高二數(shù)學數(shù)列的綜合應(yīng)用-預(yù)覽頁
【正文】 式 2－ 1 已知函數(shù) f(x)＝ x2－ ax＋ b(a， b∈ R)的圖象經(jīng)過坐標原 點，且 f′(1) ＝ 1，數(shù)列 {an}的前 n項和 Sn＝ f(n)(n∈ N*)． (1)求數(shù)列 {an}的通項公式； (2)若數(shù)列 {bn}滿足 an＋ log3n＝ log3bn，求數(shù)列 {bn}的 前 n項和． 解析： (1)∵ f(x)的圖象過原點， ∴ b＝ 0. ∵ f′(1) ＝ 1， ∴ 2 1－ a＝ 1，即 a＝ 1， ∴ f(x)＝ x2－ x， ∴ Sn＝ n2－ n， 當 n＞ 1時， an＝ Sn－ Sn－ 1＝ n2－ n－ (n－ 1)2＋ (n－ 1)＝ 2n－ 2， 當 n＝ 1時， a1＝ 0滿足上式， ∴ an＝ 2n－ 2. (2)∵ an＋ log3n＝ log3bn， ∴ 3,nanbn ? ∴ bn＝ n四川 )已知數(shù)列 {an}滿足 a1＝ 0， a2＝ 2，且對任意 m、 n∈ N*，都有 a2m－ 1＋ a2n－ 1＝ 2am＋ n－ 1＋ 2(m－ n)2. (1)求 a3， a5； (2)設(shè) bn＝ a2n＋ 1－ a2n－ 1(n∈ N*)，證明： {bn}是等差數(shù)列； (3)設(shè) ＝ (an＋ 1－ an)qn－ 1(q≠0 ， n∈ N*)，求數(shù)列 {}的前 n項和 Sn. 知識準備： 1. 會用等差數(shù)列的定義證明一個數(shù)列為等差數(shù) 列，并能根據(jù)通項公式寫出該等差數(shù)列的通項公式； 2. 能用推導(dǎo)等比數(shù)列求和公式的思想方法 (錯位相減法 )求 數(shù)列 {}的前 n項和； 3. 注意對 q分類討論． (1)由題意， m＝ 2， n＝ 1，可得 a3＝ 2a2－ a1＋ 2＝ 6， 再令 m＝ 3， n＝ 1，可得 a5＝ 2a3－ a1＋ 8＝ 20； (2)當 n∈ N*時，令 m＝ n＋ 2由已知可得 a2n＋ 3＋ a2n－ 1＝ 2a2n＋ 1＋ 8，于是 [a2(n＋ 1)＋ 1－ a2(n＋ 1)－ 1]－ (a2n＋ 1－ a2n－ 1) ＝ 8，即 bn＋ 1－ bn＝ 8，又 b1＝ a3－ a1＝ 6. 所以 {bn}是首項為 6，公差為 8的等差數(shù)列． (3)由 (1)(2)解答可知 {bn}是首項為 6，公差為 8的等 差數(shù)列．則 bn＝ 8n－ 2，即 a2n＋ 1－ a2n－ 1＝ 8n－ 2， 另由已知 (令 m＝ 1)可得 an＝ 22 1 1 ( 1 ) ,2naa n? ? ??2 1 2 1 822 1 2 1 2 ,22nnaa nn n n??? ?? ? ? ? ? ?所以 an＋ 1－ an＝ 于是 ＝ 2nqn－ 1. 當 q＝ 1時， Sn＝ 2＋ 4＋ 6＋ … ＋ 2n＝ n(n＋ 1)； 當 q≠1 時， Sn＝ 2qn－ 1， 兩邊同乘以 q，可得 qSn＝ 2qn， 上述兩式相減得 (1－ q)Sn＝ 2(1＋ q＋ q2＋ … ＋ qn－ 1)－ 2nqn 11 1 ( 1 )2 2 2 ,11n n nnq n q n qnqqq?? ? ? ?? ? ???所以 Sn＝ 12( 1 ) 12,( 1 )nnn q n qq? ? ? ??綜上所述， Sn＝ 12( 1 ) ( 1 ) ,( 1 ) 12 ( 1 ) .( 1 )nnn n qn q n q qq?????? ? ?? ?? ??
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