高二數(shù)學(xué)數(shù)列的綜合應(yīng)用(已修改)
2024-11-28 18:12 本頁(yè)面
【正文】 第六節(jié) 數(shù)列的綜合應(yīng)用 基礎(chǔ)梳理 1. 解答數(shù)列應(yīng)用題的基本步驟 (1)審題 ——仔細(xì)閱讀材料，認(rèn)真理解題意； (2)建模 ——將已知條件翻譯成數(shù)學(xué) (數(shù)列 )語言，將實(shí)際問 題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，弄清該數(shù)列的特征、要求是什么； (3)求解 ——求出該問題的數(shù)學(xué)解； (4)還原 ——將所求結(jié)果還原到原實(shí)際問題中． 2. 數(shù)列應(yīng)用題常見模型 (1)等差模型：如果增加 (或減少 )的量是一個(gè)固定值，則 該模型是等差模型，增加 (或減少 )的量就是公差．其一般 形式是： an＋ 1－ an＝ d(常數(shù) )． 這個(gè)固定的數(shù)就是公比．其一般 (2)等比模型：如果后一個(gè)量與前一個(gè)量的比是一個(gè)固定的數(shù)，則該模型是等比模型， 形式為 1nna qa? ? (常數(shù) )． (3)混合模型：在一個(gè)問題中同時(shí)涉及等比數(shù)列和等差數(shù) 列的模型． (4)生長(zhǎng)模型：如果某一個(gè)量，每一期以一個(gè)固定的百分 數(shù)增加 (或減少 )，同時(shí)又以一個(gè)固定的具體量增加 (或減 少 )，稱該模型為生長(zhǎng)模型，如分期付款問題，樹木的生 長(zhǎng)與砍伐問題等． (5)遞推模型：如果容易推導(dǎo)該數(shù)列任意一項(xiàng) an與它的前 一項(xiàng) an－ 1(或前 n項(xiàng) )間的遞推關(guān)系式，那么我們可以用遞 推數(shù)列的知識(shí)求解問題． 基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) 1. 等差數(shù)列 {an}是遞增數(shù)列，前 n項(xiàng)和為 Sn，且 a1， a3， a9成等比數(shù)列， S5＝ a52，則數(shù)列 {an}的通項(xiàng)公式為 ________． 解析：設(shè)數(shù)列 {an}的公差為 d(d0)， ∵ a1， a3， a9成等比數(shù)列， ∴ ＝ a1a9，即 (a1＋ 2d)2＝ a1(a1＋ 8d)?d2＝ a1d， ∵ d≠0 ， ∴ a1＝ d.① 23a又 ∵ S5＝ ， ∴ 5a1＋ d＝ (a1＋ 4d)2.② 25a 542?3,5由 ①② 解得： a1＝ d＝ .∴ an＝ ＋ (n－ 1) ＝ n. 353535 352. 定義 “ 等積數(shù)列 ” ：如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng) 與它前一項(xiàng)的積都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做 等積數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等積數(shù)列的 “ 公積 ” ．已知數(shù)列 {an}是等積數(shù)列，且 a1＝ 2，公積為 6，那么 a2 010________. 解析：由數(shù)列 {an}是 “ 等積數(shù)列 ” ，且 a1＝ 2，公積為 6，得： a2＝ 3， a3＝ 2， … ， a2n－ 1＝ 2， a2n＝ 3，所以 a2 010＝ 3. 3. 把 49個(gè)數(shù)排成 7行 7列的數(shù)表，若表中每行的 7個(gè)數(shù)自左向 右依次都成等差數(shù)列，每列的 7個(gè)數(shù)自上而下也都成等差數(shù) 列，且正中間的數(shù) a44＝ 1，則表中所有數(shù)的和為 ________． 解析：設(shè)排在第 i行第 j列的數(shù)為 aij，則由等差數(shù)列的性質(zhì) 得 a11＋ a12＋ … ＋ a17＝ 7a14， a21＋ a22＋ … ＋ a27＝ 7a24， … ， a71＋ a72＋ … ＋ a77＝ 7a74，所以所有數(shù)字和為 7(a14＋ a24＋ … ＋ a74)＝ 7 7a44＝ 49 1＝ 49. 4. 某屋頂?shù)囊粋€(gè)斜面成等腰梯形，最上面一行鋪瓦片 21片， 下一行總是比上一行多鋪 2片瓦片，已知斜面上共鋪了 19行瓦 片，試問： (1)最下面一行鋪了多少片瓦片？ (2)從上往下數(shù)，哪一行鋪了 39片瓦片？ 解析： (1)根據(jù)題意，瓦片數(shù)組成等差數(shù)列 {an}，且 a1＝ 21， 公差 d＝ 2，則由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得 a19＝ a1＋
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