【正文】 t,2≤yzt。 因?yàn)?45=410+5，由抽屜原理，必有一個(gè)元素出現(xiàn)在至少 5 個(gè)五元子集中，不妨設(shè) 0出現(xiàn)在五元子集 A1， A2， A3， A4， A5中，這 5 個(gè)子集中除 0 外，重復(fù)計(jì)數(shù)還含有共 45=20個(gè)元素，因?yàn)?20=29+2。 答案： 證明：由已知，若 x∈ S， y∈ Sj，則 yx∈ Sk, (yx)y=x∈ Si, 所以每個(gè)集合 中均有非負(fù)元素。 來源： 08 年數(shù)學(xué)競賽專題一 題型：解答題，難度：較難 求證：集合 {1， 2， … ， 1989}可以劃分為 117 個(gè)互不相交的子集 )117,2,1( ??iAi ，使得（ 1）每個(gè) iA 恰有 17 個(gè)元素；（ 2）每個(gè) iA 中各元素之和相同。由此可見，放入每個(gè) Ai的 3 個(gè)數(shù)之和都是 528。由于 a+b=c(a1+b1), ab=c2a1b1，因此（ a1+b1） |ca1b1。 令 M={6， 12， 15， 18， 20， 21， 24， 35， 40， 42， 45， 48}，則上述 23個(gè)數(shù)對中的每一個(gè)數(shù)都至少包含 M 中的 1個(gè)元素。故所求的最小自然數(shù) k=39. 來源： 08 年數(shù)學(xué)競賽專題一 題型：解答題，難度：較難 設(shè) 2021 , aaa ? 是 20 個(gè)兩兩不同的整數(shù)，且整合 }201{ ???? jiaa ji 中有 201 個(gè)不同的元素，求集合 }201{ ???? jiaaji中不同元素個(gè)數(shù)的最小可能值。 若存在一個(gè)使所給集合的元素個(gè)數(shù)小于 100 的集合 S={a1, a2,? ,a10}，我們計(jì)算 S 的“好子集” {x,y,z,w}的個(gè)數(shù)，這里 xy≤ zw， 且 x+w=y+z. 對 S 中滿足 bc 的數(shù)對（ b,c）（共 190 對），考慮它們的差 bc，由于至多有 99 個(gè)不同的差（這里用反證法假設(shè)），故必須至少 91 個(gè)數(shù)對（ b, c），使得存在 b’, c’ ∈ S， 滿足 b’b, c’c, 且 bc=b’c’，對這樣的 91 個(gè)數(shù)對（ b, c），它與其相應(yīng)的 b’, c’ 形成 S 的一個(gè) 4 元集 {b, c, b’, c’}，可得到 S的一個(gè)“好子集” {x, y, z, w}，且至多兩個(gè)數(shù)對（ b, c）形成相同的子集 {x, y ,z, w}（只能是（ b,c） =(w, z)和（ w, y）），故 S 的“好子集”至少有 46 個(gè)。這與 s 的“好子集”至少有 46 個(gè)矛盾，所以，所給集合中至少有 100 個(gè)不同的元素。求證：其中必定有兩個(gè)人，他們的公共朋友的個(gè)數(shù)為偶數(shù)。 設(shè) k=2m，現(xiàn)在考慮每個(gè) Fi∈ M，他的所有朋友集不包括 A，但不局限于 M 中他的這樣的朋友數(shù)為奇數(shù)（因?yàn)?Fi的朋友數(shù)為偶數(shù)，而 A不算在內(nèi)）。 來源： 08 年數(shù)學(xué)競賽專題一 題型：解答題，難度：較難 集合 ??? NkkX },6,2,1{ ? ，試作出 X 的三元子集族 amp。(6amp。 引理的證明：如圖所示，將 1， 2，?， 2n1個(gè)數(shù)按順時(shí)針方向放到一個(gè)正 2n1 邊形的頂點(diǎn)上，數(shù) 2n 放在外接圓圓心上。 令 A={1， 2，?， 2k}， B={2k+1,2k+2,? ,4k}， C={4k+1,4k+2,? ,6k}。 上面得到的 k2k3=6k2個(gè) X 的三元子集組成的族 amp。所以 ).( BAM ?? 綜上， 來源： 08 年數(shù)學(xué)競賽專題一 題型：解答題，難度：較難 設(shè)集合 A= },01),{( 2 ??? xyyx B={ 05224),( 2 ???? yxxyx }C= }),{( bkxyyx ?? ， 問：是否存在 Nbk ?, ，使得 ??CBA ?? )( ，并證明你的結(jié)論。