江南中學(xué)數(shù)學(xué)選拔賽試卷-預(yù)覽頁
【正文】 x2+xy+y2=1，則 x2xy+y 2的最大值是 ，最 小值是 。 k=0,1,2,3,4,5,6 時(shí)， k(6k)=0， 5， 8， 9， 8， 5， 0，所以 k(6k)≤ 9，即每個(gè)人勝負(fù)構(gòu)成的 “好角 ”不超過 9 個(gè)。 不妨設(shè) 7 個(gè)人為 A、 B、 C、 D、 E、 F、 G，讓他們按順時(shí)針圍著圓桌坐下， 假如每人勝他左邊的 3 人而負(fù)于他右邊的 3 人，則含 A的“圈”有 （ ABE），（ ACE），（ ACF），（ ADE），（ ADF），（ ADG）共 6 個(gè)． 這時(shí)“圈”的數(shù)目共有 67143? ? ． “圈”的數(shù)目不超過 14 也可以用下面的方法說明： 假如一次比賽后發(fā)現(xiàn)至少有 15 個(gè)圈，不妨設(shè)含 A的“圈”數(shù)最多，則 含 A的“圈”數(shù)≥ 7． 假設(shè)有 s 個(gè)人勝 A而 t 個(gè)人負(fù)于 A， s+t=6． 由于對(duì)稱性不妨設(shè) s≤ 3． （ 1）當(dāng) s＝ 0 時(shí)， t=6，沒有含 A的“圈”； 當(dāng) s＝ 1 時(shí)， t=5，含 A的“圈”最多 5 個(gè)； 所以當(dāng) s＝ 0 或 1 時(shí)，含 A的“圈”數(shù) 7． （ 2）若 s＝ 2，則 t=4． 不妨設(shè) B、 C 勝 A，而 D、 E、 F、 G負(fù)于 A，則只有當(dāng) D、 E、 F、 G均勝 B、 C或D、 E、 F、 G 中只有一人負(fù)于 B、 C 中的一人時(shí)，才有含 A的“圈”數(shù)≥ 7． ① D、 E、 F、 G 均勝 B、 C，則含 A的“圈”有 8 個(gè) ； D、 E、 F、 G 最多構(gòu)成 2 個(gè)“圈”． 故“圈”的總數(shù)目不超過 10． ② D、 E、 F、 G 中恰有一人負(fù)于 B、 C 中的一人，不妨設(shè) B 勝 D，則 含 A的“圈”有 7 個(gè)； B、 C、 D 可以構(gòu)成一個(gè)“圈”， D、 E、 F、 G 間的“圈”數(shù)最多 2 個(gè)． 故“圈”的總數(shù)目不超過 10． （ 3）若 s＝ 3，則 t=3． 不妨設(shè) B、 C、 D 勝 A，而 E、 F、 G 負(fù)于 A，則只有以下五種情況下，才有含 A 的“圈”數(shù)≥ 7： ① E、 F、 G 均勝 B、 C、 D，則含 A的“圈”有 9 個(gè)． E、 F、 G 之間和 B、 C、 D 之間至多有一個(gè)“圈”． 故“圈”的總數(shù)目不超過 11． ② E、 F、 G 中恰有一人負(fù)于 B、 C、 D 中的一人，不妨設(shè) B 勝 E，則 含 A的“圈”有 8 個(gè)； 且 B、 C、 D、 E 之間最多有 2 個(gè)“圈”， B、 E、 F、 G 之間最多有 2 個(gè)“圈”． 故“圈”的總數(shù)目不超過 12． ③ E、 F、 G 中有一人負(fù)于 B、 C、 D 中兩人，不妨設(shè) B、 C 勝 E．則 含 A的“圈”有 7 個(gè)； 且 B、 C、 D、 E 之間最多有 2 個(gè)“圈”， B、 C、 E、 F、 G之間最多有 4 個(gè)“圈”． 故“圈”的總數(shù)目不超過 13． ④ E、 F、 G 中有兩人負(fù)于 B、 C、 D 中的一人，不妨設(shè) B 勝 E、 F，則 含 A的“圈”有 7 個(gè)； 且 B、 C、 D、 G、 E之間最多有 3個(gè)“圈”， B、 C、 D、 E之間最多有 3個(gè)“圈”． 故“圈”的總數(shù)目不超過 13． ⑤ E、 F、 G 中有兩人分別負(fù)于 B、 C、 D 中的兩人，不妨設(shè) B 勝 E、 C 勝 F，則 含 A的 “圈 ”有 7 個(gè)； 且 B、 C、 D、 E、 F、 G 之間最多有 6 個(gè)“圈”． 故“圈”的總數(shù)目不超過 13． 所以假設(shè)不成立，“圈”的數(shù)目不超過 14． 綜上所述， “圈”的數(shù)目的最大值是 14．
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