【正文】 角形》的第一節(jié)，所需主要基礎知識有直角三角形的邊角關系，三角函數相關知識。四、學情分析對于高一的學生來說，已學的平面幾何，解直角三角形，三角函數等知識，有一定觀察分析、解決問題的能力，但對前后知識間的聯系、理解、應用有一定難度，因此思維靈活性受到制約。如果一節(jié)課有個好的開頭，那就意味著成功了一半。定理的發(fā)現：oo教師：如果把本題目中的有關數據變一下，其中A＝50，B＝80大家又該怎么做呢？學生1：同樣的做法（仍得作高）學生2：只需將已知數據代入上述等式即可求出兩邊的長度 教師：還需要再次作高嗎？ 學生：不用教師：對于任意的銳角三角形中的“已知兩角及其夾邊，求其他兩邊的長”的問題是否都可以用上述兩個等式進行解決呢？ 學生：可以教師：既然這兩個等式適合于任意的銳角三角形，那么我們只需要記住這兩個等式，以后若是再遇見銳角三角形中的這種問題，直接應用這兩個等式 并進行代入求值即可。（結論成立）教師：我們在銳角三角形中發(fā)現有這樣一個等式成立，接下來，用類比的方法對它分別在直角三角形和鈍角三角形中進行驗證，結果發(fā)現，這個等式對于任意的直角三角形和任意的鈍角三角形都成立，那么我們此時能否說：“這個等式對于任意的三角形都成立”呢？ 學生：可以教師：這就是我們這節(jié)課要學習的《正弦定理》（引出課題）定理的證明教師：展示正弦定理的證明過程證明：（1）當三角形是銳角三角形時，過點A作BC邊上的高線，垂直記作D，過點B向AC作高，垂直記作E，如圖：同理可得：所以易得（2）當三角形是直角三角形時；在直角三角形ABC中：若 因為：所以：故：即：（3）當三角形是鈍角三角形時（角C為鈍角）過點A作BC邊上的高線，垂直記作D由三角形ABC的面積可得 即：故：所以，對于任意的三角形都有教師：這就是本節(jié)課我們學習的正弦定理（給出定理的內容）（解釋定理的結構特征）思考：正弦定理可以解決哪類問題呢？ 學生：在一個等式中可以做到“知三求一” 定理的應用教師：接下來，讓我們來看看定理的應用（回到剛開始的那個實際問題，用正弦定理解決）（板書步驟）成立。教學重點：正弦定理的探索和證明及其基本應用?！緞?chuàng)設情境總結】：解決上述問題的過程中我們將距離的問題轉化為角，進而轉化為三角函數的問題進行計算?！編煛浚褐庇^的印象并不能代替嚴格的數學證明，所以，只是直觀的驗證是不夠的，那能不能對這個定理給出一個證明呢？【生】：可以用三角形的面積公式對正弦定理進行證明：S=1111absinC=acsinB=bcsinA，然后三個式子同時處以abc就可以得2222到正弦定理了。即在sinAsinCsinBsinC銳角三角形ABC中有每條邊和它所對的角的正弦值相等這個結論?！編煛浚捍蠹矣^察一下正弦定理的這個式子，它是一個比例式。下面我們來看正弦定理的一些應用。寫成數學式子就是abc==。學習重點: 正弦定理的證明和解三角形 學習難點: 正弦定理的證明 學習過程： 一．定理引入：提出問題：設點B在長江岸邊，點A在對岸那邊，為了測量A、B兩點間的距離，你有何好辦法呢？（給你尺和量角器材）二、定理講解：正弦定理 在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即abc== sinAsinBsinC正弦定理可以解決三角形中兩類問題：①已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角，進而可求其他的邊和角。 ,：在△ABC中，已知a=16, b=163 , A=30176。在△ABC中，已知a=4，b=46，A=60176。課后練習：一個三角形的兩個內角分別為30176。角所對邊的長為________________在△ABC中，b=3,c=33, B=30，求∠C?！螩 =∠B′，∴sinC=sinB′=. ∴.同理,可得. ∴.這就是說,對于任意的三角形,上述關系式均成立,因此,我們得到等式.點評:上述證法采用了初中所學的平面幾何知識,將任意三角形通過外接圓性質轉化為直角三角形進而求證,此證法在鞏固平面幾何知識的同時,易于被學生理解和接受,并且消除了學生所持的“向量方法證明正弦定理是唯一途徑”,又為下一步用向量方法證明正弦定理作了鋪墊. [知識拓展]師接下來,定理反映的是三角形的邊角關系,而在向量知識中,哪一知識點體現邊角關系呢?生向量的數量積的定義式Aθ這一形式,這是作輔助向量j垂直于三角形一邊的原因.師在向量方法證明過程中,構造向量是基礎,并由向量的加法原則可得 而添加垂直于的單位向量j是關鍵,為了產生j與、的數量積,而在上面向量等式的兩邊同取與向量j的數量積運算,也就在情理之中了.師下面,大家再結合課本進一步體會向量法證明正弦定理的過程,并注意總結在證明過程中所用到的向量知識點.點評:(1)在給予學生適當自學時間后,應強調學生注意兩向量的夾角是以同起點為前提,以及兩向量垂直的充要條件的運用.(2)要求學生在鞏固向量知識的同時,進一步體會向量知識的工具性作用.向量法證明過程:(1)△ABC為銳角三角形,過點A作單位向量j垂直于,則j與的夾角為90176。C)=|j|Cos(90176。C,j與的夾角為90176。C.由,得jCos(90176。+C,j與夾角為90176。(A+B)=180176。根據正弦定理， b=≈(cm)。邊長精確到1 cm）．分析:此例題屬于BsinA＜a＜b的情形,故有兩解,這樣在求解之后呢,無需作進一步的檢驗,使學生在運用正弦定理求邊、角時,感到目的很明確,同時體會分析問題的重要性.解：根據正弦定理， sinB =≈ 9.因為0176。.（1）當B≈64176。+64176。（A+B）=180176。 C=≈13(cm). [方法引導]通過此例題可使學生明確,利用正弦定理求角有兩種可能,但是都不符合題意,可以通過分析獲得,也可通過三角形的有關性質來判斷,對于這一點,我們通過下面的例題來體會.變式一：在△ABC中,已知A＝60,B＝50,A＝38176。(3)C =54,B=39,C=115176。.當A1≈65176。+65176。(B+A2)=180176。, ∴C2=≈13.(2)∵sinB=≈ 1, ∴B1≈30176。＞180176。+30176。.由于B＜C,故B＜C,∴B2≈139176。+11