【正文】 sinB=csinC=2R。運(yùn)用正弦定理解決了我們所要解決的實(shí)際問(wèn)題。其中通過(guò)作外接圓可以得到asinA=bsinB=csinC=。為什么要研究正弦定理？正弦定理是怎樣發(fā)現(xiàn)的？其證明方法是怎樣想到的？還有別的證法嗎？這些都是教材沒(méi)有回答，而確實(shí)又是學(xué)生所關(guān)心的問(wèn)題。正弦定理是關(guān)于任意三角形邊角關(guān)系的重要定理之一，《課程標(biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào)在教學(xué)中要重視定理的探究過(guò)程，并能運(yùn)用它解決一些實(shí)際問(wèn)題，可以使學(xué)生進(jìn)一步了解數(shù)學(xué)在實(shí)際中的應(yīng)用，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，也為學(xué)習(xí)正弦定理提供一種親和力與認(rèn)同感。本節(jié)“正弦定理”的教學(xué)，將遵循這個(gè)原則而進(jìn)行設(shè)計(jì)。五、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：正弦定理的發(fā)現(xiàn)和推導(dǎo) 難點(diǎn)：正弦定理的推導(dǎo)六、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)（一）設(shè)置情境利用投影展示：如圖1，一條河的兩岸平行，河寬d=1km。待各小組將問(wèn)題交給老師后，老師篩選了幾個(gè)問(wèn)題通過(guò)投影向全班展示，經(jīng)大家歸納整理后得到如下的五個(gè)問(wèn)題：船應(yīng)開(kāi)往B處還是C處？船從A開(kāi)到B、C分別需要多少時(shí)間？船從A到B、C的距離分別是多少？船從A到B、C時(shí)的速度大小分別是多少？船應(yīng)向什么方向開(kāi)，才能保證沿直線到達(dá)B、C？【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)小組交流，提供一定的研究學(xué)習(xí)與情感交流的時(shí)空，培養(yǎng)學(xué)生合作學(xué)習(xí)的能力；問(wèn)題源于學(xué)生，突出學(xué)生學(xué)習(xí)的主體性，能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣；問(wèn)題通過(guò)老師的篩選，確定研究的方向，體現(xiàn)教師的主導(dǎo)作用。師：請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)平行四邊形法則，先在練習(xí)本上做出與問(wèn)題對(duì)應(yīng)的示意圖，明確已知什么，要求什么，怎樣求解。AED=208。師：請(qǐng)大家思考，這兩個(gè)問(wèn)題的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)是什么？ 部分學(xué)生：在三角形中，已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角和第三邊。但圖2中DADE是直角三角形，而圖3中DADE不是直角三角形，不能象在直角三角形中可直接利用邊角的關(guān)系求解。AED|AG|=|v1|cos208。AED|v1|=3sin45176。（三）解決問(wèn)題正弦定理的引入師：請(qǐng)同學(xué)們想一想，我們以前遇到這種一般問(wèn)題時(shí)，是怎樣處理的？ 眾學(xué)生：先從特殊事例入手，尋求答案或發(fā)現(xiàn)解法。（2）展示學(xué)生研究的結(jié)果。）師：asinA=bsinB=csinC對(duì)一般三角形是否成立呢？眾學(xué)生：不一定，可以先用具體例子檢驗(yàn)，若有一個(gè)不成立，則否定結(jié)論：若都成立，則說(shuō)明這個(gè)結(jié)論很可能成立，再想辦法進(jìn)行嚴(yán)格的證明。正弦定理的探究（1）實(shí)驗(yàn)探究正弦定理師：借助于電腦與多媒體，利用《幾何畫(huà)板》軟件，演示正弦定理教學(xué)課件。