【正文】 弦值相等這個結(jié)論?！編煛浚捍蠹矣^察一下正弦定理的這個式子，它是一個比例式。因此正弦定理的應用主要有哪些呢？【生】：已知三角形的兩邊一其中一邊的對角求另外一邊的對角，或者兩角一邊求出另外一邊。下面我們來看正弦定理的一些應用。sin45o\a===osinCsin30bcQ=sinBsinCB=180o(A+C)=180o(45o+30o)=105oQcsinB10180。寫成數(shù)學式子就是abc==。對于正弦定理的證明主，要有面積法和向量法，其實對于正弦定理的證明，還有很多別的方法，有興趣的同學下去之后可以自己去了解一下。學習重點: 正弦定理的證明和解三角形 學習難點: 正弦定理的證明 學習過程： 一．定理引入：提出問題：設點B在長江岸邊，點A在對岸那邊，為了測量A、B兩點間的距離，你有何好辦法呢？（給你尺和量角器材）二、定理講解：正弦定理 在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即abc== sinAsinBsinC正弦定理可以解決三角形中兩類問題：①已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角，進而可求其他的邊和角。三、定理應用：例1：在△ABC中，已知c=10, A=45176。 ,：在△ABC中，已知a=16, b=163 , A=30176。 ,求A、講練結(jié)合法、任務驅(qū)動法、自主探究法、小組合作學習法 情境教學法、講練結(jié)合法、任務驅(qū)動法、自主探究法、小組合作學習法 課堂練習：在△ABC中，已知b=6,c=23, B=45176。在△ABC中，已知a=4，b=46，A=60176。3在△ABC中，已知b=40,c=20, C=45176。課后練習：一個三角形的兩個內(nèi)角分別為30176。如果45176。角所對邊的長為________________在△ABC中，b=3,c=33, B=30，求∠C。在△ABC中，已知b=4，c=8，B=30，求∠A，∠C和邊a?！螩 =∠B′，∴sinC=sinB′=. ∴.同理,可得. ∴.這就是說,對于任意的三角形,上述關系式均成立,因此,我們得到等式.點評:上述證法采用了初中所學的平面幾何知識,將任意三角形通過外接圓性質(zhì)轉(zhuǎn)化為直角三角形進而求證,此證法在鞏固平面幾何知識的同時,易于被學生理解和接受,并且消除了學生所持的“向量方法證明正弦定理是唯一途徑”,又為下一步用向量方法證明正弦定理作了鋪墊. [知識拓展]師接下來,定理反映的是三角形的邊角關系,而在向量知識中,哪一知識點體現(xiàn)邊角關系呢?生向量的數(shù)量積的定義式Aθ)進行轉(zhuǎn)化.師這一轉(zhuǎn)化產(chǎn)生了新角90176。θ這一形式,這是作輔助向量j垂直于三角形一邊的原因.師在向量方法證明過程中,構(gòu)造向量是基礎,并由向量的加法原則可得 而添加垂直于的單位向量j是關鍵,為了產(chǎn)生j與、的數(shù)量積,而在上面向量等式的兩邊同取與向量j的數(shù)量積運算,也就在情理之中了.師下面,大家再結(jié)合課本進一步體會向量法證明正弦定理的過程,并注意總結(jié)在證明過程中所用到的向量知識點.點評:(1)在給予學生適當自學時間后,應強調(diào)學生注意兩向量的夾角是以同起點為前提,以及兩向量垂直的充要條件的運用.(2)要求學生在鞏固向量知識的同時,進一步體會向量知識的工具性作用.向量法證明過程:(1)△ABC為銳角三角形,過點A作單位向量j垂直于,則j與的夾角為90176。C.由向量的加法原則可得 ,為了與圖中有關角的三角函數(shù)建立聯(lián)系,我們在上面向量等式的兩邊同取與向量j的數(shù)量積運算,得到 由分配律可得. ∴|j|Cos90176。C)=|j|Cos(90176。+C,j與的夾角為90176。C,j與的夾角為90176。,過點A作與垂直的單位向量j,則j與的夾角為A90176。C.由,得j=jCos(90176。Cos(A90176。+C,j與夾角為90176。,B=176。(A+B)=180176。+176。根據(jù)正弦定理， b=≈(cm)。求出第三角,再利用正弦定理.(2)對于解三角形中的復雜運算可使用計算器.【例2】在△ABC中，已知A=20cm，B=28cm，A=40176。邊長精確到1 cm）．分析:此例題屬于BsinA＜a＜b的情形,故有兩解,這樣在求解之后呢,無需作進一步的檢驗,使學生在運用正弦定理求邊、角時,感到目的很明確,同時體會分析問題的重要性.解：根據(jù)正弦定理， sinB =≈ 9.因為0176。所以B≈64176。.（1）當B≈64176。（A+B）=180176。+64176。 C =≈30(cm).（2）當B≈116176。（A+B）=180176。+116176。 C=≈13(cm). [方法引導]通過此例題可使學生明確,利用正弦定理求角有兩種可能,但是都不符合題意,可以通過分析獲得,也可通過三角形的有關性質(zhì)來判斷,對于這一點,我們通過下面的例題來體會.變式一：在△ABC中,已知A＝60,B＝50,A＝38176。)和C(保留兩個有效數(shù)字).分析:此題屬于A≥B這一類情形,有一解,也可根據(jù)三角形內(nèi)大角對大邊,小角對小邊這一性質(zhì)來排除B為鈍角的情形.解：已知B(1)B=11,A=20,B=30176。(3)C =54,B=39,C=115176。.解：(1)∵. ∴sinA =≈ 1. ∴A1≈65176。.當A1≈65176。(B+A1)=180176。+65176。 ∴C1=≈22.當A2≈115176。(B+A2)=180176。+115176。, ∴C2=≈13.(2)∵sinB=≈ 1, ∴B1≈30176。.由于A+B2=45176。＞180176。應舍去(或者由B＜A知B＜A,故B應為銳角). ∴C=180176。+30176。. ∴C=≈38.(3)∵, ∴sinB=≈ 6. ∴B1≈41176。.由于B＜C,故B＜C,∴B2≈139176。時，A=180176。+115176。, A=≈24.(4)sinB= =＞1. ∴本題無解.點評:此練習目的是使學生進一步熟悉正弦定理,同時加強解三角形的能力,既要考慮到已知角的正弦值求角的兩種可能,又要結(jié)合題目的具體情況進行正確取舍.課堂小結(jié)通過本節(jié)學習,我們一起研究了正弦定理的證明方法,同時了解了向量的工具性作用,并且明確了利用正弦定理所能解決的兩類有關三角形問題:已知兩角、一邊