語文版中職數(shù)學(xué)拓展模塊63《等比數(shù)列的性質(zhì)》1-預(yù)覽頁
【正文】 1＝ 4 an＋ 2. (1 ) 設(shè) bn＝ an ＋ 1－ 2 an， 證明：數(shù)列 { bn}是等比數(shù)列； (2 ) 求數(shù)列 { an} 的通項公式． 解： ( 1 ) 證明： 由 a1＝ 1 及 Sn ＋ 1＝ 4 an＋ 2 ， 有 a1＋ a2＝ S2＝ 4 a1＋ 2. ∴ a2＝ 5 ， ∴ b1＝ a2－ 2 a1＝ 3. 又??? S n ＋ 1 ＝ 4 a n ＋ 2 ， ①Sn＝ 4 an － 1＋ 2 （ n ≥ 2 ） ， ② ① － ② ， 得 an ＋ 1＝ 4 an－ 4 an － 1， ∴ an ＋ 1－ 2 an＝ 2 ( an－ 2 an － 1) ． ∵ bn＝ an ＋ 1－ 2 an， ∴ bn＝ 2 bn － 1( n ≥ 2 ) ， 故 { bn} 是以 3 為首項 ， 2 為公比的等比數(shù)列 ． ( 2 ) 由 ( 1 ) 知 b n ＝ a n ＋ 1 － 2 a n ＝ 3 陜西 ) 設(shè) { }a n 是公比為 q的等比數(shù)列 . ( 1 ) 推導(dǎo) { }a n 的前 n 項和公式； ( 2 ) 設(shè) q ≠ 1 , 證明數(shù)列 { a n ＋ 1} 不是等比數(shù)列 ． 解： ( 1 ) 設(shè) { }a n 的前 n 項和為 Sn， 當 q ＝ 1 時 ， Sn＝ a1＋ a1＋ ? ＋ a1＝ na1； 當 q ≠ 1 時 ， Sn＝ a1＋ a1q ＋ ? ＋ a1qn － 1 , ① qSn＝ a1q ＋ a1q2＋ ? ＋ a1qn， ② ① － ② 得 ， ( )1 － q Sn＝ a1－ a1qn. ∴ Sn＝a1 ( )1 － qn1 － q， ∴ Sn＝???na1， q ＝ 1 ，a1 ( )1 － qn1 － q， q ≠ 1. ( 2) 證明 ( 反證法 ) ：假設(shè)數(shù)列 { an＋ 1} 是等比數(shù)列 ， 則對任意的 k ∈ N＋， ( )a k ＋ 1 ＋ 12＝ ( )a k ＋ 1( )a k ＋ 2 ＋ 1 ， a2k ＋ 1＋ 2 ak ＋ 1＋ 1 ＝ akak ＋ 2＋ ak＋ ak ＋ 2＋ 1 ， a21q2 k＋ 2 a1qk＋ 1 ＝ a1qk － 1a1qk ＋ 1＋ a1qk － 1＋ a1qk ＋ 1＋ 1 ， ∵ a1≠ 0 ， ∴ 2 qk＝ qk － 1＋ qk ＋ 1. ∵ q ≠ 0 ， ∴ q2－ 2 q ＋ 1 ＝ 0. ∴ q ＝ 1 ， 與已知矛盾． ∴ 數(shù)列 { an＋ 1} 不是等比數(shù)列． 類型二 等比數(shù)列基本量的計算 ( 1 ) 在等比數(shù)列 { a n } 中 ， a 3 ＝ 7 ，前 3 項之和 S 3 ＝ 21 ， 則公比 q 的值為_ _ _ _ _ _ _ _ ． 解： 根據(jù)已知條件得??? a 1 q2＝ 7 ，a 1 ＋ a 1 q ＋ a 1 q2＝ 21 ， ∴1 ＋ q ＋ q2q2 ＝ 3 ， 整理得 2 q2－ q － 1 ＝ 0 ， 解得 q ＝ 1 或 q ＝－12.故填 1 或－12. ( 2 )( 2020 a1q a1q13 ① ：a41 a1q42 q1 6 0＝ ( a41 a3 a16＝ 8 ， ∴ T4＝ T1 a43 ? b 9 ）＝lg a95lg b95＝lg a 5lg b 5＝ l og b 5 a 5 ＝919.故填919. 【點撥】 ( 1 ) 等比數(shù)列有很多子數(shù)列仍是等比數(shù)列 ，本題是性質(zhì) “ 在等比數(shù)列中 ， 若 Sn≠ 0 ， 則 Sn， S2 n－ Sn，S3 n－ S2 n成等比數(shù)列 ” 的應(yīng)用 ， 特別注意其前提條件是Sn≠ 0. ( 2 ) 等比數(shù)列中 ， 依次 m 項積仍為等比數(shù)列 ， 但公比發(fā)生改變 ． ( 3 ) 利用性質(zhì) “ 當 m ＋ n ＝ p ＋ q ( m ， n ， p ， q∈ N*) 時 ， 有 am ? ? ? ④ an ＋ 2＝ pan ＋ 1＋ qan.
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