師：利用上述結(jié)論解決情境問(wèn)題中圖3的情形，并檢驗(yàn)與生5的計(jì)算結(jié)果是否一致。【設(shè)計(jì)意圖】與情境設(shè)置中的問(wèn)題相呼應(yīng)，間接給出了正弦定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用，并強(qiáng)化學(xué)生學(xué)習(xí)探究、應(yīng)用正弦定理的心理需求。課堂只讓學(xué)生探究銳角三角形的情形，有助于在不影響探究進(jìn)程的同時(shí)，為探究銳角三角形的情形騰出更多的時(shí)間。注意： csinB=bsinC表示的幾何意義是三角形同一邊上的高不變。則有AD=bsin208。bcsin208。ABC=Asin208。208。BACsin208。ABC=csin208。師：還是先研究銳角三角形的情形，按以上思路，請(qǐng)大家具體試一下，看還有什么問(wèn)題？教師參與學(xué)生的小組研究，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生注意兩個(gè)向量的夾角，最后讓學(xué)生通過(guò)小組代表作完成了如下證明。C)=0 rrc|j|(sinB)+b|j|sinC=0AcrjbaC圖 8 向量所以bsinB=csinC，同理可得asinA=bsinB師：能否簡(jiǎn)化證法四的過(guò)程？（留有一定的時(shí)間給學(xué)生思考）uuurruuurr師：ABj+CAj=0有什么幾何意義？uuurruuurruuurruuurr生15：把ABj+CAj=0移項(xiàng)可得CAj=BAjuuurruuur義可知CA與BA在j方向上的投影相等。（學(xué)生16上臺(tái)板書(shū)自己的證明方法。我們不僅收獲著結(jié)論，而且整個(gè)探索過(guò)程我們也掌握了研究問(wèn)題的一般方法。我想到了“情境——問(wèn)題”教學(xué)模式，即構(gòu)建一個(gè)以情境為基礎(chǔ)，提出問(wèn)題與解決問(wèn)題相互引發(fā)攜手并進(jìn)的“情境——問(wèn)題”學(xué)習(xí)鏈，并根據(jù)上述精神，結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，具體做出了如下設(shè)計(jì)：①創(chuàng)設(shè)一個(gè)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題情境作為提出問(wèn)題的背景（注：該情境源于《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教科書(shū)總之，整個(gè)過(guò)程讓學(xué)生通過(guò)自主探索、合作交流，親身經(jīng)歷了“情境思考”——“提出問(wèn)題”——“研究特例”——“歸納猜想”——“實(shí)驗(yàn)探究”——“理論探究”——“解決問(wèn)題”——“反思總結(jié)”的歷程，使學(xué)生成為正弦定理的“發(fā)現(xiàn)者”和“創(chuàng)造者”，切身感受了創(chuàng)造的苦和樂(lè)，從而使三維教學(xué)目標(biāo)得以實(shí)現(xiàn)。教學(xué)任務(wù)分析：正余弦定理作為解三角形的基礎(chǔ)，重要性不言而喻。這節(jié)課還會(huì)通過(guò)練習(xí)讓學(xué)生總結(jié)歸納正弦定理解三角形的類型和方法?？墒牵硪环矫?，高一的學(xué)生在綜合應(yīng)用所學(xué)知識(shí)上還有欠缺，思維也不夠縝密，比如這節(jié)課從直角三角形中得到邊角關(guān)系后，接下來(lái)要證明在任意三角形中也成立，學(xué)生可能束手無(wú)策，不知道將問(wèn)題引向何處，這時(shí)就需要教師的引導(dǎo)。由正弦函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性分析正弦應(yīng)用正弦定理解決第二類問(wèn)題時(shí)，可能教學(xué)工具：多媒體課件。設(shè)計(jì)意圖： 對(duì)于問(wèn)題1，學(xué)生可以提供多種答案，教師可以往任意三角形這個(gè)方向引導(dǎo)，問(wèn)題2則開(kāi)門(mén)見(jiàn)山奔向這節(jié)課的主題。