語文版中職數(shù)學(xué)拓展模塊63等比數(shù)列的性質(zhì)1-wenkub
2022-11-28 23:25:58 本頁面
【正文】 為公比的等比數(shù)列 ， 其通項公式為 an＝13 3n － 1＝ 3n － 2. ( Ⅱ ) ∵ b n ＝1a n＝??????13n － 2， b 1 ＝1a 1＝ 3 ， ∴ { b n } 是以 3 為首項 ，13為公比的等比數(shù)列 ， ∴ T n ＝3??????1 －??????13n1 －13＝92 ??????1 －??????13n. 【點(diǎn)撥】 在等比數(shù)列五個基本量 a 1 ， q ， n ， a n ，S n 中 ， 已知其中三個量 ， 可以將已知條件結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)或通項公式、前 n 項和公式轉(zhuǎn)化為關(guān)于基本量的方程 ( 組 ) 來求得余下的兩個量 ， 計算有時要整體代換 ， 根據(jù)前 n 項和公式列方程還要注意對 q 是否為1 進(jìn)行討論 ． ( 1 ) 設(shè) { a n } 是由正數(shù)組成的等比數(shù)列 ， S n 為其前 n 項和 ． 已知 a 2 a 4 ＝ 1 ， S 3 ＝ 7 ， 則 S 5 等于 ( ) A.152 B.314 C.334 D.172 ( 2 ) 在等比數(shù)列 { a n } 中 ， 若 a 4 － a 2 ＝ 6 ， a 5 － a 1 ＝ 15 ， 則 a 3 ＝ _ _ _ _ _ _ _ _ . 解： ( 1 ) 設(shè)等比數(shù)列 { an} 的公比為 q ( q ＞ 0 ) ， 由題意得??? a 2 a 4 ＝ a23＝ 1 ，a1＋ a2＋ a3＝ 7 ， 故 a3＝ 1 ， 1q2 ＋1q＋ 1 ＝ 7 ， 解得 q ＝12， q ＝－13( 舍去 ) ． ∴ a1＝ 4 ， q ＝12. ∴ S5＝a1（ 1 － q5）1 － q＝4??????1 －1251 －12＝314.故選 B . ( 2 ) 設(shè)等比數(shù)列 { an} 的公比為 q ， 則??? a 1 q3－ a1q ＝ 6 ，a1q4－ a1＝ 15 ， 兩式相除 ， 得q1 ＋ q2＝25， 即2 q2－ 5 q ＋ 2 ＝ 0 ， 解得 q ＝ 2 或 q ＝12. ∴??? a 1 ＝ 1 ，q ＝ 2或?????a1＝－ 16 ，q ＝12.故 a3＝ 4 或 a3＝－ 4. 故填 4 或－ 4 . 類型三 等比數(shù)列的性質(zhì) ( 1 ) 設(shè)等比數(shù)列 { an} 的前 n 項和為 Sn， 若 S6∶ S3＝ 1 ∶ 2 ，則 S9∶ S3＝ ________. ( 2 ) 在等比數(shù)列 { an} 中 ， 若 a1a2a3a4＝ 1 ， a13a14a15a16＝ 8 ， 則a41a42a43a44＝ ________. ( 3 ) 設(shè)數(shù)列 { an} ， { bn} 都是正項等比數(shù)列 ， Sn， Tn分別為數(shù)列{ lg an} 與 { lg bn} 的前 n 項和 ， 且SnTn＝n2 n ＋ 1， 則 l og b5a5＝ ________ . 解： ( 1 ) 由等比數(shù)列的性質(zhì)： S 3 ， S 6 － S 3 ， S 9 － S 6 仍成等比數(shù)列 ， 于是 ( S 6 － S 3 ) 2 ＝ S 3 34＝3 n － 14， 得 a n ＝ ( 3 n － 1 ) 東北聯(lián)考 ) 已知數(shù)列 { a n } 滿足2 a n ＋ 1 ＋ a n ＝ 0 ， a 2 ＝ 1 ， 則數(shù)列 { a n } 的前 10 項和S 10 為 ( ) A.43( 210－ 1 ) B.43( 210＋ 1 ) C.43( 2－ 10－ 1 ) D.43( 2－ 10＋ 1 ) 解： ∵ 2 a n ＋ 1 ＋ a n ＝ 0 ， ∴a n ＋ 1a n＝－12. 又 a 2 ＝ 1 ， ∴ a 1 ＝－ 2 ，∴ 數(shù)列 { a n } 是－ 2 為首項 ， －12為公比的 等比數(shù)列 ， ∴ S 10 ＝a 1 （ 1 － q10）1 － q＝－ 2 （ 1 － 2－ 10）1 ＋12＝43( 2－ 10－ 1 ) ． 故選 C .
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