由②得 05)(224 2 ????? bkxxx ，即025)1(24 2 ????? bxkx 無解，所以 0)25(16)1(439。所以 1?k ，反之 2,1 ?? bk 時(shí)，④，⑤均成立，從而①，②無解，所以存在 2,1 ?? bk 滿足條件。 來源： 08 年數(shù)學(xué)競賽專題一 題型：解答題，難度：較難 設(shè) A={1， 2， 3， 4， 5， 6}， B={7， 8， 9，??， n}，在 A中取三個(gè)數(shù)， B 中取兩個(gè)數(shù)組成五個(gè)元素的集合 iA ， .201,2,20,2,1 ????? jiAAi ji ?? 求 n 的最小值。當(dāng) 16?n 時(shí)，如下 20 個(gè)集合滿足要求： {1， 2， 3， 7， 8}， {1， 2， 4， 12， 14}， {1， 2， 5， 15， 16}， {1， 2， 6， 9，10}， {1， 3， 4， 10， 11}， {1， 3， 5， 13， 14}， {1， 3， 6， 12， 15}， {1， 4， 5， 7，9}， {1， 4， 6， 13， 16}， {1， 5， 6， 8， 11}， {2， 3， 4， 13， 15}， {2， 3， 5， 9，11}， {2， 3， 6， 14， 16}， {2， 4， 5， 8， 10}， {2， 4， 6， 7， 11}， {2， 5， 6， 12，13}， {3， 4， 5， 12， 16}， {3， 4， 6， 8， 9}， {3， 5， 6， 7， 10}， {4， 5， 6， 14，15}。 來源： 08 年數(shù)學(xué)競賽專題一 題型：解答題，難度：較難 求所有自然數(shù) )2( ?nn ，使得存在實(shí)數(shù) naaa , 21 ? 滿足： }.2 )1(,2,1{}1}{ ?????? nnnjiaa ji ? 答案： 當(dāng) 2?n 時(shí)， 1,0 21 ?? aa ；當(dāng) 3?n 時(shí)， 3,1,0 321 ??? aaa ；當(dāng) 4?n 時(shí)， 1,5,2,0 4321 ???? aaaa 。 （ⅱ）若 1,2 )1(2 ??? anna n，考慮 2?na ，有 12 ??? nn aa 或 32 aaa nn ??? ，即 23?a ，這時(shí) 1223 aaaa ??? ，推出矛盾，故 21 ??? nn aa 。 來源： 08 年數(shù)學(xué)競賽專題一 題型：解答題，難度：較難 求 1， 2， 3，?， 100 中不能被 2， 3， 5 整除的數(shù)的個(gè)數(shù)。又因?yàn)?2020=182 11+2，所以 S一 共至多含有 182 5+2=912個(gè)元素，另一方面，當(dāng) },2 0 0 4,10,7,4,2,1,11{ NkrttkrrS ?????? 時(shí)，恰有 912?S ，且 S 滿足題目條件，所以最少含有 912 個(gè)元素。 答案： (Ⅰ )∵ ]4,2[??A ， ],3[ mmB ?? ]4,2[??BA , ∴ ??? ? ??4 23mm ∴ 5?m (Ⅱ ) },3{ mxmxxBC R ???? 或 ∵ ? BA R? ∴ 43,2 ???? mm 或 ， ∴ 27 ??? mm 或 來源： 09 年江蘇南通月考一 題型：解答題，難度：較難 已知集合 ? ?12 ( 2)kA a a a k? ， ， ， ≥，其中 ( 1 2 )ia i k??Z ， ， ，由 A 中的元素構(gòu)成兩個(gè)相應(yīng)的集合： ? ?()S a b a A b A a b A? ? ? ? ?， ， ， ? ?()T a b a A b A a b A? ? ? ? ?， ， ，. 其中 ()ab， 是有序數(shù)對，集合 S 和 T 中的元素個(gè)數(shù)分別為 m 和 n . 若對于任意的 aA? ，總有 aA?? ，則稱集合 A 具有性質(zhì) P . (1)檢驗(yàn)集合 ? ?0123， ， ， 與 ? ?123?