蘇教版選修1-2高中數(shù)學(xué)221《直接證明》-預(yù)覽頁
【正文】 分析法結(jié)合起來：根據(jù)條件的結(jié)構(gòu)特點去轉(zhuǎn)化結(jié)論，得到中間結(jié)論 Q ，根據(jù)結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點去轉(zhuǎn)化條件，得到中間結(jié)論 P . 若 P 可以推出 Q 成立，結(jié)論得證． 【訓(xùn)練 3 】 在某兩個正數(shù) x ， y 之間，若插入一個數(shù) a ，使 x 、 a 、y 成等差數(shù)列，插入兩個數(shù) b 、 c ，使 x 、 b 、 c 、 y 成等比數(shù)列． 求證： ( a ＋ 1)2≥ ( b ＋ 1) ( c ＋ 1) ． 證明 由條件，得????? 2 a ＝ x ＋ y ，b2＝ cx ，c2＝ by .消去 x 、 y 即得 2 a ＝b2c＋c2b且有 a 0 ， b 0 ， c 0. 要證 ( a ＋ 1)2≥ ( b ＋ 1) ( c ＋ 1) ， 只要證 a ＋ 1 ≥ ? b ＋ 1 ?? c ＋ 1 ? . 即證 a ＋ 1 ≥b ＋ 1 ＋ c ＋ 12， 也就是證 2 a ≥ b ＋ c . 而 2 a ＝b2c＋c2b， 只要證：b2c＋c2b≥ b ＋ c ，即證： b3＋ c3≥ bc ( b ＋ c ) ， ( b ＋ c )( b2＋ c2－ bc ) ≥ ( b ＋ c ) bc . 即證 b2＋ c2－ bc ≥ bc ，即證 ( b － c )2≥ 0. ∵ 上式顯然成立， ∴ ( a ＋ 1)2≥ ( b ＋ 1) ( c ＋ 1) ． 誤區(qū)警示 分析法的證明步驟中出現(xiàn)邏輯錯誤 【示例】 求證 3 ＋ 7 2 5 . [ 錯解 ] 因為 3 ＋ 7 2 5 ，而 3 ＋ 7 0,2 5 0 ， 兩邊平方，得 3 ＋ 7 ＋ 2 21 20. 即 21 5. 則 21 25 ，顯然成立． 則 3 ＋ 7 2 5 . 上述分析法的步驟中把結(jié)論當(dāng)作了原因，書寫格式上出現(xiàn)了邏輯錯誤． [ 正解 ] 因為 3 ＋ 7 和 2 5 都是正數(shù)， 所以要證 3 ＋ 7 2 5 ， 只需證 ( 3 ＋ 7 )2 ( 2 5 )2， 即 10 ＋ 2 21 20 ， 即證 21 5 ， 只需證明 21 25 ， 因為 21 25 成立，所以 3 ＋ 7 2 5 成立． 分析法證明不等式的思維是從要證不等式出發(fā)．逐步尋求它要成立的充分條件，但結(jié)論不能做為已知條件用．分析法的步驟為未知 → 需知 → 已知，在證明過程中 “ 要證 ”“ 只需證 ”“ 只要證 ”“ 即要證 ” 等詞語是不可缺少的．
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