接下來(lái)，只需探討該結(jié)論是否適合一般三角形，而2R是三角形外接圓的直徑，就會(huì)自然而然將學(xué)生引向利用外接圓研究一般三角形中的邊角關(guān)系。綜上，在任意△ABC中，都成立，即各邊與其所對(duì)角的正弦的比值相等，且都等于三角形外接圓的直徑，由于該式涉及角的正弦，即稱作正弦定理。（2）若A是鈍角，B是銳角，由A+BA，又因設(shè)計(jì)意圖：此問(wèn)題是本節(jié)課的難點(diǎn)之一，很多同學(xué)會(huì)使用正弦定理，但是對(duì)于定理是刻畫(huà)任意三角形邊角關(guān)系這一意義含糊不清。分析：這屬于已知兩邊一角，求其余的一角兩邊的問(wèn)題。已知兩角一邊實(shí)質(zhì)上該三角形就是確定的，而兩邊及其一邊的對(duì)角時(shí)這樣的三角形并不唯一。設(shè)計(jì)意圖：這是本節(jié)課的收尾問(wèn)題，由學(xué)生自己總結(jié)歸納。另外，還有類比、轉(zhuǎn)化、歸納等方法。當(dāng)然對(duì)于這節(jié)課的教法也希望得到更多老師、專家的指導(dǎo)。二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)分析重點(diǎn)：通過(guò)對(duì)任意三角形邊長(zhǎng)和角度關(guān)系的探索，發(fā)現(xiàn)、證明正弦定理并運(yùn)用正弦定理解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問(wèn)題。本設(shè)計(jì)從生活中的實(shí)際問(wèn)題出發(fā)創(chuàng)設(shè)了一系列數(shù)學(xué)問(wèn)題情境來(lái)引導(dǎo)學(xué)生質(zhì)疑、思考，讓學(xué)生在“疑問(wèn)”、“好奇”、“解難”中探究學(xué)習(xí)，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動(dòng)了學(xué)生自主學(xué)習(xí)的積極性，從而有效地培養(yǎng)學(xué)生了的數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維。B的正弦的關(guān)系從而發(fā)現(xiàn)正弦定理，再將一般的三角形與直角三角形聯(lián)系起來(lái)（在一般的三角形中構(gòu)造直角三角形）進(jìn)而在一般的三角形發(fā)現(xiàn)正弦定理的過(guò)程，使學(xué)生不但體會(huì)到探索新知的方法而且體驗(yàn)到了發(fā)現(xiàn)的樂(lè)趣，起到了良好的教學(xué)效果。在課型上屬于“定理教學(xué)課”。情感態(tài)度與價(jià)值觀：在平等的教學(xué)氛圍中，通過(guò)學(xué)生之間、師生之間的交流、合作和評(píng)價(jià)，實(shí)現(xiàn)共同探究、教學(xué)相長(zhǎng)的教學(xué)情境。（二）證明猜想，得出定理教師：對(duì)任意的三角形，如何用數(shù)學(xué)的思想方法證明呢？前面探索過(guò)程對(duì)我們有沒(méi)有啟發(fā)？學(xué)生分組討論，每組派一個(gè)代表總結(jié)并證明。例題的處理，先讓學(xué)生思考答題，讓學(xué)生思考主要是突出主體，學(xué)生答題是讓學(xué)生書(shū)寫(xiě)解題步驟，如果有不正確不規(guī)范的地方，由教師更正并規(guī)范解題步驟。分析“已知三角形任意兩邊與其中一邊的對(duì)角，求其他元素” 學(xué)生：反饋練習(xí)： 讓學(xué)生自己解決問(wèn)題，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情和動(dòng)力，使學(xué)生體驗(yàn)到成功的愉悅感，變“要我學(xué)”為“我要學(xué)”，“我要研究”的主動(dòng)學(xué)習(xí)。（3）分類討論的數(shù)學(xué)思想。在教學(xué)過(guò)程中，實(shí)行自主課堂的教學(xué)模式，體現(xiàn)學(xué)生是課堂的主體，讓學(xué)生多思考，多回答，多練習(xí)。