， ， 是否具有性質(zhì) P 并對其中具有性質(zhì) P 的集合，寫出相應(yīng)的集合 S 和 T ； (2)對任何具有性質(zhì) P 的集合 A ，證明： ( 1)2kkn ?≤ ； (3)判斷 m 和 n 的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論 . 答案： (1)解：集合 ? ?0123， ， ， 不具有性質(zhì) P . 集合 ? ?123?， ， 具有性質(zhì) P ，其相應(yīng)的集合 S 和 T 是 ? ?( 1 3) (3 1)S ? ? ?， ， ， ， ? ?(2 1) 2 3T ? ? ? ?， ， ， . (2)證明：首先，由 A 中元素構(gòu)成的有序數(shù)對 ()ijaa， 共有 2k 個(gè) . 因?yàn)?0 A? ，所以 ( ) ( 1 2 )iia a T i k??， ， ， ，； 又因?yàn)楫?dāng) aA? 時(shí)， aA?? 時(shí)， aA?? ，所以當(dāng) ()ija a T?， 時(shí)，( ) ( 1 2 )jia a T i j k??， ， ， ， ，. 從而，集合 T 中元素的個(gè)數(shù)最多為 21 ( 1)()22kkkk ??? ， 即 ( 1)2kkn ?≤ . （ III）解： mn? ，證明如下： （ 1）對于 ()a b S?， ，根據(jù)定義， aA? ， bA? ，且 a b A?? ，從而 ()a b b T??， . 如果 ()ab， 與 ()cd， 是 S 的不同元素，那么 ac? 與 bd? 中至少有一個(gè)不成立，從而 a b c d? ? ? 與 bd? 中也至少有一個(gè)不成立 . 故 ()abb? ， 與 ()c d d? ， 也是 T 的不同元素 . 可見， S 中元素的個(gè)數(shù)不多于 T 中元素的個(gè)數(shù)，即 mn≤ ， （ 2）對于 ()a b T?， ，根據(jù)定義， aA? ， bA? ，且 a b A?? ，從而 ()a b b S??， .如果 ()ab， 與 ()cd， 是 T 的不同元素，那么 ac? 與 bd? 中至少有一個(gè)不成立，從而a b c d? ? ? 與 bd? 中也不至少有一個(gè)不成立， 故 ()a b b? ， 與 ()c d d? ， 也是 S 的不同元素 . 可見 ， T 中元素的個(gè)數(shù)不多于 S 中元素的個(gè)數(shù)，即 nm≤ ， 由（ 1）（ 2）可知， mn? . 來源： 07 年高考北京卷 題型：解答題，難度：較難 已知集合 }|{},102|{},73|{ axxCxxBxxA ???????? 求：（ 1） BA? ；（ 2） BACR ?)( ；（ 3）若 ??CA? ，求 a 的取值范圍。 . 答案： ? ?2,4,8 . 解法 1 {1, 2 , 3, 4 , 5 , 6 , 7, 8}U ? ，則 {1 , 3 , 5 , 7 } , { 3 , 6 , 9 } ,AB??所以{1, 3, 5, 7, 9}AB? ，所以 ( ) {2, 4, 8}U AB ?240。 來源： 09 年高考上海卷 題型：填空題，難度：中檔 集合 }1,12,3{},3,1,{ 22 ??????? mmmNmmM ，若 }3{??NM ? ，則?m _______。 答案： 用 n(A)表示集合 A所含元素的個(gè)數(shù)。 來源： 08 年數(shù)學(xué)競賽專題一 題型：填空題，難度：中檔 集合 M 由正整數(shù)的平方組成，即 }25,16,9,4,1{ ???M ，若對某集合中的任意兩個(gè)元素進(jìn)行某種運(yùn)算，運(yùn)算結(jié)果仍在此集合中，則稱此集合對該運(yùn)算是封閉的。 來源： 08 年數(shù)學(xué)競賽專題一 題型：填空題，難度：較難 已知集合 A={1， 3， 5， 7}， B={2， 3， 4， 5， 6}，則 A∩B=_________． 答案： {3， 5 來源： 題型：填空題，難度：容易 若實(shí)數(shù) a 為常數(shù)，且 ??????????? ????? axaxxAa 則,1112___________。 ④⑤⑥ 由④，⑤得 3+6aa22+4aa2，即 a21 。所以1,1 ????? yx