離記為 d，求 d關(guān)于 m的函數(shù)解析式 . （ 3）當(dāng) m的值變化時(shí)，動(dòng)線段 BC 與線段 OA的距離始終為 2，線段 BC的中點(diǎn)為 M. ① 求出點(diǎn) M隨線段 BC運(yùn)動(dòng)所圍成的封閉圖形的周長(zhǎng) 。 【分析】 （ 1）根據(jù)題意得： △ABC∽△AB′C′ ， ∴S △AB′C′ ： S△ABC = ? ?2 2AB = 3 3AB??? ?????， ∠ B=∠B′ 。 ∴∠C′AB′=∠BAC=36176。 ， ∠BAB′=60176。 （ 2） ∵ 四邊形 ABB′C′ 是矩形， ∴∠BAC′=90176。 ，對(duì) △ABC 作變換得 △AB39。 設(shè)過點(diǎn) O、 C、 D三點(diǎn)的拋物線 2y=mx +nx ，則 12m 2 3n=03m 3n= 3? ???????，解得， m=1n=2 3?????。 如圖，作 △OCD 與 △OAB 關(guān)于原點(diǎn) O中心對(duì)稱， 則四邊形 ABCD為平行四邊形。故而 C、 D為正方形相對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)時(shí)有最小的非常距離。 由 △OAB∽△MEM ， OE=1，得 OM=35， ON=45。 【答案】 解：（ 1） ① （ 0，－ 2）或（ 0， 2） 。 【考點(diǎn) 】 新定義，等邊三角形的性質(zhì)，三角形外角定理，弧長(zhǎng)的計(jì)算。 【答案】 4。 檢驗(yàn)：把 x=3代入最簡(jiǎn)公分母 2（ x﹣ 1） =4≠0 ，故 x=3是原分式方程的解。 【考點(diǎn)】 跨學(xué)科問題，函數(shù)的圖象。 ∴ ? ?1 3 5= 3 2 x 1 = 2 6 x 3 = 2 6 x = 5 x =2 x 1 2 6? ? ? ? ? ?? 。 故選 A。故選 C。 3. （ 2020 湖北隨州 4 分） 定義：平面內(nèi)的直線 l1與 l2相交于點(diǎn) O，對(duì)于該平面內(nèi)任意一點(diǎn) M，點(diǎn) M到直線 l l2的距離分別為 a、 b，則稱有序非實(shí)數(shù)對(duì)（ a， b）是點(diǎn) M的 “ 距離坐標(biāo) ” ，根據(jù)上述定義，距離坐標(biāo)為（ 2， 3）的點(diǎn) 的個(gè)數(shù)是【 】 C. 4 【答案】 C。2020 年全國(guó)中考數(shù)學(xué)試題分類解析匯編 (159 套 63 專題） 專題 59：新定義和跨學(xué)科問題 一、選擇題 1. （ 2020浙江麗水 、金華 3分） 如圖是一臺(tái)球桌面示意圖，圖中小正方形的邊長(zhǎng)均相等，黑球放在如圖所示的位置，經(jīng)白球撞擊后沿箭頭方向運(yùn)動(dòng)，經(jīng)桌邊反彈最后進(jìn)入球洞的序號(hào)是【 】 A． ① B． ② C． ⑤ D． ⑥ 【答案】 A。故選 D。 ∴ 6I=R 。 【分析】 根據(jù)新定義先求出 f（﹣ 5， 6），然后根據(jù) g的定義解答即可： ∵ 根據(jù)定義， f（﹣ 5， 6） =（ 6，﹣ 5）， ∴g=g （ 6，﹣ 5） =（﹣ 6， 5）。 【分析】 ∵a⊕b ＝ 1 b